四年级奥数计算综合复杂数字谜A级学生版.docx

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四年级奥数计算综合复杂数字谜A级学生版

复杂数字谜

一、基本概念

数字谜

数字谜定义:

一般是指那些含有未知数字或未知运算符的算式．

填算符：

指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符（包括括），从而使这些数和运算符构成的算式成为一个等式。

算符：

指+、-、×、÷、（）、[]、｛｝。

数阵图

定义：

把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.

数阵图：

是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.

幻方

幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的

的数阵称作三阶幻方，

的数阵称作四阶幻方，

的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，

。

二、数字谜分类

1、竖式谜

2、横式谜

3、填空谜

4、幻方

5、数阵图

6、数独

三、解题技巧与方法

竖式数字谜

1、技巧

（1）从首位或者末尾找突破口（突破口：

指在做数字谜问题开始时的入口，一般在算式的首位或者末尾，可以确定其数字或者范围然后通过推理很快可以确定其值为后面的推理做好铺垫）；

（2）要根据算式性质逐步缩小范围，并进行适当的估算逐步排除不符合的数字；

（3）题目中涉及多个字母或汉字时，要注意用不同符表示不同数字这一条件来排除若干可能性；

（4）注意结合进位及退位来考虑；

（5）数字谜中的文字，字母或其它符，只取

中的某个数字。

（6）数字谜解出之后，最好验算一遍．

2、数字迷加减法

（1）个位数字分析法；

（2）加减法中的进位与退位；

（3）乘除法中的进位与退位；

（4）奇偶性分析法。

横式数字谜

解决巧填算符的基本方法

（1）凑数法：

根据所给的数，凑出一个与结果比较接近的数，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少，从而使等式成立。

（2）逆推法：

常是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式。

最值问题

（1）横式转化为竖式数字谜，乘法转化为除法；

（2）找突破口：

末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等．

（3）采用特殊分析方法：

个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、分解质因数法、奇偶分析法等．

（4）除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得到所求的最值的可能值，再验证能否取到这个最值．

（5）数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、方程、估算、找规律等题型。

数阵图

解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：

第一步：

区分数阵图中的普通点（或方格）和关键点（或方格）；

第二步：

在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；

第三步：

运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．

数独

数独游戏中最常规的办法就是利用每一个空格所在的三个单元中已经出现的数字（大小数独一个空格只位于两个单元之内，但是同时多了一个大小关系作为限制条件）来缩小可选数字的范围。

总结4个小技巧：

1、巧选突破口：

数独中未知的空格数目很多，如何寻找突破口呢？

首先我们要通过规则的限制来分析每一个空格的可选数字的个数，然后选择可选数字最少的方格开始，一般来说，我们会选择所在行、所在列和所在九宫格中已知数字比较多的方格开始，尽可能确定方格中的数字；而大小数独中已知的数字往往非常少，这个时候大小关系更加重要，我们除了利用已知数字之外更加需要考虑大小关系的限制。

2、相对不确定法：

有的时候我们不能确定2个方格中的数字，却可以确定同一单元其他方格中肯定不会出现什么数字，这个就是我们说的相对不确定法。

举例说明，A1可以填入1或者2，A2也可以填入1或者2，那么我们可以确定，1和2必定出现在A1和A2两者之中，A行其他位置不可能出现1或者2.

3、相对排除法：

某一单元中出现好几个空格无法确定，但是我们可以通过比较这几个空格的可选数字进行对比分析来确定它们中的某一个或者几个空格。

举例说明，A行中已经确定5个数字，还有4个数字（我们假设是1、2、3、4）没有填入，通过这4个空格所在的其他单元我们知道A1可以填入1、2、3、4，A2可以填入1、3，A3可以填入1、2、3，A4可以填入1、3，这个时候我们可以分析，数字4只能填入A1中，所以A1可以确定填入4，我们就可以不用考虑A1，这样就可以发现2只能填入A3中，所以A3也能确定，A2和A4可以通过其他办法进行确定。

