北师大版春七年级数学下册 全等三角形基本模型上 学案无答案.docx
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北师大版春七年级数学下册全等三角形基本模型上学案无答案
初一英才全等进阶——基本模型
【知识梳理】
★全等三角形基本证明思路
★基本模型
一、“K”型(一线三等角)二、垂直模型
△ADB≌△BEC△ABD≌△CAE
三、
空翻模型
△PDM≌△BMN△CEM≌△MBN
四、半角模型
△ABE’≌△ADE
五、手拉手模型
阴影部分三角形全等
例1垂直模型:
1.
如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE,垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D。
(1)求证:
AE=CD
(2)若AC=12cm,求BD的长
2.如图,△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于D,CE⊥DE于E.
(1)若BC在DE的同侧(如图1)且AD=CE,说明BA⊥AC.
(2)
若BC在DE的两侧(如图2)其他条件不变,AB与AC仍垂直吗?
若是请予证明,若不是请说明理由
3.如图,已知△ABC中,以AB、AC为直角边,分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连接EF,过点A作AD⊥BC,垂足为点D,反向延长DA交EF于点M.证明:
EM=FM
4.如图,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据,计算图中实线所围成的图形的面积S是.
例2K型(一线三等角)
1.如图,△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在△ABC的三边上,且∠B=∠1.BD=CF,求证:
△EBD≌△DCF
2.如图,等腰△ABC中,∠CAB=∠CBA,点C,D,E在一条直线上,且∠ADC=∠ACB=∠BEC,求证DE=AD+BE
3.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN,BE⊥MN
①当直线MN绕点C旋转到图一的位置,求证:
DE=AD+BE
②当直线MN绕点C旋转到图二的位置,求证:
AD=DE+BE
③当直线MN绕点C旋转到图三的位置,判断AD,DE,BE之间的等量关系
例3手拉手模型
1.
如图,点A,B,D在一条直线上,△ABC,△BDE均为等边三角形,连接AE和CD,AE分别交CB,CD于点F,H,CD交BE于点G,连接FG,
证明:
①△ABE≌△CBD
②AE=CD
③△ABF≌△CBG
④△DBG≌△EBF
⑤BF=BG
⑥AF=CG,EF=DG
⑦△FBG为等边三角形
⑧HB平分∠AHD
⑨∠CHA=60°
手拉手模型中线段的关系
①数量关系:
全等三角形(SAS)
②位置关系(夹角):
一组对应角+一组对顶角
2、如图所示,正方形ABCD与正方形AEFG有公共顶点A,连接BG、ED相交于点O.
问:
BG与ED的数量关系和位置关系是什么?
例4半角模型
1.在正方形ABCD中,若M,N分别在边BC,CD上移动,且满足MN=BM+DN。
求证:
①∠MAN=45°②△CMN的周长=2AB③AM,AN分别平分∠BMN和∠DNM
2.在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,AB=AD,若E,F分别在边BC,CD上,满足EF=BE+DF.
求证:
2∠EAF=∠BAD
3.已知四边形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°
请探究下列两种情况下AE,CF,EF之间的数量关系。
提升训练
1、如图,已知∠ABC=90°,△ABD是边长为3的等边三角形,点E为射线BC上任意一点(点E与点B不重合),连结AE,在AE上方作等边三角形AEF,连结FD并延长交射线BC于点G.
(1)如图甲,当BE=BA时,求证:
△ABE≌△ADF;
(2)如图乙,当△AEF与△ABD不重叠时,求∠FGC的度数;
2、如图,两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°,猜想图中两个阴影部分的面积的数量关系并证明
3、已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边作正方形ADEF,连接CF.
(1)如图①,当点D在线段BC上,求证:
CF+CD=BC;
(2)如图②,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请探究CF,BC,CD三条线段之间的关系;
(3)如图③,当点D在线段BC的反向延长线上,且点A,F分别在直线BC的两侧时,其他条件不变,请探究CF,BC,CD三条线段之间的关系.
4、如图,过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高,延长HA交EG于点I.求证:
①I是EG的中点.②BC=2AI.
B卷练习
1、如图1所示,以△ABC的边AB、AC为斜边向外分别作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE,∠ADB=∠AEC=90°,点F为BC边的中点,连接DF、EF.
(1)若AB=AC,试说明DF=EF;
(2)若∠BAC=90°,如图2所示,试说明DF⊥EF;
(3)若∠BAC为钝角,如图3所示,则DF与EF存在什么数量关系与位置关系?
试说明理由.
2、在△ABC中,AC=AB,CG⊥BA交BA的延长线于点G,一三角板按如图1所示的位置摆放,该三角板的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B.
(1)在图1中,请你通过观察、测量BF和CG的长度,猜想写出BF与CG满足的数量关系,并证明你的猜想;
(2)当三角板沿着AC方向平移到图2所示的位置时,一条直角边仍与AC边在同一条直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥AB于点E,此时,请你再测量DE、DE与CG的长度,猜想写出DE、DF与CG间的数量关系,并证明你的猜想;
(3)当三角板在
(2)的基础上沿着AC方向继续平移到图3所示的位置(点F在线段AC上,但与点C不重合),
(2)中的猜想是否成立?