定积分与微积分基本定理练习题及答案.docx

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定积分与微积分基本定理练习题及答案

1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案

1.（2011•宁夏银川一中月考）求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积，其中正确的是

A.S=1（x2—x）dx

0

B.S=1（x—x2）dx

0

C.S=1（y2—y）dyD.S=1（y—:

y）dy

00

［答案］B

［分析］根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数.

［解读］两函数图象的交点坐标是（0,0）,（1,1），故积分上限是1，下限是0,由于在

［0,1］上，x>x2,故函数y=x2与y=x所围成图形的面积S=1（x—x2）dx.0

2.（2010•山东日照模考）a=2xdx,b=2exdx,c=2sinxdx，贝Ua、b、c的大小

000

关系是（）

A.a

C.c

［答案］D

1

［解读］a=2xdx=zx2|02=2,b=2exdx=ex|02=e2—1>2,c=2sinxdx=—

0200

cosx|02=1—cos2€（1,2）,

c

3.（2010•山东理，7）由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为（）

1117

A.pB.4C.3D.乜

［答案］A

y=x2

［解读］由得交点为（0,0）,（1,1）

y=x3

［点评］图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函

数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：

（2010•湖南师大附中）设点P在曲线y=x2上从原点到A（2,4）移动，如果把由直线OP直线y=x2及直线x=2所围成的面积分别记作S1,S2.如图所示，当S1=S2时，点P的坐

标是（

A.3，

9

-B.

5，

4

15

4

C.3，

7

D.

5，

［答案］

A

［解读］

设1

P（t

16

4

4

13

7

16

9

⑵（0wtw2），则直线OPy=tx,•••S1=t（tx—x2）dx0

t3

石；

S2=

2（x2—tx）dx=3—2t+罟，若S1=S2,则t=4

3'

416

•P-—

…P3，9.

4.由二条直线x=0、x=2、

y=0和曲线y=x3所围成的图形的面积为（

A.4B.gC.^D.6

［答案］

A

［解读］

x4

S=2x3dx=—

04

5.（2010•湖南省考试院调研

A.0B

.2

C.2+2cos1D.2—2cos1

［答案］

B

［解读］

1—1（sinx+1）dx

6.曲线

y=cosx（0wxw2n：

A.2n

B.3n

3n

C.-^D.

n

［答案］

A

02=4.

2.

如右图,

［解读］

418

S=f02n（1—cosx）dx

=（x—sinx）|02n=2n.

）1—1（sinx+1）dx的值为（）

=（—cosx+x）|—11=（—cosl+1）—（—cos（—1）

）与直线y=1所围成的图形面积是（）

1

LV

0

［点评］此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为

n，则对称性就无能为力了.

7.函数F（x）=xt（t—4）dt在［—1,5］上（）

0

1）=

A.有最大值0,无最小值

B.有最大值0和最小值-32

C.有最小值-—，无最大值

3

D.既无最大值也无最小值

［答案］B

［解读］F'（x）=x（x—4），令F'（x）=0，得x1=0,x2=4,

•-F（—1）=—3,F（0）=0,F（4）=—32,F（5）=—響

的取值范围是（）

C.（e—11,e）D.（0,e11）

［答案］D

1

［解读］f（x）=x-dt=Int|1x=Inx,a3=S3—S2=21—10=11,由Inx<11得,1t

0

9.（2010•福建厦门一中）如图所示，在一个长为n,宽为2的矩形OABC内，曲线y

=sinx（0wx

形OABC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（）

123n

A.B.—C.—D—

nnn4

［答案］A

［解读］由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积.由题意得S=n

0

sinxdx=—cosx|0n=—（cosn—cos0）=2，再根据几何概型的算法易知所求概率

S_2_1S矩形oabCT27=n.

x+2—2

11.（2010•江苏盐城调研）甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：

甲从区间［0,1］

上随机等可能地抽取一个实数记为b,乙从区间［0,1］上随机等可能地抽取一个实数记为

c（b、c可以相等），若关于x的方程x2+2bx+c=0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为（）

1213

八3右0尹4

［答案］A

［解读］方程x2+2bx+c=0有实根的充要条件为△=4b2—400,即卩b2>c,

1b2db

由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p=0x］=右

12.（2010•吉林省调研）已知正方形四个顶点分别为0（0,0）,A（1,0）,B（1,1）,C（0,1）,

曲线y=x2（x》0）与x轴，直线x=1构成区域M现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M内的概率是（

11

A.2B.4

12

C.尹5

［答案］C

［解读］如图，正方形面积1，区域M的面积为S=1x2dx

0

111必3|01=3故所求概率p=3.

333

C

1

n

Ji

1

0

Ax

）

2•如图，阴影部分面积等于（

A.2'3B.2—.''3

3235

C.亍

［答案］C

［解读］图中阴影部分面积为

132

S=1（3—x2—2x）dx=（3x—3x3—x2）|1—3=—.

-33

阴影部分的面积，

1

S=〒XnX22=n.

4

4.

已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶•甲车、乙车的

速度曲线分别为v甲和v乙（如图所示）•那么对于图中给定的tO和t1，下列判断中一定正确的是（）

A.在t1时刻，甲车在乙车前面

B.在t1时刻，甲车在乙车后面

C.在tO时刻，两车的位置相同

D.tO时刻后，乙车在甲车前面

［答案］A

［解读］判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在tO,t1时刻，甲、

乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知：

车在某段时间内行驶的路程就是该

时间段内速度函数的定积分，即速度函数v（t）的图象与t轴以及时间段围成区域的面积.从图象知：

在tO时刻，v甲的图象与t轴和t=0,t=tO围成区域的面积大于v乙的图象与t

轴和t=0,t=to围成区域的面积，因此，在to时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C,D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和

t=t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t=t1围成区域的面积，所以，可以

掷一点，该点落在曲线y=cos2x下方的概率是（

八n1

A.TB.2

D.

