中考数学一轮复习第6课一元二次方程导学案.docx
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中考数学一轮复习第6课一元二次方程导学案
一元二次方程
【考点梳理】：
1.一元二次方程的一般形式:
a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、b、c；其中a、b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
2.一元二次方程的解法:
一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.
3.一元二次方程根的判别式:
当ax2+bx+c=0（a≠0）时，Δ=b2-4ac叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：
Δ＞0<=>有两个不等的实根；Δ=0<=>有两个相等的实根；
Δ＜0<=>无实根；Δ≥0<=>有两个实根（等或不等）.
4.一元二次方程的根系关系：
当ax2+bx+c=0（a≠0）时，如Δ≥0，有下列公式：
※5．当ax2+bx+c=0（a≠0）时，有以下等价命题：
（以下等价关系要求会用公式
；Δ=b2-4ac分析，不要求背记）
（1）两根互为相反数
=0且Δ≥0b=0且Δ≥0；
（2）两根互为倒数
=1且Δ≥0a=c且Δ≥0；
（3）只有一个零根
=0且
≠0c=0且b≠0；
（4）有两个零根
=0且
=0c=0且b=0；
（5）至少有一个零根
=0c=0；
（6）两根异号
＜0a、c异号；
（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值
＜0且
＞0a、c异号且a、b异号；
（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值
＜0且
＜0a、c异号且a、b同号；
（9）有两个正根
＞0，
＞0且Δ≥0a、c同号，a、b异号且Δ≥0；
（10）有两个负根
＞0，
＜0且Δ≥0a、c同号，a、b同号且Δ≥0.
6．求根法因式分解二次三项式公式：
注意：
当Δ＜0时，二次三项式在实数范围内不能分解.
ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）或ax2+bx+c=
.
7．求一元二次方程的公式：
x2-（x1+x2）x+x1x2=0.注意：
所求出方程的系数应化为整数.
8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x）：
（1）第一年为a,第二年为a（1+x）,第三年为a（1+x）2.
（2）常利用以下相等关系列方程：
第一年+第二年+第三年=总和.
【思想方法】
1.常用解题方法——换元法
2.常用思想方法——转化思想，从特殊到一般的思想，分类讨论的思想
【考点一】：
一元二次方程的解
【例题赏析】（2014•湖南张家界，第15题，3分）已知关于x的方程x2+2x+k=0的一个根是﹣1，则k= ．
考点：
一元二次方程的解．
分析：
将x=﹣1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程即可求得k的值．
解答：
根据题意，得
（﹣1）2+2×（﹣1）+k=0，
解得k=1；
故答案是：
1．
点评：
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【考点二】：
一元二次方程的解法
【例题赏析】
（1）（2015，广西钦州，7，3分）用配方法解方程
，配方后可得（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
解一元二次方程-配方法．
专题：
计算题．
分析：
方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可．
解答：
解：
方程x2+10x+9=0，
整理得：
x2+10x=﹣9，
配方得：
x2+10x+25=16，即（x+5）2=16，
故选A
点评：
此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
（2）（2015•重庆A8，4分）一元二次方程
的根是（）
A.
B.
C.
D.
考点：
解一元二次方程-因式分解法．
分析：
先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解答：
解：
，
x（x﹣2）=0，
x=0，x﹣2=0，
X1=0，x2=2，
故选D．
点评：
本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一
次方程，难度适中．
【考点三】：
根的判别式及其应用
【例题赏析】（2015•宁德第7题4分）一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
考点：
根的判别式．
分析：
先求出△的值，再判断出其符号即可．
解答：
解：
∵△=32﹣4×2×1=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
点评：
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．
【考点四】：
列一元二次方程解应用题
【例题赏析】
（1）（2015•黑龙江哈尔滨，第8题3分）（2015•哈尔滨）今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增大到与长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600m2．设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是（ ）
A．x（x﹣60）=1600B．x（x+60）=1600C．60（x+60）=1600D．60（x﹣60）=1600
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：
几何图形问题．
分析：
设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据“扩大后的绿地面积比原来增加1600m2”建立方程即可．
解答：
解：
设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据题意得
x2﹣60x=1600，即x（x﹣60）=1600．
故选A．
点评：
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．
（2）（2015•内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第10题3分）学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？
设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x2=21B．x（x﹣1）=21C．x2=21D．x（x﹣1）=21
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．
分析：
赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数=
．即可列方程．
解答：
解：
设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）=21，
故选：
B．
点评：
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
（3）（2015•辽宁铁岭）（第9题，3分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．200（1﹣x）2=162B．200（1+x）2=162‘
C．162（1+x）2=200D．162（1﹣x）2=200
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．.
