小学三年级矩形图法分析应用题详细讲解.docx
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小学三年级矩形图法分析应用题详细讲解
第十四讲矩形图法
一、本讲容：
矩形图中的经典模型矩形图的其它应用
二、前铺知识
鸡兔同笼综合/盈亏问题题进阶
三、后续知识
平均数进阶
四、课前测试：
4.1鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
解题思路分析：
1）从头46可以确定鸡兔一共46只
2）从足共128，可以确定鸡和兔的脚一共有128条,按照常识,一只兔子有4条腿，一只鸡2条腿
3）从题中可以确定总只数和总腿数数量知道，并知道每只鸡和兔的腿数，因此可考虑使用假设法或者方程来计算
假设法解题方法分析：
A）假设46头全部为鸡，则一共有的腿数量为46X2=92条，
发现腿数量比实际少：
128-92=36条，因此需要考虑需要将部分鸡变为兔，才能增加总的腿条数，从图中可以看出，每当一只鸡变成兔时，总腿数会增加两条，因此要补足缺的36条腿，需要有多少只鸡变成兔呢？
就是36÷2=18只，也就是有18只鸡变成兔子后，总腿数满足要求
假设法解题过程：
解：
假设46只全部为鸡，总腿数为46X2=92条，比总腿数少128-92=36条
当一只鸡换成兔子时，总腿数增加2条，因此要增加36条腿，需要将36÷2=18只鸡换成兔子才可以，因此兔子有18只，鸡有46–18=28只
答：
兔子18只，鸡28只
验证：
18X4+28X2=72+56=128条
方程法解题方法分析：
由于总腿数可以使用只数X每只的腿数来表示，并知道总只数，因此考虑假设兔只有y只，则鸡有46-y只，总腿数为：
4y+（46-y）X2=128
方程法解题过程：
解：
假设兔只有y只，则鸡有46-y只，
总腿数为：
4y+（46-y）X2=128
4y+46X2-2y=128
4y+92-2y=128
2y=128-92
y=36÷2
y=18
鸡：
46-y=46-18=28
答：
兔子18只，鸡28只
验证：
18X4+28X2=72+56=128条
4.2某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位，问宿舍几间？
住宿几人？
分析法解题方法分析：
从如果每间住7人，则多出4个床位，可以判断最后一间房住了三个人，我们用圆圈表示人，按照提议可以画出如下示意图
从上图可以看出或者推断出原先没有床位的14人已经最后一个房间中的两个人，一共16人在第二次分床位时，分到前面的房间了，如果假定前面房间原先的人保持不动，则每个房间能够增加两个人，因此可以算出16个人需要几间房：
16÷2=8个房间，因此加上最后一个房间，一共是8+1=9个房间，房间数量计算出来后可以计算住宿的人数5X9+14=59人
分析法解题过程：
解：
从题目分析可以确认当每个房间分7个人时最后一个房间分了3个人，也就是，最后一个房间中出来两人和第一次分配没有床位的14人，一共16个人一起被分配到前面房间，考虑原先房间的人不动，因此每个房间可以在分配2人
分完需要房间数量为16÷2=8个房间，
加上最后一个没有住满的房间，一共是8+1=9个房间，
住宿的人数：
5X9+14=59人
答：
房间数量为9间，住宿人数为59人。
盈亏解题方法分析：
从题目中如果每间住7人，则多出4个床位，这句话可以确定，假如每间房都分满7个人，则少4个人，这相当于亏为4，相当于在原先多余14个人基础上再增加4个人，就可以每个房间都增加两人，刚好分完。
如果每间住5人则有14人没有床位，这句话可以确定盈为14人，按照提议，假设再增加4个人，则可以将这18个人平均每个房间可以分2个人刚好分完，按照盈亏计算方法：
