秋九年级数学上册第一章特殊平行四边形阶段强化专训新版北师大版.docx

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秋九年级数学上册第一章特殊平行四边形阶段强化专训新版北师大版

特殊平行四边形

专训一：

菱形性质与判定的灵活运用

名师点金：

形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：

（1）从边看：

对边平行，四边相等；

（2）从角看：

对角相等，邻角互补；（3）从对角线看：

对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．

判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等．

利用菱形的性质与判定证明角的关系

1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E.

（1）求证：

四边形AECD是菱形；

（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

（第1题）

利用菱形的性质与判定证明线段的位置关系

2．（2015·兰州）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.

（1）求证：

AD＝BC；

（2）若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：

线段EF与线段GH互相垂直平分．

（第2题）

利用菱形的性质与判定解决周长问题

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°，得到△CFE，连接AF.

（1）求证：

四边形ADCF是菱形；

（2）若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．

（第3题）

利用菱形的性质与判定解决面积问题

4．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，作PM∥AC，交AB于点M，连接ME.

（1）求证：

四边形AEPM为菱形．

（2）当点P在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？

请说明理由．

（第4题）

专训二：

矩形性质与判定的灵活运用

名师点金：

形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质，可归结为三个方面：

（1）从边看：

矩形的对边平行且相等；

（2）从角看：

矩形的四个角都是直角；（3）从对角线看：

矩形的对角线互相平分且相等．

判定一个四边形是矩形可从两个角度进行：

一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等．

利用矩形的性质与判定求线段的长（转化思想）

1．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A，点B落在点M处，点C，点D落在点N处，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH.若EH＝3cm，EF＝4cm，求AD的长．

（第1题）

利用矩形的性质与判定判断线段的数量关系

2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AC上的一点，BD＝DC，P是BC上的任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F为垂足．试判断线段PE，PF，AB之间的数量关系，并说明理由．

（第2题）

利用矩形的性质与判定证明角相等

3．（2015·北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.

（1）求证：

四边形BFDE是矩形；

（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：

AF平分∠DAB.

（第3题）

利用矩形的性质与判定求面积

4．如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.

（1）连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：

四边形ABFC为矩形；

（2）在

（1）的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．

（第4题）

专训三：

正方形性质与判定的灵活运用

名师点金：

方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可．

利用正方形的性质证明线段位置关系

1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，并延长AE，其延长线交DF于点M.

求证：

AM⊥DF.

（第1题）

利用正方形的性质解决线段和差倍分问题

2．已知：

在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N.

（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：

BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？

如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图③的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并证明．

（第2题）

利用正方形的性质解决与函数相关的问题

3．（2015·绥化）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴上的顶点坐标．

正方形性质与判定的综合运用

4．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.

（1）不管滚动多长时间，求证：

连接四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．

（2）四边形PQRS在什么时候面积最大？

（3）四边形PQRS在什么时候面积为原正方形面积的一半？

并说明理由．

（第4题）

答案

专训一

1．

（1）证明：

∵AB∥CD，CE∥AD，

∴四边形AECD是平行四边形．

∵AC平分∠BAD，

∴∠EAC＝∠DAC.

∵∠DAC＝∠ACE，

∴∠EAC＝∠ACE.

∴AE＝CE.

∴四边形AECD是菱形．

（2）解：

△ABC是直角三角形，理由如下：

∵点E是AB的中点，∴AE＝BE.

∵AE＝CE，∴CE＝

AB.

∴△ABC是直角三角形．

（第2题）

2．证明：

（1）如图，过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M，则∠ACD＝∠M.　

∵AB∥CD，∴四边形ABMC为平行四边形．

∴AC＝BM.∵BD＝AC，

∴BD＝BM.∴∠BDC＝∠M＝∠ACD.　

在△ACD和△BDC中，

∴△ACD≌△BDC.∴AD＝BC.

（2）如图，连接EH，HF，FG，GE，

∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，

∴HE∥AD，且HE＝

AD，FG∥AD，且FG＝

AD.

∴四边形HFGE为平行四边形．

由

（1）知，AD＝BC，∴HE＝EG.

∴▱HFGE为菱形．∴线段EF与线段GH互相垂直平分．

3．

（1）证明：

∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，∴AE＝CE，DE＝FE.∴四边形ADCF是平行四边形．∵D，E分别为AB，AC边的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥BC.∵∠ACB＝90°，∴∠AED＝90°.∴DF⊥AC.∴四边形ADCF是菱形．

（2）解：

在Rt△ABC中，BC＝8，AC＝6，∴AB＝10.∵点D是AB边的中点，∴AD＝5.∵四边形ADCF是菱形，∴AF＝FC＝AD＝5.∴四边形ABCF的周长为8＋10＋5＋5＝28.

4．

（1）证明：

∵EF∥AB，PM∥AC，

∴四边形AEPM为平行四边形．

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD＝∠BAD.

∵EP∥AB，∴∠BAD＝∠EPA.

∴∠CAD＝∠EPA.∴EA＝EP.

∴四边形AEPM为菱形．

（2）解：

当点P为EF的中点时，S菱形AEPM＝

S四边形EFBM.理由如下：

∵四边形AEPM为菱形，∴AP⊥EM.∵AB＝AC，∠CAD＝∠BAD，∴AD⊥BC.∴EM∥BC.又∵EF∥AB，

（第4题）

∴四边形EFBM为平行四边形．过点E作EN⊥AB于点N，如图，∵EP＝

EF，∴S菱形AEPM＝AM·EN＝EP·EN＝

EF·EN＝

S四边形EFBM.