7t

［答案］

域中曲线cos2t下方区域的面积是J*cos2Td.r

■故选D.

［答案］

［答案］3

0

［解读］•••y=

3—x1

•••2（2—|1—x|）dx=1（1+x）dx+2（3—x）dx

001

1133

=（x+2乂2）|10+（3x—2X2）|21=+2=3.

&（2010•芜湖十二中）已知函数f（x）=3x2+2x+1,若1—1f（x）dx=2f（a）成立，则

a=.

1

［答案］—1或3

［解读］T1—1f（x）dx=1—1（3x2+2x+1）dx=（x3+x2+x）|1—1=4,1—

1f（x）dx=2f（a）,•6a2+4a+2=4,

1

•-a=—1或-.

3

nI~1,,

9.已知a=/；^0（sinx+cosx）dx，则二项式（ax———）6的展开式中含x2项的系数

2px

是.

［答案］—192

nnnn

［解读］由已知得a=/—0（sinx+cosx）dx=（—cosx+sinx）|—0=（sin——cos-^）

—（sin0—cos0）=2,

1

（2•x）6的展开式中第r+1项是Tr+1=（—1）rXC6X26—rxx3—r，令3—r=2

Qx

得，r=1,故其系数为（—1）1XC&X25=—192.

10.有一条直线与抛物线y=x2相交于AB两点，线段AB与抛物线所围成图形的面积

4

恒等于3，求线段AB的中点P的轨迹方程.

3

b2—a2

则直线AB的方程为y-a2=亍（x-a），

即y=（a+b）x—ab.

解得b—a=2.设线段AB的中点坐标为P（x,y）,

a+b

消去a得y=x2+1.

•••线段AB的中点P的轨迹方程为y=x2+1.

能力拓展提升

A.

C.

［答案］

12.（2012•太原模拟）已知（xlnx）'=lnx+1,贝Uelnxdx=（）

1

A.1B.eC.e—1D.e+1

［答案］A

［解读］由（xlnx）'=lnx+1,联想到（xlnx—x）'=（lnx+1）—1=lnx，于是elnxdx

1

=（xlnx—x）|e1=（elne—e）—（1xln1—1）=1.

13.抛物线y2=2x与直线y=4—x围成的平面图形的面积为.

［答案］18

y2=2x,

［解读］由方程组解得两交点A（2,2）、B（8,—4）,选y作为积分变量x

y=4—x,

=些、x=4—y,

2八

已知函数f（x）=ex—1，直线11:

x=1,12:

y=et—1（t为常数，且Owt<1）.直线

y轴与函数f（x）的图象围成的封闭图形如图中区域I所示，其面积用S1表示.当t变化时,

阴影部分的面积的最小值为.

［答案］

（,e—1）2

［解读］

由题意得S1+S2=t（et—1—ex+1）dx+1（ex—1—et+1）dx=t（et—

0t0

ex）dx+1（ex—et）dx=（xet—ex）|t0+（ex—xet）|1t=（2t—3）et+e+1,令g（t）=（2t—

t

1

3）et+e+1（0wtw1），贝Ug'（t）=2et+（2t—3）et=（2t—1）et，令g'（t）=0,得t=?

1

•••当t€[0,2）时，g'

因此g（t）的最小值为

1

（t）<0,g（t）是减函数，当t€（2,1]时，g'（t）>0,g（t）是增函数,

11

1）2.

15.求下列定积分.

（3）/e+1^^dx=In（x—1）|e2+1=1.x—1

16.已知函数f（x）=—x3+ax2+bx（a,b€R）的图象如图所示，它与x轴在原点处相

切，且x轴与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为右，求a的值.

g

（2）=e+1—2e^=（:

e—1）2.故阴影部分的面积的最小值为（]e—

[解读]f'（x）=-3x2+2ax+b,vf'（0）=0b=0,

•••f（x）=—x3+ax2，令f（x）=0，得x=0或x=a（a<0）.

•S阴影=0[0—（—x3+ax2）]dx

a

［答案］B

面积为a，则a的值为（

2+n1

A.4B.2

C.1D.

［答案］

3.对任意非零实数a、b，若a?

b的运算原理如图所示，则2?

nsinxdx=

0

［答案］-2

［解读］Tnsinxdx=—cosx|n=2>2,0

nsinxdx=

0

4.设函数f（x）=ax2+c（a丰0），若1f（x）dx=f（xO）,0Wx0<1,则x0的值为

5.

0

［答案］40

［解读］•••（x3—2x）'=3x2—2,

•••n=2（3x2—2）dx=（x3—2x）|21

1

=（23—2X2）—（1—2）=5.

2

的通项公式为

Tr+1=C5x5—r（

2

x）r

3r

23r

=（—2）rCr5x，令5—-=2,得r=2,•••x2项的系数是（—2）2C2i=40.

1111=（4x4—§ax3）|0a=1^4=石,

-a<0,.•a=—1.

1.（2011•龙岩质检）已知函数f（x）=sin5x+1,根据函数的性质、积分的性质和积分