4、假设法：

如果找不到能够确定的空格，我们不妨进行假设，当然，假设也是原则的，我们不能进行无意义的假设，假设的原则是：

如果通过假设一个空格的数字，可以确定和这个空格处在同一个单元内的其它某一个或者某几个空格的数字，那么我们就以选择这样的空格来假设为佳。

举例说明，B3可以填入1或者2，A3可以填入2或者3，B4可以填入1或者2，这个时候我们就应该假设B3填入2，这样就可以确定A3填入3，B4填入1，然后以这个为基础进行推理。

幻方

⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：

一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．

⑵适用于三阶幻方的三大法则有：

①求幻和：

所有数的和÷行数（或列数）

②求中心数：

我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3．

③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．

四、奇数和偶数的简单性质

1、整数可以分为奇数和偶数两类

（1）我们把1，3，5，7，9和个位数字是1，3，5，7，9的数叫奇数.

（2）把0，2，4，6，8和个位数是0，2，4，6，8的数叫偶数.

2、性质：

（1）奇数≠偶数.

（2）整数的加法有以下性质：

　　奇数+奇数=偶数；

　　奇数+偶数=奇数；

　　偶数+偶数=偶数.

（3）整数的减法有以下性质：

　　奇数-奇数=偶数；

　　奇数-偶数=奇数；

　　偶数-奇数=奇数；

　　偶数-偶数=偶数.

（4）整数的乘法有以下性质：

　　奇数×奇数=奇数；

　　奇数×偶数=偶数；

偶数×偶数=偶数.

五、幻方起源：

幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：

“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！

”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：

我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：

“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：

“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．

六、数独简介：

数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。

数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的九个数字不能重复。

中国古籍《易经》中的“九宫图”也源于此，故称“洛书九宫图”。

而“九宫”之名也因《易经》在中华文化发展史上的重要地位而保存、沿用至今。

1783年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发明了一种当时称作“拉丁方块”（LatinSquare）的游戏，这个游戏是一个n×n的数字方阵，每一行和每一列都是由不重复的n个数字或者字母组成的。

　19世纪70年代，美国的一家数学逻辑游戏杂志《戴尔铅笔字谜和词语游戏》（DellPuzzleMαgαzines）开始刊登现在称为“数独”的这种游戏，当时人们称之为“数字拼图”（NumberPlace），在这个时候，9×9的81格数字游戏才开始成型。

填充完整后1984年4月，在日本游戏杂志《字谜通讯Nikoil》（《パズル通信ニコリ》）上出现了“数独”游戏，提出了“独立的数字”的概念，意思就是“这个数字只能出现一次”或者“这个数字必须是唯一的”，并将这个游戏命名为“数独”（sudoku）。

一位前任香港高等法院的新西兰籍法官高乐德（WayneGould）在1997年3月到日本东京旅游时，无意中发现了。

他首先在英国的《泰晤士报》上发表，不久其他报纸也发表，很快便风靡全英国，之后他用了6年时间编写了电脑程式，并将它放在站上，使这个游戏很快在全世界流行。

从此，这个游戏开始风靡全球。

后来更因数独的流行衍生了许多类似的数学智力拼图游戏，例如：

数和、杀手数独。

中国大陆是在2007年2月28日正式引入数独.2007年2月28日，北京晚报智力休闲数独俱乐部（数独联盟sudokufederation前身）在新闻大厦举行加入世界谜题联合会的颁证仪式，会上谜题联合会秘书长皮特-里米斯特和俱乐部会长在证书上签字，这标志着北京晚报智力休闲俱乐部成为世界谜题联合会的39个成员之一，这也标志着俱乐部走向国际舞台，它将给数独爱好者带来更多与世界数独爱好者们交流的机会。

【例1】在每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．已知乘积有两种不同的得数，那么这两个得数的差是．

