一元二次方程教案.docx

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一元二次方程教案

一元二次方程教案

第一课时

课题：

23.1一元二次方程

教学目标：

1．知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（≠0）

2．在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。

3．会用试验的方法估计一元二次方程的解。

重点难点：

1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。

2．理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。

教学过程：

一做一做：

1．问题一：

绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？

分　析

我们可以运用方程解决实际问题.现设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程

x（x＋10）＝900

整理可得x2＋10x－900=0.　　

（1）

2．问题二：

学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.

分　析

设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即5（1＋x）（1＋x）＝5（1＋x）2万册.可列得方程

5（1＋x）2=7.2,

整理可得5x2＋10x－2.2=0.　　　

（2）

3．思考、讨论

这样，问题1和问题2分别归结为解方程

（1）和

（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.

那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？

它们有什么共同特点呢？

（学生分组讨论，然后各组交流）

共同特点：

（1）都是整式方程

（2）只含有一个未知数

（3）未知数的最高次数是2

二、一元二次方程的概念

上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：

ax2＋bx＋c＝0（a、b、c是已知数，a≠0）。

其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项。

.

三、例题讲解与练习巩固

1．例1.下列方程中哪些是一元二次方程？

试说明理由。

（1）

（2）（3）（4）2．例2.将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：

1）2）（x-2）（x+3）=83）说明：

一元二次方程的一般形式（

≠0）具有两个特征：

一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。

此外要使学生意识到：

二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。

3．例3方程（2a—4）x2—2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？

在什么条件下此方程为一元一次方程？

本题先由同学讨论，再由教师归纳。

解：

当≠2时是一元二次方程；当＝2，≠0时是一元一次方程；

4．例4.已知关于x的一元二次方程（m-1）x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。

分析：

一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。

5．课堂练习

练习一:

将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项

1）2）2x（x-1）=3（x-5）-4

3）练习二:

关于的方程，在什么条件下是一元二次方程？

在什么条件下是一元一次方程？

练习三:

已知关于的一元二次方程（k－1）x2+3kx+4－4︱k︳=0的解是x=0，求k.

四、讨论探索

用试验的方法探索问题1中所列得方程x（x＋10）=900的解.方程有几个解？

都是问题1的解吗？

分析：

本题很好地体现了学生实践、探索、交流的理念，教学中必须予以重视。

本课小结

1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式为（≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。

3、在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。

第二课时

课题：

23.2.一元二次方程的解法

（1）

教学目标：

1、会用直接开平方法解形如（a≠0,a≥0）的方程；

2、会用因式分解法解简单的一元二次方程。

3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用。

4、使学生经历探索解一元二次方程的过程。

重点难点：

重点：

掌握直接开平方法、因式分解法解一元二次方程，渗透转化思想。

难点：

是怎样的一元二次方程适用于直接开平方法，怎样的一元二次方程适用于因式分解法，并理解一元二次方程有两个实数根，也可能无实数根。

教学过程：

一、复习练习

1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及其系数。

（1）

（2）（3）2、要求学生复述平方根的意义。

（1）文字语言表示：

如果一个数的平方等于，那么这个数叫的平方根。

（2）用式子表示：

若，则叫做的平方根。

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；

零的平方根是零；

负数没有平方根。

（3）4的平方根是，81的平方根是，100的算术平方根是。

二、试一试

解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.

（1）x2＝4；

（2）x2－1＝0;

三、概　括

对于第

（1）个方程，有这样的解法：

方程　x2＝4，

意味着x是4的平方根，所以,

即　x=2.

这种方法叫做直接开平方法.

对于第

（2）个方程，有这样的解法：

将方程左边用平方差公式分解因式，得

（x－1）（x＋1）＝0，

必有　x－1＝0，或x＋1＝0,

分别解这两个一元一次方程，得x1＝1，x2＝－1.

这种方法叫做因式分解法.

思　考

（1）方程x2＝4能否用因式分解法来解？

要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？

（2）方程x2－1＝0能否用直接开平方法来解？

要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？

四、做一做　试用两种方法解方程

x2－900＝0.

五、例题讲解与练习巩固

1、例1、解下列方程：

（1）x2－2＝0;

（2）16x2－25＝0.

解

（1）移项，得

（2）移项，得

x2＝2.16x2＝25.

直接开平方，得x2＝.直接开平方，得x＝.

所以原方程的解是所以原方程的解是　

，.，　.