（盈数+亏数）÷两次每份分配之差（7-5）=份数，也就是房间数量，计算出房间数量后，就可以计算人数
盈亏方式解题过程：
解：
从题目可以确定每个房间分5人时，多14人，每个房间分7人时，少4人
因此房间数量为：
（14+4）÷（7-5）=9间
住宿人数：
9X5+14=59人
答：
房间数量为9间，住宿人数为59人
方程解题方法分析：
从题目看，房间数量没有发生变化，总人数没有发生变化，总人数可以利用房间数量乘上每个房间住的人数来得到，然后根据两次分法人数不变来写方程等式。
因此可以设置房间数量为Y，第一次分法的总人数为5Y+14，第二次分配总人数为7Y-4，两次总人数相等5Y+14=7Y-4
方程法解题过程：
解：
设房间数量为Y间，住宿人数7Y-4
5Y+14=7Y-4
14+4=7Y-5Y
18=2Y
Y=18÷2=9间
住宿人数：
7Y-4=7X9-4=59人
答：
房间数量为9间，住宿人数为59人
4.3小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟，如果每分钟走60米，就可以比正常上课时间提前2分钟到校。
小强家到学校的路程是多少米？
分析法解题思路：
从题目看，需要求路程，题目中告诉了两个速度，按照路程计算公式：
路程=速度X时间，因此我们需要先求出小强走的时间，这样就可以算路程了
题目中告诉了两个速度，想到可能会用到：
速度差X时间=路程差，速度差我们知道是60-50=10米/分钟，如果能算出两次的距离差，是否就可以求出时间呢，那我们看看能否通过线段图发现距离差
从题目中的比上课时间迟到3分钟和比上课时间早2分钟，可以判断如果按照某个速度从家到学校时刚刚好，不迟到，不早到，这个时间我们可以假定为t，因此按照50米/分钟速度。
在走了t这么长时间后，小强来到了A点，A点到学校还需要3分钟，其距离为50X3=150米
同时，如果按照60米/分钟的速度，如果小强到学校还没有到上课时间，如果他继续走完t分钟时，他应该到了B点，B点离学校的距离为2分钟走的距离60X2=120米
在相同的t分钟时间，前后两次的距离差为A到B的距离，距离为120+150=270米，
因此按照距离差=时间X速度差的公式得到270米=t分钟X10米/分钟，可以看出t=27分钟，所以按照50米/分钟的速度去学校时，27分钟后小强来到了A点，所以按照50米/分钟的速度，小强到学校的时间需要t+3=27+3=30分钟，那么家到学校的距离为50米/分钟X30分钟=1500米
分析法解题过程
解：
从题目来看，两次的速度差为60米/分钟-50米/分钟=10米/分钟
假设两次走的时间一样时，两次的距离差可以从下图看出来为：
50X3+60X2=270米
按照距离差=速度差X时间，从知道了速度差10米/分钟以及距离差270米，我们可以计算出走的时间：
时间=距离差÷速度差=270÷10=27分钟
因此家到学校的距离为50X27+50X3=50X（27+3）=50X30=1500米
答：
小强家到学校距离为1500米
方程解题方法分析：
从题目中的比上课时间迟到3分钟和比上课时间早2分钟，可以判断如果按照某个速度从家到学校时刚刚好，不迟到，不早到，这个时间我们可以假定为t分钟，因此我们考虑使用时间t来表示小强家到学校的距离：
如果速度为50米/分钟时，要迟到3分钟，因此时间为t+3分钟，家到学校距离为50X（t+3）
如果速度为60米/分钟时。
要找到2分钟，因此时间为t-2分钟，家到学校距离为60X（t-2）
按照距离=速度X时间，利用小强家到学校距离不变来写方程50X（t+3）=60X（t-2）
然后去括号解方程
方程法解题过程：
解：
根据图示，设按照50米/分钟的速度走，到上课时间时，用了t分钟，来到了A点，因此按照60米/分钟的速度来到学校时，使用的时间为（t-2）分钟
列方程如下：