专题：
增长率问题．
分析：
此题利用基本数量关系：
商品原价×（1﹣平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可．
解答：
解：
由题意可列方程是：
200×（1﹣x）2=168．
故选A．
点评：
此题考查一元二次方程的应用最基本数量关系：
商品原价×（1﹣平均每次降价的百分率）=现在的价格．
【考点五】：
根与系数的关系
【例题赏析】（2015•贵州省黔东南州,第5题4分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22=（ ）
A．6B．8C．10D．12
考点：
根与系数的关系．
分析：
根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1•x2=﹣3，再变形x12+x22得到（x1+x2）2﹣2x1•x2，然后利用代入计算即可．
解答：
解：
∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根是x1、x2，
∴x1+x2=2，x1•x2=﹣3，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=22﹣2×（﹣3）=10．
故选C．
点评：
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：
若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
【真题专练】
1.（2015•丹东，第15题3分）若x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根，那么a= ．
2.（2015•齐齐哈尔,第14题3分）△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+15=0的根，则△ABC的周长是 ．
3.（2015•广东东莞8，3分）若关于x的方程x2+x﹣a+=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥2B．a≤2C．a＞2D．a＜2
4．（2015•湖南张家界，第6题3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（ ）
A．1B．0，1C．1，2D．1，2，3
5.（2015•山西,第5题3分）我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：
3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（ ）
A．转化思想B．函数思想C．数形结合思想D．公理化思想
6.（2015•黔西南州）（第7题）某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣11）=180B．2x+2（x﹣11）=180C．x（x+11）=180D．2x+2（x+11）=180
7.（2015•辽宁省盘锦,第12题3分）方程（x+2）（x﹣3）=x+2的解是 ．
8.（2015•甘南州第15题6分）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．
（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；
（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？
9.（2015•黑龙江省大庆,第21题5分）已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求+的值．
10.（2015•湖北十堰，第21题7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．
11.（2015•长沙，第23题9分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？
如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
【真题演练参考答案】
1.（2015•丹东，第15题3分）若x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根，那么a= ﹣3 ．考点：
一元二次方程的解．
分析：
根据方程的根的定义将x=1代入方程得到关于a的方程，然后解得a的值即可．
解答：
解：
将x=1代入得：
1+2+a=0，
解得：
a=﹣3．
故答案为：
﹣3．
点评：
本题主要考查的是方程的解（根）的定义和一元一次方程的解法，将方程的解代入方程是解题的关键．
2.（2015•齐齐哈尔,第14题3分）△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+15=0的根，则△ABC的周长是 8 ．
考点：
解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
分析：
先求得方程的根，再根据三角形三边关系判断出第三边的长，可求得三角形的周长．
解答：
解：
解方程x2﹣8x+15=0可得x=3或x=5，
∴△ABC的第三边为3或5，
但当第三边为5时，2+3=5，不满足三角形三边关系，
∴△ABC的第三边长为3，
∴△ABC的周长为2+3+3=8，
故答案为：
8．
点评：
本题主要考查三角形三边关系和一元二次方程的解法，利用三角形三边关系进行验证是解题的关键．
3.（2015•广东东莞8，3分）若关于x的方程x2+x﹣a+=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥2B．a≤2C．a＞2D．a＜2
考点：
根的判别式．
分析：
根据判别式的意义得到△=12﹣4（﹣a+）＞0，然后解一元一次不等式即可．
解答：
解：
根据题意得△=12﹣4（﹣a+）＞0，
解得a＞2．
故选C．
点评：
本题考查了根的判别式：
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
4．（2015•湖南张家界，第6题3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（ ）
A．1B．0，1C．1，2D．1，2，3
考点：
根的判别式；一元二次方程的定义．
分析：
根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，即可确定出k的非负整数值．
解答：
解：
根据题意得：
△=16﹣12k≥0，且k≠0，
解得：
k≤，
则k的非负整数值为1．
故选：
A．
点评：
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根
5.（2015•山西,第5题3分）我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：
3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（ ）
A．转化思想B．函数思想C．数形结合思想D．公理化思想
考点：
解一元二次方程-因式分解法．
专题：
计算题．
分析：
上述解题过程利用了转化的数学思想．
解答：
解：
我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，
从而得到两个一元一次方程：