教学要点：

1、让学生自学P29页解题过程，强调解题格式；2、指出方程16x2－25＝0.也可以这样解“原方程变为,移项

=25，得4x=±5,所以原方程的解是，　

.；3、教师引导学生用因式分解法求方程的解；4、让学生思考、交流、讨论什么样的一元二次方程可以用直接开平方法或因式分解法。

2．练习：

解下列方程：

（1）x2＝169；　　　　

（2）45－x2＝0；（3）12y2－25＝0；（4）4x2+16＝0

3、例2、解下列方程：

（1）3x2＋2x=0；

（2）x2＝3x.

解：

x（3x＋2）=0.解：

x2－3x=0.

∴x＝0，或3x＋2＝0.∴x（x－3）＝0.

∴原方程的解是　∴x＝0，或x－3＝0,　

x1＝0，x2＝.∴原方程的解是

x1＝0，x2＝3.

说明：

用因式分解法解一元二次方程的根据是：

若A·B＝0，则A＝0或B＝0。

4、练习

（1）小明在解方程x2＝3x时，将方程两边同时除以x，得x=3，这样做法对吗？

（2）解下列方程：

①x2－2x＝0②（t－2）（t+1）=0；③x（x＋1）－5x＝0.

5、讨论探索：

如何解方程y2+64=16y

本课小结：

1、用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：

（≥0）；（a≠0,a

≥0）。

解法的根据是平方根的定义。

要特别注意，由于负数没有平方根，所以括号中规定了范围，否则方程无实数解。

2、把一元二次方程化为一般形式后，如方程左边可因式分解，则此一元二次方程可用因式分解法解。

第三课时

课题：

23.2.一元二次方程的解法

（2）

教学目标：

5、会用直接开平方法解形如（a≠0,a≥0）的方程；

6、灵活应用因式分解法解一元二次方程。

7、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。

重点难点：

合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。

教学过程：

一、复习练习：

1、什么是直接开平方法？

请举例说明。

2、什么是因式分解法，请举例说明。

3、你能解以下方程吗？

①8－x2=－1②3y2－18=0

②③x（x-1）+4x=0④－3x2－27=0

4、你是怎样解方程的？

让学生说出作业中的解法，教师板书。

解：

⑴、直接开平方，得x+1=±16

所以原方程的解是x1＝15，x2＝－17

⑵、原方程可变形为

方程左边分解因式，得

（x+1+16）（x+1－16）=0

即可（x+17）（x－15）=0

所以x＋17=0，x－15=0

原方程的蟹x1＝15，x2＝－17

二、例题讲解与练习巩固

1、例1解下列方程

（1）（x＋1）2－4＝0；

（2）12（2－x）2－9＝0.

解

（1）原方程可以变形为（x＋1）2＝4，

直接开平方，得x＋1＝±2.

所以原方程的解是　x1＝1，x2＝－3.

（2）由学生仿照第

（1）题解法自己完成。

2、说明：

（1）这时，只要把看作一个整体，就可以转化为（≥0）型的方法去解决，这里体现了整体思想。

（3）在对方程两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。

这种变形实质上是将原方程“降次”。

“降次”也是一种重要的数学方法。

3、练习一：

解下列方程：

（1）（x＋2）2－16＝0；

（2）（x－1）2－18＝0；

（3）（1－3x）2＝1；（4）（2x＋3）2－25＝0.

三、读一读

小张和小林一起解方程x（3x＋2）－6（3x＋2）＝0.

小张将方程左边分解因式，得（3x＋2）（x－6）＝0,

所以　3x＋2＝0,或x－6＝0.

方程的两个解为　　　　　　　x1＝，x2＝6.

小林的解法是这样的：

移项，得　x（3x＋2）＝6（3x＋2）,

方程两边都除以（3x+2），得x＝6.

小林说:

“我的方法多简便！

”可另一个解x1＝哪里去了？

小林的解法对吗？

你能解开这个谜吗？

学生先讨论交流，教师概括。

四、讨论、探索：

解下列方程

（1）（x+2）2=3（x+2）

（2）2y（y-3）=9-3y（3）（x-2）2-x+2=0

（4）（2x+1）2=（x-1）2（5）。

练习：

解下列方程

（1）2（x+3）2=6（x+3）

（2）（2x+3）2=（4-2x）2（3）x（3x+1）=9x+3

本课小结：

1、对于形如（a≠0,a≥0）的方程，只要把看作一个整体，就可转化为（n≥0）的形式用直接开平方法解。

2、当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解。

第四课时

课题：

23.2一元二次方程的解法（3）

教学目标：

1．掌握用配方法解数字系数的一元二次方程．

2．掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。

3．在配方法的应用过程中体会“转化”思想，掌握转化的技能。

重点难点：

1、使学生掌握配方法，解一元二次方程。

2、把一元二次方程转化为

教学过程：

一、复习提问

1、解下列方程，并说明解法的依据：

（1）

（2）（3）通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型：

根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b<0，方程就没有实数解。

如2、请说出完全平方公式。

（x+a）2=x2+2ax+a2

（x－a）2=x2－2ax+a2

二、引入新课

　　我们知道，形如x2－A=0的方程，可变形为x2=A

（A≥0）,再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如x2+bx+c=0的一类方程，化为上述形式求解呢？

这正是我们这节课要解决的问题．

三、探索：

1、例1、解下列方程：

（1）x2＋2x＝5；

（2）x2－4x＋3＝0.

思　考

能否经过适当变形，将它们转化为（）2=a的形式，然后应用直接开方法求解？

（和学生一起分析解决）

四、归　纳

上面，我们把方程x2－4x＋3＝0变形为（x－2）2＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。

那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？

五、试一试：

对下列各式进行配方：

（1）x2+8x+=（x+）2；x2－10x+=（x－）2

（2）x2－5x+=（x－）2x2－9x+=（x－）2

（3）

（4）x2+6x+=（x+）2

（5）x2+bx+=（x+）2

通过练习，使学生认识到；配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。

六、例题讲解与练习巩固

1、例2、用配方法解下列方程：

（1）－6x－7＝0；　　　

（2）＋3x＋1＝0.

（和学生一起分析解决）

2、练习：

①.填空：

（1）x2+6x+=（x+）2

（2）－8x＋（）＝（x－）2

（3）＋x＋（）＝（x＋）2；（4）4－6x＋（）＝4（x－）2

②用配方法解方程：

（1）x2＋8x－2＝0

（2）x2－5x－6＝0.

（3）x2+7=6x（4）x2+10=2x

七、试一试

用配方法解方程x2＋px＋q＝0（p2－4q≥0）.

先由学生讨论探索，教师再板书讲解。

思考：

这里为什么要规定p2－4q≥0？

八、讨论

1、如何用配方法解下列方程？

4x2－12x－1＝0;

请你和同学讨论一下：

当二次项系数不为1时，如何应用配方法？

2、关键是把当二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程。

先由学生讨论探索，再教师板书讲解。

解：

（1）将方程两边同时除以4，得x2－3x－＝0

移项，得x2－3x＝配方，得x2－3x+（＝+（即（x－）2＝.

