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.
2．一元一次不等式
（1）定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，且不等式左右两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式．
（2）解一元一次不等式的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（注意不等号方向是否改变）．
（3）解集在数轴上表示：
①画数轴 ②定边界 ③定方向
x＞a
x＜a
x≥a
x≤a
3.一元一次不等式组
（1）定义：
一般地，关于同一个未知数的几个不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
（2）一元一次不等式组的解集：
组成一元一次不等式组的几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
注意：
不等式的解可以是一个或多个数值，而不等式组的解集是包含所有使不等式成立的解的集合．
（3）解一元一次不等式组的步骤：
①分别解每个一元一次不等式；②在数轴上表示各不等式的解集；③确定各不等式解集的公共部分；④得到不等式组的解集；
（4）几种常见的不等式组的解集（a>b，且a、b为常数）：
不等式
组（a>b）
图示
解集
口诀
x≥a
同大取大
x≤b
同小取小
a≤x≤b
大小、小大
中间找
无解
小小、大大
找不到
4.一元一次不等式的应用
（1）列不等式解应用题的基本步骤：
①审题；②设元；③找出能够包含未知数的不等量关系；④列出不等式；⑤解不等式；⑥在不等式的解中找出符合题意的未知数的值；⑦写出答案．
（2）列不等式解应用题涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等，一般所求问题中有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“超过（＞）”、“不大于（≤）”等词，要正确理解这些词的含义．
考点1：
解一元一次不等式
【例题1】（2018广西桂林）（6.00分）解不等式
＜x+1，并把它的解集在数轴上表示出来．
【解析】：
去分母，得：
5x﹣1＜3x+3，
移项，得：
5x﹣3x＜3+1，
合并同类项，得：
2x＜4，
系数化为1，得：
x＜2，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
归纳：
1.本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解不等式的步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1；2．将不等式（组）的解集直观地表示在数轴上，体现数形结合的思想；3．在画图时，先确定边界点，解集包含边界点，则边界点是实心圆点；解集不包含边界点，则边界点是空心圆圈，再确定方向（大向右，小向左）．
考点2：
解一元一次不等式组
【例题2】（2018·自贡）解不等式组
并在数轴上表示其解集．
【解答】解：
解不等式①，得x≤2.
解不等式②，得x＞1.
∴不等式组的解集为1＜x≤2.
将其表示在数轴上，如图所示．
归纳：
在数轴上表示解集时，大于号向右，小于号向左，有等号的用实心圆点，无等号的用空心圆圈．
（1）在解不等式的过程注意不等式性质3的使用，即给不等式两边同时乘以（或除以）一个负数，不等号要改变方向；
（2）求不等式组的整数解时，“实心”点所表示的实数如果是整数，则该点也是所求整数解，如果不是整数，要从离该点最近的整数点开始算起；“空心”点所在的实数如果是整数，则该点不是整数解，如果不是整数，则要从解集中离该点最近的整数点开始算起．
考点3：
一元一次不等式的实际应用
【例题3】（2019湖南益阳10分）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾•稻”轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾•稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润＝售价﹣成本）．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元．
（1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；
（2）该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，若今年的水稻种植成本为600元/亩，稻谷售价为25元/千克，该农户估计今年可获得“虾•稻”轮作收入不少于8万元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？
【分析】
（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元，由题意列出方程组，解方程组即可；
（2）设今年稻谷的亩产量为z千克，由题意列出不等式，就不等式即可．
【解答】解：
（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元，
由题意得：
，
解得：
；
答：
去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元；
（2）设今年稻谷的亩产量为z千克，
由题意得：
20×100×30+20×2.5z﹣20×600≥80000，
解得：
z≥640；
答：
稻谷的亩产量至少会达到640千克．
归纳：
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出方程组或不等式是解题的关键．归纳总结：
1.利用不等式（组）解决实际问题，关键是要抓住题目中表示不等关系的语句，列出不等式，问题的答案不仅要根据解集，还要根据使实际问题有意义确定．2．在利用不等式组解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时，为防止漏解和便于比较，我们常用分类讨论的思想方法，对方案的优劣进行探讨．
考点4：
一元一次不等式与其它知识的综合应用
【例题4】（2018·河北中考预测）如图，在数轴上有A，B，C，D四点，点A对应的数为a，点B对应的数为3，点D对应的数为t，若CD＝4，且在数轴上移动．
（1）若2AB表示的数始终位于点A的左侧，求a的取值范围，并把解集表示在数轴上；
（2）当t为何值，且是整数时，点B落在C，D两点之间．
【解析】：
（1）∵AB＝3－a，2AB表示的数始终位于点A的左侧，
∴2（3－a）2.
