高中数学一对一讲义函数.docx
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高中数学一对一讲义函数
高中数学函数知识点总结
8.函数的三要素是什么？
如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：
①表达式相同；②定义域一致（两点必须同时具备）
9.求函数的定义域有哪些常见类型？
x4x
例：
函数y2的定义域是（答：
0，22，33，4）
lgx3
函数定义域求法：
分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；
对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
正切函数ytanx
xR,且xk,k
2
余切函数ycotx
xR,且xk,k
反三角函数的定义域
函数y＝arcsinx的定义域是[－1,1]
，值域是，函数y＝arccosx的定义域是[－1,1]，值域是[0,π，]
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。
10.
如何求复合函数的定义域？
复合函数定义域的求法：
已知yf（x）的定义域为m,n，求yfg（x）的定义域，可由mg（x）n解
出x的范围，即为y
fg（x）的定义域。
例若函数y
1
f（x）的定义域为,2，则f（log2x）的定义域为。
2
11、函数值域的求法
1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
1
例求函数y=的值域
x
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=x2-2x+5，x[-1，2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面
下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂
a.y
b2型：
直接用不等式性质k+x2
b.y
bx
2bx型,先化简，再用均值不等式x2mxn
例：
x11y
y1+x2x+12
x
c..y
x2mxn型通常用判别式
x2mxn
x2mxn
d.y
型
xn
法一：
用判别式
法二：
用换元法，把分母替换掉
例：
x2x1（x+1）2（x+1）+11
y（x+1）1211x1x1x1
4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x4
例求函数y=值域。
5x6
5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例求函数y=x+x1的值域。
8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例：
已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上，
（1）y的取值范围x2
（2）y-2x的取值范围
解:
（1）令yk,则yk（x2）,是一条过（-2,0）的直线.x2
倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例求函数y=x2的值域
x3
多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
12.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
切记：
做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂
如：
fx1exx，求f（x）.
13.反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
1xx0如：
求函数f（x）2的反函数x2x0
在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。
请看这个例题：
（2004.全国理）函数yx11（x1）的反函数是（B）
A．y=x2－2x+2（x<1）B．y=x2－2x+2（x≥1）
C．y=x2－2x（x<1）D．y=x2－2x（x≥1）
14.反函数的性质有哪些？
反函数性质：
1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）
2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）
3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称
1互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
2保存了原来函数的单调性、奇函数性；
③设yf（x）的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f（a）=bf1（b）a
f1f（a）f1（b）a，ff1（b）f（a）b
由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如
41（04.上海春季高考）已知函数f（x）log3
（2），则方程f1（x）4的解x.
x
15.如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：
（1）定义法：
根据定义，设任意得x1,x2，找出f（x1）,f（x2）之间的大小关系
可以变形为求f（x1）f（x2）的正负号或者f（x1）与1的关系x1x2f（x2）
（2）参照图象：
①若函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间具有相同的单调性；（特例：
奇函数）
②若函数f（x）的图象关于直线x＝a对称，则函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间里具有相反的单调性。
（特例：
偶函数）
（3）利用单调函数的性质：
①函数f（x）与f（x）＋c（c是常数）是同向变化的
②函数f（x）与cf（x）（c是常数），当c>0时，它们是同向变化的；当c<0时，它们是反向变化的。
3如果函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x）＋f2（x）和它们同向变化；（函数相加）
4如果正值函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们同向变化；如果负值函数f1
（2）与f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们反向变化；（函数相乘）
5
⑥若函数u＝φ（x），x[α，β]上复合函数y＝F[φ（x）]（β），φ（α）]反向变化，则在[
⑦若函数y＝f（x）是严格单调的，则其反函数x＝f－1（y）也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。
16.如何利用导数判断函数的单调性？
在区间a，b内，若总有f'（x）0则f（x）为增函数。
（在个别点上导数等于
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：
两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
2）若f（x）是奇函数且定义域中有原点，则f（0）0。
x
如：
若
f（x）a·2xa2为奇函数，则实数a
2x1
又如：
f（x）为定义在（1，1）上的奇函数，当x（0，1）时，f（x）
2x，
4x1，
求f（x）在
1，1上的解析式。
判断函数奇偶性的方法
.若函数的定义域不关
一、定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算f（x），然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性
复合函数奇偶性
f（g）
g（x）
f[g（x）]
f（x）+g（x）
f（x）*g（x）
奇
奇
奇
奇
偶
奇
偶
偶
非奇非偶
奇
偶
奇
偶
非奇非偶
奇
偶
偶
偶
偶
偶
18.你熟悉周期函数的定义吗？
若存在实数T（T0）
，在定义域内总有fxTf（x），则f（x）为周期
函数，T是一个周期。
）
如：
若fxaf（x），
答：
f（x）是周期函数，T
2a为f（x）的一个周期）
我们在做题的时候，
经常会遇到这样的情况：
告诉你f（x）+f（x+t）=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t.推
19.你掌握常用的图象变换了吗？
f（x）与f（x）的图象关于y轴对称联想点（x,y）,（-x,y）
f（x）与f（x）的图象关于x轴对称联想点（x,y）,（x,-y）