直接开平方，得x－＝±所以x＝±,

所以x1＝，x2=3，练习：

用配方法解方程：

（1）（）

（2）3x2＋2x－3＝0.（x1＝，x2=）

（3）（原方程无实数解）

本课小结：

让学生反思本节课的解题过程，归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤：

1、把常数项移到方程右边，用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为1；

2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；

3、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。

第五课时

课题：

23.2一元二次方程的解法（四）

教学目标：

1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。

2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。

3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。

重点难点：

1、难点：

掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；

2、重点：

对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。

教学过程：

一、复习旧知，提出问题

1、用配方法解下列方程：

（1）

（2）2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？

3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？

二、探索同底数幂除法法则

问题1：

能否用配方法把一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）转化为

呢？

教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：

（与学生共同完成）

问题2：

当，且时，大于等于零吗？

让学生思考、分析，发表意见，得出结论：

当时，因为，所以，从而。

问题3：

在研究问题1和问题2中，你能得出什么结论？

让学生讨论、交流，从中得出结论，当时，一般形式的一元二次方程的根为

，即。

由以上研究的结果，得到了一元二次方程的求

根公式：

（）

这个公式说明方程的根是由方程的系数、、所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数、、

的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

思考：

当时，方程有实数根吗？

三、例题

例1、解下列方程：

⑴；⑵；

⑶；⑷注意：

（1）对于方程

（2）和（4），首先要把方程化为一般形式；

（2）强调确定、、值时，不要把它们的符号弄错；

（3）先计算的值，再代入公式。

例2、（补充）解方程解：

这里，，，

因为负数不能开平方，所以原方程无实数根。

让学生反思以上解题过程，归纳得出：

当时，方程有两个不相等的实数根；

当时，方程有两个相等的实数根；

当时，方程没有实数根。

四、课堂练习

1、Ｐ35练习。

2、阅读Ｐ39“阅读材料”。

五、小结

根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？

通常你是如何选择的？

和同学交流一下。

第六课时

课题：

23.2一元二次方程的解法（5）

教学目标：

1、使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程的应用题。

2、提高学生分析问题、解决问题的能力。

3、培养学生数学应用的意识。

重点难点：

认真审题，分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系，布列方程是本节课的重点，也是难点。

教学过程：

一、复习旧知，提出问题

1、叙述列一元一次方程解应用题的步骤。

2、用多种方法解方程让学生尝试用多种方法解方程，归结为：

解法1：

将方程化为，直接开平方，得解得，。

解法2：

将方程化为一般形式，进而转化为

，用配方法可求方程的解。

解法3：

将方程化为一般形式，用公式法求解，其中。

提问：

用哪种方法解方程更简便？

3、现在，你能解决§23.1的问题1了吗？

二、解决问题

请同学们先看看Ｐ26页问题1，要想解决§23.1的问题1，首先要解方程，同学伞能解这个方程吗？

让学生动手解题并口答结果：

提问：

1、所求、都是所列方程的解吗？

2、所求、都符合题意吗？

让学生思考、分析，真正理解负数根不符合题意，应舍去符合题意的解是：

3.1和2说明了什么问题？

让学生交流讨论、体会到把实际问题转化为数学问题来解决，求得方程的解，不一定是原问题的解答，因此，要注意是检验解是否符合题意。

作为应用题，还应作答。

三、例题

例1．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长。

分析：

设截去正方形的边长x厘米，底面（图中虚线线部分）长等于厘米，宽等于厘米，底面=。

先请同学们自己列出方程并解这个方程，讨论它的解是否符合题意。

再由学生回答解题过程，教师板书：

解：

设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得

（60－2x）（40－2x）＝800

解方程得

，，

经检验，不符合题意，应舍去，符合题意的解是答：

截去正方形的边长为10厘米。

四、课堂练习

Ｐ36练习1、2

五、小结

让学生反思、归纳、总结，应用一元二次方程解实际问题，要认真审题，要分析题意，找出数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决。

求得方程的解之后，要注意检验是否任命题意，然后得到原问题的解答。

第七课时

课题：

23.2一元二次方程的解法（6）

教学目标：

1、使学生会列出一元二次方程解有关变化率的问题。

2、培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学应用的意识。

重点难点：

本节课的重点和难点都是列出一元二次方程，解决有关变化率的实际问题。

教学过程：

一、创设问题情境

百分数的概念在生活中常常见到，而量的变化率更是经济活动中经常接触，下面，我们就来研究这样的问题。

问题：

某商品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率一样。

求每次降价的百分率。

（精确到0.1%）

二、探索解决问题

分析：

“两次降价的百分率一样”，指的是第一次和第二次降价的百分数是一个相同的值，即两次按同样的百分数减少，而减少的绝对数是不相同的，设每次降价的百分率为

，若原价为，则第一次降价后的零售价为，又以这个价格为基础，再算第二次降价后的零售价。

思考：

原价和现在的价格没有具体数字，如何列方程？

请同学们联系已有的知识讨论、交流。

解：

设原价为1个单位，每次降价的百分率为x.根据题意，得

（1－x）2＝解这个方程，得

x＝由于降价的百分率不可能大于1，所以x＝不符合题

意，因此符合本题要求的x为

≈29.3%.

答：

每次降价的百分率为29.3%.

三、拓展引申

某药品两次升价，零售价升为原来的1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%）

解：

设原价为元，每次升价的百分率为，根据题意，得

解这个方程，得

由于升价的百分率不可能是负数，所以不符合题

意，因此符合题意要求的为答：

每次升价的百分率为9.5%。

四、巩固练习

Ｐ37练习1、2

五、小结

关于量的变化率问题，不管是增加还是减少，都是变化前的数据为基础，每次按相同的百分数变化，若原始数据为，设平均变化率为，经第一次变化后数据为

；经第二次变化后数据为。

在依题意列出方程并解得值后，还要依据的条件，做符合题意的解答。

第八课时

课题：

23.3一元二次方程根的判别式

教学目标：

1．了解根的判别式的概念．

2．能用判别式判别根的情况．

3．通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神．

4．进一步渗透转化和分类的思想方法．

重点难点：

1.会用判别式判定根的情况

2.正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．”

教学过程：

一、问题情境，导入新课：

请用公式法解下列方程：

①x2-3x＋2＝0；

②x2-2x＋1＝0