【巩固】在图中的每个方框中填入一个适当的数字，使得乘法竖式成立。

乘积等于。

【例2】如图，请在右图每个方框中填入一个数字，使乘法竖式成立。

【巩固】在下面的乘法算式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字．则

，

表示的五位数是．

【例3】在方格内填上适当的数字，使得除法竖式成立。

【巩固】如图所示的除法算式中，每个

各代表一个数字，则被除数是。

【例4】右面算式中的每个“奇”字代表1、3、5、7、9中的一个，每个“偶”字代表0、2、4、6、8中的一个，为使算式成立，求出它们所代表的值。

【巩固】下式中，不同位置的“奇”、“偶”可以是相同的数，也可以是不同的数。

但是数位是“奇”必须是奇数，数位是“偶”必须是偶数。

【例5】在下面的表1中，一条直线穿过其中若干个方格，穿过的方格中各数之和为

。

请你在表2中画一条直线，穿过其中若干个方格。

穿过的方格中各数之和最大是。

表1

【巩固】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻（即有线段相连的圆圈）的圆圈。

将左下图中每个圆圈中的数改为3个相邻圆圈所填数的平均值，便得到右下图。

如果左下图中已有一个数1，请填出左下图中的其它数，使得右下图中的数都是自然数。

【例6】将1至8这八个自然数分别填入图中的正方体的八个顶点处的

内，并使每个面上的四个

内的数字之和都相等。

求与填入数字1的

有线段相连的三个

内的数的和的最大值。

【巩固】将自然数

到

分别填在右图的圆圈内，使得图中每条直线上的三个圆圈内的数的和相等．

【例7】在下图中，在每个圆圈中填入一个数，使每条直线上所有圆圈中数的和都是234，那么标有★的圆圈中所填的数是_____________．

【巩固】（2010年第8届走美杯3年级初赛第8题）

年是虎年，请把

这

个数不重复的填入虎额上的“王”字中，使三行，一列的和都等于

【例8】将1～9这9个数字填入下图的9个圆圈内，使得每条线段两端上的两个数字之和各不相同（即可得到12个不同的和）。

【巩固】在棋盘中，如果两个方格有公共点，就称为相邻的。

右图中A有3个相邻的方格，而B有8个相邻的方格。

图中每一个奇数表示与它相邻的方格中，偶数的个数（如3表示相邻的方格中有3个偶数），每个偶数表示与它相邻的方格中，奇数的个数（如4表示相邻的方格中有4个奇数）。

请在下面的4×4的棋盘中填数（至少有一个奇数），满足上面的要求。

【例9】在右图所示的5

5方格表的空白处填入适当的自然数，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都是30。

要求：

填入的数只有两种不同的大小，且一种是另一种的2倍。

【巩固】请在右图所示4×4的正方形的每个格子中填入l或2或3，使得每个2×2的正方形中所填4个数的和各不相同。

【例10】在下图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4．

【巩固】在图的5×5的方格表中填入

四个字母，要求：

每行每列中四个字母都恰出现一次：

如果菜行的左边标有字母，则它表示这行中第一个出现的字母；如果某行的右边标有字母，则它表示这行中最后一个出现的字母；类似地，如果某列的上边（或者下边）标有字母，则它表示该列的第一个（或者最后一个）出现的字母．那么

在第二行从左到右出现的次序是．

【随练1】图2中的五个问分别表示五个连续的自然数，它们的和等于130，三角形内两个数的和等于53，圆内三个数的和等于79，正方形内两个数的和等于50。

那么，从左向右，这五个问依次是

【随练2】请你在六阶拉丁幻方中的空白方格内填入相应数字，使得每一行、每一列及两条对角线上恰好出现1、2、3、4、5、6．

【作业1】在左下图的5×5方格表的空白处填入1～5中的数，使得每行、每列、每条对角线上的数各不相同。

【作业2】如下图，6个3×2的小方格表拼成了6×6的大方格表。

请在空白处填入1～6中的数，使得每行、每列中的数各不相同，并且原来6个3×2的小方格表中的数也各不相同。

【作业3】把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有　　　种可能的取值．

【作业4】将

填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是

，

，

的倍数．

【作业5】在下面8个圆圈中分别填数字l，2，3，4，5，6，7，8（1已填出）．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n（n≤8）。

则从这个圆圈开始顺时针走n步进入另一个圆圈．依此下去，走7次恰好不重复地进入每个圆圈，最后进入的一个圆圈中写8．请给出两种填法．

学生对本次课的评价

○特别满意○满意○一般

家长意见及建议：

家长签字：