50t+50X3=60（t-2）
50t+150=60t-120
150+120=60t-50t
10t=270
t=27分钟
距离：
60X（27-2）=60X25=1500米
答：
小强家到学校的路程是1500米。
五、模块一：
矩形图中的经典模型
例1：
某个长方形原本的长是10cm，如果它的宽减少3cm，长增加5cm，面积保持不变，那么原本长方形的面积为多少？
矩形分析法解题思路分析：
按照题意，画出下图，原长方形为图中斜线部分+A部分，变化后的图形为图中斜线部分+B部分，由于两个图形的面积相等，因此图中A部分和B部分的面积相等
按照题中出现面积关键点，因此想到长方形的面积公式：
长方形面积=长X宽
按照公式可以计算出A的面积为10X5=50平方厘米，因此图形B的面积也为50平方厘米，按照长方的面积公式50=5X？
？
，因此可以计算出B的一边长度为10cm
这样就可以求出原长方形B的宽+5cm，计算结果为10+5=15cm，然后按照长方形的面积计算公式计算面积为10X15=150平方厘米
矩形分析法解题过程：
解：
按照题意，画出如下图形，根据面积相等可知A的面积=B的面积
A的面积为：
10X5=50平方厘米
计算B长方不知道的一边宽度：
50÷5=10cm
按照图形可以知道原长方形的宽度为5+10=15cm
原长方的面积为：
10X15=150cm2
答：
原长方形面积为150平方厘米
方程法题思路分析：
按照题中要求面积，因此需要知道长方形的长和宽，长度题目告诉为10cm，因此可以设宽为Ycm，因此原长方形面积为10Y平方厘米
我们来看变化后长方的长度为15cm，宽度为（Y-5）cm，那么面积为15X（Y-5）平方厘米，按照面积相等建立方程
10Y=15X（Y-5），然后解方程
方程法解题过程：
解：
设原长方形的宽为Ycm，缩短后的新长方形宽度为（Y-5）cm
按照面积相等列方程如下：
10Y=15X（Y-5）
10Y=15Y-15X5
75=15Y-10Y
5Y=75
Y=15cm
面积为：
10X15=150cm2
答：
原长方形面积为150平方厘米
六、模块二：
经典模型的应用
在小学阶段各种应用题的学习中，我们学习了很多不同的公式，大部分的公式都可以总结为：
一个数X另一个数=乘积。
例如在平均数问题中有“平均数X数量=总数”，在行程问题中有“速度X时间=路程”,鸡兔同笼问题中有“每只鸡的腿数X鸡的只数=鸡的总共腿数”……
而长方形的面积公式恰好也是类似的公式“长X宽=面积”，那么我们就类比这个公式可以将其它问题都转化为长方形的面积来处理，从而实现了将具体的应用题转化为几何方面的面积问题
例1：
早上8:
00,小明从家里去学校，如果小明每分钟走60米，恰好能不迟到，如果每分钟少走10米，那么就会迟到6分钟，那么小明家距离学校多少米？
方程法解题思路分析
从题目看小明家到学校的距离没法发生变化，但速度在前后两次发生了变化，导致到学校的时间发生了变化，由于有距离、速度、时间出现，可以想到距离=速度X时间，从题目看速度知道，时间和距离不知道，考虑计算方便，我们可以设置刚好不迟到的时间为t分钟，那么小明家到学校的距离可以表示为60t，当速度减少10米/分钟时，那么小明到学校的时间需要花（t+6）分钟，因为降低速度后会迟到6分钟，那么小明家到学校的距离也可以表示为（60-10）X（t+6）=50t+300，因为距离没有发生变化，前后两次速度表示的距离应该相等，因此可以用等式表示60t=50X（t+6）,然后解方程
方程法解题过程：
解：
设小明按照60米/分钟速度到学校的时间为t分钟
根据距离不变，写方程如下：
60t=（60-10）X（t+6）
60t=50t+50X6
10t=300
t=30分钟
距离为：
60t=60X30=1800米
答：
小明家到学校距离为1800米
矩形图分析法解题思路分析：