∵a<3，
∴a的取值范围为2在数轴上表示如图．
（2）∵CD＝4，且当点B落在C，D两点之间，
∴
解得3∵t是整数，
∴t可以取4，5或6.
一、选择题：
1.（2019甘肃省陇南市）（3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（ ）
A．x≤3B．x≤﹣3C．x≥3D．x≥﹣3
【答案】A
【解答】解：
去括号，得2x+9≥3x+6，
移项，合并得﹣x≥﹣3
系数化为1，得x≤3；
故选：
A．
2.（2018•湖北荆门•3分）已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（ ）
A．4≤m＜7B．4＜m＜7C．4≤m≤7D．4＜m≤7
【答案】A
【解答】解：
解不等式3x﹣m+1＞0，得：
x＞
，
∵不等式有最小整数解2，
∴1≤
＜2，
解得：
4≤m＜7，
故选：
A．
3.（2018•山东滨州•3分）把不等式组
中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：
解不等式x+1≥3，得：
x≥2，
解不等式﹣2x﹣6＞﹣4，得：
x＜﹣1，
将两不等式解集表示在数轴上如下：
故选：
B．
4.（2019•湖南怀化•4分）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：
公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（ ）只．
A．55B．72C．83D．89
【答案】C
【解答】解：
设该村共有x户，则母羊共有（5x+17）只，
由题意知，
解得：
＜x＜12，
∵x为整数，
∴x＝11，
则这批种羊共有11+5×11+17＝83（只），
故选：
C．
5.2018·台湾·分）如图的宣传单为菜克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明，妮娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷，她再将卡片以每张15元的价格贩售．若利润等于收入扣掉成本，且成本只考虑设计费与印刷费，则她至少需印多少张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成？
（ ）
A．112B．121C．134D．143
【答案】C
【解答】解：
设妮娜需印x张卡片，
根据题意得：
15x﹣1000﹣5x＞0.2（1000+5x），
解得：
x＞133
，
∵x为整数，
∴x≥134．
答：
妮娜至少需印134张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成．
故选：
C．
二、填空题：
6.（2018•江苏扬州•3分）不等式组
的解集为 ．
【答案】﹣3＜x≤
．
【解答】解：
解不等式3x+1≥5x，得：
x≤
，
解不等式
＞﹣2，得：
x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤
，
故答案为：
﹣3＜x≤
．
7.（2019•贵州省铜仁市•4分）如果不等式组
的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是 ．
【答案】a≥﹣3．
【解答】解：
解这个不等式组为x＜a﹣4，
则3a+2≥a﹣4，
解这个不等式得a≥﹣3
8.（2017山东烟台）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，
若输入x后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是 ．
【答案】：
x＜8．
【解答】解：
依题意得：
3x﹣6＜18，
解得x＜8．
故答案是：
x＜8．
三、解答题：
9.解不等式组
，并求出其最小整数解．
解：
令：
，
解不等式①得x>－2，
解不等式②得－
x≥1，不等式两边同乘以－
得x≤－
.∴原不等式组的解集为－2.