3x=0或x﹣2=0，
进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．
这种解法体现的数学思想是转化思想，
故选A．
点评：
此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
（2015•黔西南州）（第7题）某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣11）=180B．2x+2（x﹣11）=180C．x（x+11）=180D．2x+2（x+11）=180
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：
增长率问题．
分析：
根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可．
解答：
解：
设宽为x米，则长为（x+11）米，
根据题意得：
x（x+11）=180，
故选C．
点评：
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积公式列出方程．
6.（2015•辽宁省盘锦,第12题3分）方程（x+2）（x﹣3）=x+2的解是 x1=﹣2，x2=4 ．
考点：
解一元二次方程-因式分解法．
分析：
先移项，再提取公因式，求出x的值即可．
解答：
解：
原式可化为（x+2）（x﹣3）﹣（x+2）=0，
提取公因式得，（x+2）（x﹣4）=0，
故x+2=0或x﹣4=0，解得x1=﹣2，x2=4．
故答案为：
x1=﹣2，x2=4．
点评：
本题考查的是解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解答此题的关键．
7.（2015•甘南州第15题6分）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．
（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；
（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？
考点：
一元二次方程的应用．.
专题：
增长率问题．
分析：
（1）设每绿地面积的年平均增长率为x，就可以表示出2014年的绿地面积，根据2014年的绿地面积达到82.8公顷建立方程求出x的值即可；
（2）根据
（1）求出的年增长率就可以求出结论．
解答：
解：
（1）设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得
57.5（1+x）2=82.8
解得：
x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）
答：
增长率为20%；
（2）由题意，得
82.8（1+0.2）=99.36万元
答：
2015年该镇绿地面积不能达到100公顷．
点评：
本题考查了增长率问题的数量关系的运用，运用增长率的数量关系建立一元二次方程的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出平均增长率是关键．
8.（2015•黑龙江省大庆,第21题5分）已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求+的值．
考点：
根与系数的关系．
分析：
根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=﹣1，再利用完全平方公式变形得到+=
=
，然后利用整体代入的方法进行计算．
解答：
解：
∵实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，
∴a+b=1，ab=﹣1，
∴+=
=
=﹣3．
点评：
本题考查了根与系数的关系：
若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．
9.（2015•湖北十堰，第21题7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．
考点：
根的判别式；根与系数的关系．
分析：
（1）根据根的判别式的意义得到△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，再变形已知条件得到（x1+x2）2﹣4x1x2=31+|x1x2|，代入即可得到结果．
解答：
解：
（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，
∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，
∴m≥﹣
；
（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，
∵x12+x22=31+|x1x2|，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，
即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，
解得m=2，m=﹣14（舍去），
∴m=2．
点评：
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：
当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
10.（2015•长沙，第23题9分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？
如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
考点：
一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
专题：
增长率问题．
分析：
（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；
（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．
解答：
解：
（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得
10（1+x）2=12.1，
解得x1=0.1，x2=﹣2.2（不合题意舍去）．
答：
该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
（2）今年6月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）=13.31（万件）．
∵平均每人每月最多可投递0.6万件，
∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：
0.6×21=12.6＜13.31，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务
∴需要增加业务员（13.31﹣12.6）÷0.6=1
≈2（人）．
答：
该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．
点评：
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
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