由于距离=时间X速度，和长方形的面积公式：
面积=长X宽类型，因此可以考虑将时间看为长，速度看为宽，距离看作面积，这样我们可以画下图图形
速度为60米/分钟：
，可以画出如下长方形
如果每分钟少走10米，相当于宽减少10米/分钟，迟到6分钟，可以认为长度增加了6分钟，按照距离不变，也就是A+斜线部分的面积和斜线部分+B的面积相等，也就是A=B的面积，从图可以看出B的面积等于50X6=300，，因此A的面积也等于300，A的面积等于10XA的长，因此10XA的长=300，A的长度也就是时间=30，现在速度和时间都有了，计算距离就方便了：
距离=速度X时间距离=60X30=1800米
矩形图分析法解题过程：
解：
按照题意，可以考虑假定长方形的长为时间，宽为速度，这样可以画出下图
由于距离保持不变，也就是面积不变，因此A图形面积等于B图形面积
B的面积为50X6=300，因此A的长度为面积÷宽=300÷10=30
30就是按照60米/分钟到学校不迟到的时间，
因此家到学校的距离为60X30=1800米
答：
小明家到学校距离为1800米
例2：
养猪专业户王大伯说：
“如果卖掉75头猪，那么饲料可维持20夭，如果买进100头猪，那么饲料只能维持15天。
”问：
王大伯一共养了多少头猪？
方程解题法解题分析：
从题目看，饲料总数没有发生变化，但猪的数量和能够喂的天数在变化，因此考虑每天每头猪吃的饲料是一样的，从题目问有多少头猪考虑，我们可以假设猪的数量为Y头，因此卖掉75头时，可以用下面的等式表示总饲料：
卖掉后剩下的猪（Y-75）头X喂的天数，也就是20X（Y-75）
如果是利用买家100头猪后表示总饲料：
买进后总的猪（Y+100）头X喂的天数，也就是15X（Y+100）
根据总饲料不变得等式：
20X（Y-75）=15X（Y+100），然后解方程
方程解题法解题过程：
解：
设王大伯一共养了Y头猪
根据猪饲料总数不变，等方程20X（Y-75）=15X（Y+100）
20Y-20X75=15Y+15X100
5Y=1500+20X75
5Y=3000
Y=600（头）
答：
王大伯一共养了600头猪
矩形图分析法解题分析：
从题目看，饲料总数没有发生变化，但猪的数量和能够喂的天数在变化，因此考虑每天每头猪吃的饲料是一样的，都为1份，那么总饲料份数=猪的数量X喂的天数；这个和长方形面积公式一致，我们考虑将猪的数量看为长，喂的天数看为宽；可以得如下长方形，如果不买不卖猪的数量为AI线段表示，天数为AC，饲料总数为ACKI的面积AIXAC；如果卖掉75头猪，则剩余猪的数量为AH，线段HI=75头，喂的天数为AD，20天（AD=20天），饲料总数为AHED的面积；如果买进100头猪，则猪的数量为AL，增加的100头用IL表示IL=100头：
买进猪后的天数为ML天，按照题目中条件天数为15天，因此ML=15天，总饲料数量为ALMB长方形的面积，由于总饲料没有变化，因此长方形AHED和长方形ALMB的面积相等，从图中可以看出长方形BGED的面积和长方形HLMG的面积相等，长方形HLMG的面积=HLXML=（75+100）X15；
长方形BGFD的面积=BGXBD=BGX（AD-AB）=BGX（20-15）=5BG
根据面积相当BG=面积÷BD=面积÷5=（75+100）X15÷5=525
BG就是卖掉75头后剩余的猪数量525头，所以总猪的数量为AI=AH+HI=525+75=600头
矩形图分析法解题过程：
解：
根据题意可以画出如下图形，长方形的长表示猪的头数，宽表示喂的天数，长方形的面积表示总饲料
按照总饲料不变，长方形BDEG的面积和长方形HLMG的面积相等
长方形HLMG的面积为（100+75）X15=2625
长方形BDEG的面积也为1625，该长方形宽BD=5，因此长方形长BG为1625÷5=525