∴原不等式组的最小整数解是－1
10.甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
（1）问乙单独整理多少分钟完工？
（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
【解析】：
（1）设乙单独整理x分钟完工，根据题意，得
＋
＝1.解得x＝80.
经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意．
答：
乙单独整理80分钟完工．
（2）设甲整理y分钟，根据题意，得
＋
≥1.解得y≥25.
答：
甲至少整理25分钟才能完工.
11.（2018·唐山丰润区一模）小明解不等式
－
≤1的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：
去分母，得3（1＋x）－2（2x＋1）≤1.①
去括号，得3＋3x－4x＋1≤1.②
移项，得3x－4x≤1－3－1.③
合并同类项，得－x≤－3.④
两边都除以－1，得x≤3.⑤
【解析】：
错误的是①②⑤，正确解答过程如下：
去分母，得3（1＋x）－2（2x＋1）≤6.
去括号，得3＋3x－4x－2≤6.
移项，得3x－4x≤6－3＋2.
合并同类项，得－x≤5.
两边都除以－1，得x≥－5.
12.（2019•四川省凉山州•10分）根据有理数乘法（除法）法则可知：
①若ab＞0（或
＞0），则
或
；
②若ab＜0（或
＜0），则
或
．
根据上述知识，求不等式（x﹣2）（x+3）＞0的解集
解：
原不等式可化为：
（1）
或
（2）
．
由
（1）得，x＞2，
由
（2）得，x＜﹣3，
∴原不等式的解集为：
x＜﹣3或x＞2．
请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：
（1）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为 ﹣1＜x＜3 ．
（2）求不等式
＜0的解集（要求写出解答过程）
【分析】
（1）根据有理数乘法运算法则可得不等式组，仿照有理数乘法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得．
（2）根据有理数除法运算法则可得不等式组，仿照有理数除法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得．
【解答】解：
（1）原不等式可化为：
①
或②
．
由①得，空集，
由②得，﹣1＜x＜3，
∴原不等式的解集为：
﹣1＜x＜3，
故答案为：
﹣1＜x＜3．
（2）由
＜0知①
或②
，
解不等式组①，得：
x＞1；
解不等式组②，得：
x＜﹣4；
所以不等式
＜0的解集为x＞1或x＜﹣4．
13.（2018·郴州）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．
（1）A、B两种奖品每件各多少元？
（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？
【分析】
（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”，列方程组求解可得；
（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100－a）件，根据总价＝单价×购买数量结合总费用不超过900元列不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．
【解答】 解：
（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意，得
解得
答：
A种奖品每件16元，B种奖品每件4元．
（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100－a）件，根据题意，得
16a＋4（100－a）≤900.解得a≤
.
∵a为整数，∴a≤41.
答：
A种奖品最多购买41件．
14.（2019•山东省聊城市•8分）某商场的运动服装专柜，对A，B两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表：
第一次
第二次
A品牌运动服装数/件
20
30
B品牌运动服装数/件
30
40
累计采购款/元
10200
14400
（1）问A，B两种品牌运动服的进货单价各是多少元？
（2）由于B品牌运动服的销量明显好于A品牌，商家决定采购B品牌的件数比A品牌件数的
倍多5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件B品牌运动服？
【分析】
（1）直接利用两次采购的总费用得出等式进而得出答案；
（2）利用采购B品牌的件数比A品牌件数的
倍多5件，在采购总价不超过21300元，进而得出不等式求出答案．
【解答】解：
（1）设A，B两种品牌运动服的进货单价各是x元和y元，根据题意可得：
，
解得：
，
答：
A，B两种品牌运动服的进货单价各是240元和180元；
（2）设购进A品牌运动服m件，购进B品牌运动服（
m+5）件，
则240m+180（
m+5）≤21300，
解得：
m≤40，
经检验，不等式的解符合题意，
∴
m+5≤
×40+5＝65，
答：
最多能购进65件B品牌运动服．
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