专训二

1．解：

∵∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，∴∠HEF＝∠HEM＋∠FEM＝

×180°＝90°.同理可得∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，∴四边形EFGH为矩形．∴HG∥EF，HG＝EF.∴∠GHN＝∠EFM.又∵∠HNG＝∠FME＝90°，∴△HNG≌△FME.∴HN＝MF.又∵HN＝HD，∴HD＝MF.∴AD＝AH＋HD＝HM＋MF＝HF.又∵HF＝

＝

＝5（cm），∴AD＝5cm.

点拨：

此题利用折叠提供的角相等，可证明四边形EFGH为矩形，然后利用三角形全等来证明HN＝MF，进而证明HD＝MF，从而将AD转化为直角三角形的斜边HF，进而得解，体现了转化思想．

（第2题）

2．解：

PE＋PF＝AB.理由：

过点P作PG⊥AB于G，交BD于O，如图所示．

∵PF⊥AC，∠A＝90°，∴∠A＝∠AGP＝∠PFA＝90°.∴四边形AGPF是矩形．∴AG＝PF，PG∥AC.又∵BD＝DC，∴∠C＝∠GPB＝∠DBP.∴OB＝OP.∵PG⊥AB，PE⊥BD，∴∠BGO＝∠PEO＝90°.

在△BGO和△PEO中，

∴△BGO≌△PEO.∴BG＝PE.

∵AB＝BG＋AG，∴PE＋PF＝AB.

3．证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.

∴BE∥DF.又∵BE＝DF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°.

∴四边形BFDE是矩形．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，AD＝BC.

∴∠DFA＝∠FAB.

由

（1）易得△BCF为直角三角形，

在Rt△BCF中，由勾股定理，得

BC＝

＝

＝5，

∴AD＝BC＝DF＝5.

∴∠DAF＝∠DFA.

∴∠DAF＝∠FAB.

即AF平分∠DAB.

4．

（1）证明：

∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC.∴∠ABE＝∠ECF.

又∵点E为BC的中点，∴BE＝CE.

在△ABE和△FCE中，

∵

∴△ABE≌△FCE.∴AB＝CF.

又AB∥CF，∴四边形ABFC为平行四边形．∴AE＝EF.∵∠AEC为△ABE的外角，∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB.又∵∠AEC＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠EAB.∴AE＝BE.∴AE＋EF＝BE＋CE，即AF＝BC，∴四边形ABFC为矩形．

（2）解：

∵四边形ABFC是矩形，

∴AC⊥DF.又∵△AFD是等边三角形，∴CF＝CD＝

＝2.∴AC＝

＝2

.∴S矩形ABFC＝2

×2＝4

.

专训三

1．证明：

∵AC，BD是正方形ABCD的两条对角线，∴AC⊥BD，OA＝OD＝OC＝OB.∵DE＝CF，∴OE＝OF.

在Rt△AOE与Rt△DOF中，

∴Rt△AOE≌Rt△DOF.∴∠OAE＝∠ODF.∵∠DOF＝90°，∴∠DFO＋∠FDO＝90°.∴∠DFO＋∠FAE＝90°.∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF.

2．解：

（1）仍有BM＋DN＝MN成立．证明如下：

过点A作AE⊥AN，交CB的延长线于点E,易证△ABE≌△ADN，∴DN＝BE，AE＝AN.又∵∠EAM＝∠NAM＝45°，AM＝AM，∴△EAM≌△NAM.∴ME＝MN.∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴BM＋DN＝MN.

（第2题）

（2）DN－BM＝MN.证明如下：

如图，在DN上截取DE＝BM，连接AE.∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABM＝∠D＝90°，AB＝AD.

又∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE.∴AM＝AE，∠BAM＝∠DAE.∵∠DAB＝90°，∴∠MAE＝90°.

∵∠MAN＝45°，

∴∠EAN＝45°＝∠MAN.又∵AM＝AE，AN＝AN，∴△AMN≌△AEN.∴MN＝EN.

∴DN＝DE＋EN＝BM＋MN.

∴DN－BM＝MN.

3．解：

分两种情况：

（1）如图①，在y＝－x＋3中，令x＝0，得y＝3，令y＝0，得x＝3，

∴OA＝OB＝3.∴∠BAO＝45°.

∵DE⊥OA，∴DE＝AE.

∵四边形COED是正方形，∴OE＝DE.∴OE＝AE.

∴OE＝

OA＝

.

∴E

.

（第3题）

（2）如图②，由①知△OFC，△EFA都是等腰直角三角形，

∴CF＝

OF，AF＝

EF.

∵四边形CDEF是正方形，

∴EF＝CF.

∴AF＝

×

OF＝2OF.

∴OA＝OF＋2OF＝3.∴OF＝1.

∴F（1，0）．

4．

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.又∵在任何运动时刻，AP＝BQ＝CR＝DS，∴PB＝QC＝RD＝SA.∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS.∴PS＝QP＝RQ＝SR，∠ASP＝∠BPQ.∴在任何运动时刻，四边形PQRS是菱形．又∵∠APS＋∠ASP＝90°，∴∠APS＋∠BPQ＝90°.∴∠QPS＝180°－（∠APS＋∠BPQ）＝180°－90°＝90°.∴在任何运动时刻，四边形PQRS总是正方形．

（2）解：

当P，Q，R，S在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形ABCD的面积．

（3）解：

当P，Q，R，S四点运动到正方形四边中点时，四边形PQRS的面积是原正方形ABCD面积的一半．

理由：

设原正方形ABCD的边长为a.

当PS2＝

a2时，在Rt△APS中，AS＝a－SD＝a－AP.

由勾股定理，得AS2＋AP2＝PS2，即（a－AP）2＋AP2＝

a2，

解得AP＝

a.同理可得BQ＝CR＝SD＝

a.

∴当P，Q，R，S四点运动到正方形ABCD各边中点时，四边形PQRS的面积为原正方形面积的一半．