所以原先王大伯养的猪数量为AH+HI=525+75=600头
答：
王大伯一共养了600头猪
盈亏法解题分析
这个题目我们根据题意可以这么理解，当每头猪分20桶饲料时，有75头猪没有分到饲料，因此如果要每头猪都分到20桶饲料，那么还缺20X75桶饲料，这个是亏，如果每头猪分15桶饲料时，还剩饲料，剩的饲料可以分给100头猪，因此剩余的饲料为15X100桶，所以按照盈亏计算法，前后两次的饲料总数差为：
盈+亏=15X100+20X75=3000，导致饲料变化的原因是每次分的桶数不一样导致的，因此两次分的桶数差为：
20-15=5桶
所以有猪的头数为3000÷5=600头
盈亏法解题过程：
解：
按照题意，如果不买也不买猪考虑，如果每头猪分20份饲料，就有75头无法分到饲料；饲料缺份数为：
20X75=1500份
如果每头猪分15份饲料，剩余的饲料可以再分给100头猪，因此饲料多的份数为：
100X15=1500份
所以按照盈亏法计算养的猪的头数为：
（20X75+100X15）÷（20-15）=600（头）
答：
王大伯一共养了600头猪
分析法解题法解题分析：
下图上半部分可以看出，卖掉75头猪后，剩余的猪每头猪都可以吃20天
当不卖而是买回100头猪时，如下图的下半部分所示，那么每头猪可以吃15天
吃15天时猪比可以吃20天时猪的数量多75+100=175头猪，这就可以理解为原先卖完后剩余的猪，如果每头猪拿出5天的饲料，可以满足新增加的175头猪吃15天，这样就可以算出原先卖掉后剩余的猪数量为175X15÷5=525头，考虑原先卖掉的75头，那么一共就是75+525=600头猪
分析法解题过程：
解：
按照题意可以用下图表示，猪数量和饲料、吃的天数的关系
从图中看出，前后两次猪的数量不一样，吃15天时猪的数量比吃20天时猪数量多175头
由于吃的天数相差5天，可以计算出第一次卖掉后剩下的猪数量为：
175X15÷5=525头，考虑原先卖掉的75头，那么一共就是75+525=600头猪
答：
王大伯一共养了600头猪
练一练
一艘远洋轮船上共有28名海员，船上的淡水可以供全体海员用40天，轮船离开港口10天后在海上救起了12名遇难的外国船员，剩下的淡水可以供船上的人用多少天？
分析法解题法：
【解题分析】
从题目看是10天后，救起了12名船员，因此按照题意，在10天后，救起其他船员时，如果不救的情况28名船员还可以使用30天淡水，假设每个人一天使用一份水，这样船上淡水总量为28X30份，但现在救起了12名，那么总的船员数量为28+12=40人，总的淡水份数÷人数就是天数
解题过程：
解：
按照题意，在救国外船员时，船上的淡水可以供28人使用30天，假设每个船员每天使用1份水，则船上有淡水30X28份
救起12人后，人数变为40人，所以使用天数为28X30÷40=21天
答：
剩下的淡水可以供船上的人用21天
矩形图分析法：
【解题过程】
假设1个人1天用水1份，用横线表示人数，用竖线表示天数，则面积就可以表示淡水总量，救人时单位总量可以表示为长方形ABCD的面积30X28
救人后船上人数增加12人，变成了40人，淡水使用天数会减少，因此淡水总量可以用长方形AEFG面积表示：
AG人数XGF天数，
由于淡水总量不变，因此长方形ABCD的面积和长方形AEFG面积相等，
因此40XGF=30X28GF=30X28÷40=21天
答：
剩下的淡水可以供船上的人用21天
七、模块三：
矩形图的其它用法
例1：
有甲、乙两个车间生产零件.甲车间共20名工人，每人每天平均生产50个零件，乙车间每人每天平均生产40个零件，两个车间每人每天平均生产44个零件.请问：
乙车间有多少名工人？
分析法解题法：
【解题分析】