f（x）与f（x）的图象关于原点对称联想点（x,y）,（-x,-y）f（x）与f1（x）的图象关于直线yx对称联想点（x,y）,（y,x）f（x）与f（2ax）的图象关于直线xa对称联想点（x,y）,（2a-x,y）
f（x）与f（2ax）的图象关于点（a，0）对称联想点（x,y）,（2a-x,0）
将yf（x）图象
左移a（a0）个单位
yf（x
a）
右移a（a0）个单位
yf（x
a）
上移b（b0）个单位
yf（xa）b
下移b（b0）个单位
yf（xa）b
其实根本不用这
看点和原点的关系，
（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。
对于这种题目，么麻烦。
你要判断函数y-b=f（x+a）怎么由y=f（x）得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。
就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。
）
注意如下“翻折”变换：
f（x）|f（x）|把x轴下方的图像翻到上面
f（x）f（|x|）把y轴右方的图像翻到上面
如：
f（x）log2x1
作出ylog2x1及ylog2x1的图象
19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
的双曲线。
22
ax2bxc0，0时，两根x1、x2为二次函数yax2bxc的图象与x轴
如：
二次方程ax2bxc0的两根都大于k
b
k
2af（k）0
y
O
（a>0）
kx1
x2x
一根大于k，一根小于k
f（k）0
0
b
在区间（m，n）
内有2根
m
n
2a
f（m）
0
f（n）
0
在区间（m，n）内有1根f（m）f（n）0
4）指数函数：
yaxa0，a1
5）对数函数ylogaxa0，a1
由图象记性质！
k
6）“对勾函数”yxk0x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
（均值不等式一定要注意等号成立的条件）
y
20.你在基本运算上常出现错误吗？
1
指数运算：
a01（a0），app（a0）ap
mm
annam（a0），an1（a0）nma
对数恒等式：
alogaxx
对数换底公式：
logablogcblogambnnlogab
logcaam
1
logax
logxa
21.如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
如：
（1）x
R，f（x）满足f（xy）
f（x）
f（y），证明f（x）为奇函数
（先令x
y
0f（0）0再令y
x，⋯
⋯）
（2）x
R，
f（x）满足f（xy）f（x）
f（y），
证明f（x）是偶函数。
（先令x
y
tf（t）（t）f（t
·t）
∴f（t）f（t）f（t）f（t）
∴f（t）f（t）⋯⋯）
（3）证明单调性：
f（x2）fx2x1x2（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了
1、代y=x，
2、令x=0或1来求出f（0）或f
（1）
3、求奇偶性，令y=—x；求单调性：
令x+y=x1
几类常见的抽象函数
1.正比例函数型的抽象函数
f（x）＝kx（k≠0）f（x±y）＝f（x）±f（y）
2.幂函数型的抽象函数
axf（x）f（x）＝xaf（xy）＝f（x）f（y）；f（）＝
yf（y）
3.
指数函数型的抽象函数
f（x）＝ax
f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝f（x）
f（y）
4.对数函数型的抽象函数
x
f（x）＝logax（a>0且a≠1）f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（）＝f（x）－f（y）y
5.
三角函数型的抽象函数
例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f（x）>0，f（－1）＝－2求f（x）在区间[－2,1]上的值域.
分析：
先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.
例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f（x）>2，f（3）＝5，求不等式f（a2－2a－2）<3的解.
分析：
先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f
（1）＝3；最后脱去函数符号.
例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x<1时，f（x）∈[0，1].
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；
（3）若a≥0且f（a＋1）≤39，求a的取值范围.
分析：
（1）令y＝－1；
x1x1
（2）利用f（x1）＝f（1·x2）＝f
（1）f（x2）；
x2x2
（3）0≤a≤2.
例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：
存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：
（1）f（0）；
（2）对任意值x，判断f（x）值的符号.
分析：
（1）令x=y＝0；
（2）令y＝x≠0.
例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：
①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝f（a）f（b），a、b∈N；③f
（2）＝4.同时成立？
若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.
分析：
先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明.
例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：
（1）
（2）分析：
f
（1）；
若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.
（1）利用3＝1×3；
（2）利用函数的单调性和已知关系式.
例7设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.
分析：
设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝f（ab）＝f［g（m）g（n）］⋯.
例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：
x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）
f（x1）f（x2）1
f（x2）f（x1）
f（a）＝－1（a>0，a是定义域中的一个数）；当0试问：
1）
2）
分析：
（3）对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.
x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），
（1）＝f（－1）＝0；（x）为偶函数；
在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－1）≤0.
2
分析：
函数模型为：
f（x）
（1）先令x＝y＝1，再令x＝y＝－1；
（2）令y＝－1；
（3）由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.
例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x<0时，f（x）>1，求证：
（1）当x>0时，0（2）f（x）在x∈R上是减函数.
分析：
（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；
（3）受指数函数单调性的启发：
由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝f（x），
f（y）
进而由x1f（x1）＝f（x1－x2）>1.f（x2）
5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，则函数f（x）是（）
（A）奇函数非偶函数（C）既是奇函数又是偶函数参考答案：
1．A
2．B
23.你记得弧度的定义吗？
能写出圆心角为α，积公式吗？
4．A
5．B
半径为R的弧长公式和扇形面
11
R，S扇l·R
22
面积公式很相似，可以比较记忆.要知道圆锥展开图面积的求法）
R2）
（和三角形的
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