抛物线及其标准方程.docx
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抛物线及其标准方程
拋物线及其标准方程
适用学科
高中数学
适用年级
高二
适用区域
全国
课时时长（分钟）
60
知识点
拋物线的定义
拋物线的标准方程及其推导
拋物线标准方程中
的几何意义
教学目标
1．理解拋物线的定义，掌握拋物线的标准方程及其推导。
明确拋物线标准方程中
的几何意义，能解决简单的求拋物线标准方程问题。
2、通过对拋物线和椭圆、双曲线离心率的比较，体会三种圆锥曲线内在的区别和联系。
3、熟练掌握求曲线方程的基本方法，通过四种不同形式标准方程的对比，培养学生分析、归纳的能力。
教学重点
拋物线的定义及其标准方程的推导。
通过学生自主建立直角坐标系和对方程的讨论选择突出重点
教学难点
拋物线概念的形成。
通过条件
的画法设计，标准方程与二次函数的比较突破难点
教学过程
一、复习预习
复习双曲线的基本性质，标准方程以及方程的求法、应用
二、知识讲解
（一）导出课题
我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．
请大家思考两个问题：
问题1：
同学们对抛物线已有了哪些认识？
在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？
问题2：
在二次函数中研究的抛物线有什么特征？
在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．
引导学生进一步思考：
如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．
（二）抛物线的定义
1．回顾
平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？
2．简单实验
如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．
3．定义
这样，可以把抛物线的定义概括成：
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线l上）．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
（三）抛物线的标准方程
设定点F到定直线l的距离为p（p为已知数且大于0）．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？
让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：
方案1：
（由第一组同学完成，请一优等生演板．）
以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系（图2-30）．设定点F（p，0），动点M的坐标为（x，y），过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：
p={M||MF|=|MD|}．
化简后得：
y2=2px-p2（p＞0）．
方案2：
（由第二组同学完成，请一优等生演板）
以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系（图2-31）．设动点M的坐标为（x，y），且设直线l的方程为x=-p，定点F（0，0），过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：
p={M||MF|=|MD|}．
化简得：
y2=2px+p2（p＞0）．
方案3：
（由第三、四组同学完成，请一优等生演板．）
取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（图2-32）．
抛物线上的点M（x，y）到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．
化简后得：
y2=2px（p＞0）．
比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？
引导学生分析出：
方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：
一次项系数是焦点到准线距离的2倍．
由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形（列表如下）：
将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：
当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：
当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．
三、例题精析
例、
（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程．
方程是x2=-8y．
例2、根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
（3）焦点到准线的距离是2．
由三名学生演板，教师予以订正．答案是：
（1）y2=12x；
（2）y2=-x；（3）y2=4x，y2=-4x，x2=4y，x2=-4y．
四、课堂运用
【基础】
1.（2009年高考四川卷）抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是________
答案：
2
解析：
解析：
抛物线y2＝4x的焦点F（1,0），准线x＝－1.∴焦点到准线的距离为2.
【巩固】
例题：
分别求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）过点（－3,2）；
（2）焦点在直线x－2y－4＝0上．
答案：
解析：
解：
（1）设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py（p>0），则将点（－3,2）代入方程得2p＝
或2p＝
，故抛物线方程为y2＝－
x或x2＝
y.
（2）①令x＝0，由方程x－2y－4＝0，得y＝－2.∴抛物线的焦点为F（0，－2）．
设抛物线方程为x2＝－2py（p>0），则由
＝2，得2p＝8.∴所求抛物线方程为x2＝－8y.
②令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F（4,0）．
设抛物线方程为y2＝2px（p>0），则由
＝4，得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.
综上，所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.
【拔高】
例、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
解法一：
由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px（p＞0），则准线方
因为抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离|MF|与到准线的距离
得p=4．
因此，所求抛物线方程为y2=-8x．
又点M（-3，m）在此抛物线上，故m2=-8（-3）．
解法二：
由题设列两个方程，可求得p和m．由学生演板．由题意
在抛物线上且|MF|=5，故
课程小结
本节课用不同的活动环节涵盖整个教学的过程，设计理念务实、新颖。
教学目标中的知识与能力等目标的定位鲜明清晰。
并能以此目标为主旋律，贯通教学全过程。
教学重点与难点的掌握比较准确；教学过程中的铺垫引入、引导探究、获得新知、深入探索，推导方程以及等环节连接也基本流畅，与学生的认知起点与整体水平相吻合；学习内容丰富充实，教师能较好地把握课堂的教学活动，教学情境的设置也有利于启迪学生的思维。
计算机辅助课堂教学使数形结合的数学思想得到传递；信息技术手段恰当地利用也更有助于学生对新知识的理解和掌握。
师生共同诠释和描述的抛物线的形成，使学生对知识的发生、发展以及延伸的过程有更深刻的理解。
课后作业
【基础】分别求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）过点（－3,2）；
（2）焦点在直线x－2y－4＝0上．
答案：
解析：
（1）设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py（p>0），则将点（－3,2）代入方程得2p＝
或2p＝
，故抛物线方程为y2＝－
x或x2＝
y.
（2）①令x＝0，由方程x－2y－4＝0，得y＝－2.∴抛物线的焦点为F（0，－2）．
设抛物线方程为x2＝－2py（p>0），则由
＝2，得2p＝8.∴所求抛物线方程为x2＝－8y.
②令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F（4,0）．
设抛物线方程为y2＝2px（p>0），则由
＝4，得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.
综上，所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.
【巩固】若抛物线y2＝－2px（p＞0）上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标．
解析：
解：
由抛物线的定义，设焦点F（－
，0）．则准线为x＝
.设M到准线的距离为|MN|，
则|MN|＝|MF|＝10，即
－（－9）＝10，∴p＝2.故抛物线方程为y2＝－4x.
将M（－9，y），代入抛物线方程得y＝±6.故M（－9,6）或M（－9，－6）．
【拔高】已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上，点A（2，
）在抛物线内．若抛物线上一动点P到A、F两点距离之和的最小值为4，求抛物线C的方程．
解析：
解：
设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），其准线为x＝－
，过P点作抛物线准线的垂线，垂足为H（图略），由定义知，|PH|＝|PF|.∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|，故当H、P、A三点共线时，|PA|＋|PF|最小．∴|PA|＋|PF|的最小值为
＋2＝4，p＝4，即抛物线C的方程为y2＝8x.
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