从题目看我们知道每天平均生产44个，甲车间每个人生产50个，每个人比平均数多50-44=6个，那么甲车间20人一共比平均数多6X20=120个，但乙车间每个人只生产了40个，每个人要比平均数少4个，因此甲车间多的就要分给乙车间的工人，每个工人分4个，让大家一样多，到平均数，因此120个里有多少个4个，就是乙车间的人数
解题过程：
解：
甲车间每个人生产数比平均数多6个，总共多20X6=120个
乙车间每个人生产比平均数少4个，甲车间多的要分给乙车间每人4个才能是平均数，因此乙车间人数为120÷4=30人
答：
乙车间有30名工人
方程法解题法：
【解题分析】
从题目看我们不知道乙车间人数，因此可以考虑假设乙车间人数为Y人
那么乙车间生产数量为40Y
甲车间生产数量为50X20=1000
使用平均数计算总的生产数量为44X（Y+20）
按照甲车间生产数量+乙车间生产数量=总数量写方程
解题过程：
解：
设乙车间人数为Y人
甲车间生产数量为50X20=1000
乙车间生产数量为40Y
写方程如下：
（Y+20）X44=40Y+1000
44Y+20X44=40Y+1000
44Y-40Y=100-880
4Y=120
Y=30
答：
乙车间有30名工人
矩形图分析法：
【解题过程】
我们考虑生产零件总数等于人数X每个人生产的数量，这个和长方形面积公式类似面积=长X宽；因此我们可以用长表示人数，宽表示每个人生产的数量，面积表示总数
从图形可以看出长方形ABCD面积表示甲车间生产的数量，长方形DGJL面积表示乙车间生产的数量，长方形AEIL面积表示甲、乙车间生产的总数量，其面积为前面两个长方形面积之和，因此推断长方形BEFC和长方形GFIJ面积相等，从图上可以看出BE=6，EF=20，IJ=4
所以GJ=SGFIJ÷IJ=SBEFC÷4=EFXBE÷4=20X6÷4=30
所以乙车间人数为30人
答：
乙车间有30名工人
例2:
园园买回3元一本和2元一本的两种本子共20本，并用去56元，求买回来的两种本子各多少本？
分析法解题法：
【解题分析】
按照题意，假设20本全部是3元一本的则需要20X3=60元，，比实际多用60-56=4元如果按照下图将其中一本换成2元一本的则需要钱数位19X3+1X2=59元，如果是2本换成2元的则需要钱数为18X3+2X2=58元，因此推断每降一本三元的换成1本2元的就少花1元，全部是3元一本的会多4元，那么需要将4÷1=4本3元一本的换成2元一本的，则刚好需要56元，16X3+4X2=56元
解题过程：
解：
如果20本全部是3元一本，则需要钱数为：
20X3=60元，多60-56=4元
如果将一本3元的换成2元一本的则可以少3-2=1元
4÷1=4
将4本3元一本的换成2元一本的，则需要钱数（20-4）X3+4X2=56元，刚好
2元一本的4本
3元一本的本数：
20-4=16本
答：
2元一本的4本，3元一本的16本
方程法解题法：
【解题分析】
题目知道总本数，需要求每种本子的数量，又知道每本的价格及总钱数，因此考虑设其中的一种本子数量为Y本，则另外一种的本子数量为（20-Y）本按照总钱数等于每种本子的钱数和写方程等式
解题过程：
解：
设2元一本的本数为Y本，3元一本的为（20-Y）本
2Y+3X（20-Y）=56
2Y+60-3Y=56
60-56=3Y-2Y
Y=4
3元一本的数量为（20-Y）=20-4=16本
乙车间生产数量为40Y
答：
2元一本的4本，3元一本的16本
八、本讲巩固
8.1：
某个长方形原本的长是20厘米，如果它的长减少4厘米，宽再增加5厘米，面积保持不变，那么原本长方形的面积为多少？
【解题过程】
按照题意，可以使用长方形ABCD表示原长方形，长AB=20cm，长度减少4cm，宽度增加5cm后变成长方形AHFE，长AH=EF=20-4=16cm
由于原长
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