数学实验线性方程组的J迭代GS迭代SOR迭代解法实验报告内含matlab程序代码Word文档下载推荐.docx

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运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成。

实验内容

线性方程组的J-迭代；

线性方程组的GS-迭代；

线性方程组的SOR-迭代。

成绩

教师

实验四实验报告

一、实验名称：

线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代。

二、实验目的：

熟悉线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代，SSOR-迭代方法，编程实现雅可比方法和高斯-赛德尔方法求解非线性方程组

的根，提高matlab编程能力。

三、实验要求：

已知线性方程矩阵，利用迭代思想编程求解线性方程组的解。

四、实验原理：

1、雅可比迭代法（J-迭代法）：

线性方程组

，可以转变为：

迭代公式

其中

，称

为求解

的雅可比迭代法的迭代矩阵。

以下给出雅可比迭代的分量计算公式，令

，由雅可比迭代公式有

，既有

，于是，解

的雅可比迭代法的计算公式为

2、高斯-赛德尔迭代法（GS-迭代法）：

GS-迭代法可以看作是雅可比迭代法的一种改进，给出了迭代公式：

其余部分与雅克比迭代类似。

3、逐次超松弛迭代法（SOR-迭代法）：

选取矩阵A的下三角矩阵分量并赋予参数w，将之作为分裂矩阵M，

，其中，w>

0，为可选择的松弛因子，又

（1）公式构造一个迭代法，其迭代矩阵为

从而得到解

的逐次超松弛迭代法。

其中：

由此，解

的SOR-迭代法的计算公式为

（2）

观察

（2）式，可得结论：

（1）、当w=1时，SOR-迭代法为J-迭代法。

（2）、当w>

1时，称为超松弛迭代法，当w<

1时，称为低松弛迭代法。

五、实验内容：

　　%1.J-迭代

functionx1=jacobi（A,b,y）;

m=input（'

请输入迭代次数m:

'

）;

eps=input（'

请输入精度eps:

D=diag（diag（A））;

L=triu（A）-A;

U=tril（A）-A;

M=D\（L+U）;

g=D\b;

a=1;

k=0;

whilea>

eps

x2=M*x1+g;

a=norm（x2-x1,inf）;

x1=x2;

k=k+1;

end

%输出方程组的近似解、精确值及误差

disp（'

近似解：

disp（x1）;

x2=x1-y;

a=norm（x2,inf）;

fprintf（'

误差：

%.6f;

迭代次数：

%d\n'

a,k）;

%2.GS-迭代

functionx1=G_S（A,b,y）

n=100;

%生成矩阵M,向量g

M=（D-L）\U;

g=（D-L）\b;

%迭代首项

x1=eye（n-1,1）;

x2=eye（n-1,1）;

fori=1:

n-1

x1（i）=1;

x2（i）=0;

）；

%.4f;

%3.SOR-迭代

functiona=p（A）

[n,n]=size（A）;

x=eig（A）;

a=0;

n

b=abs（x（i））;

ifb>

a

a=x（i）;

end

a=abs（a）;

functionx1=SOR（A,b,y）%y为精确解

%超松弛迭代

%求最佳松弛因子w

w=p（M）;

w=2/（1+sqrt（1-w^2））;

ifw<

0||w>

2

disp（'

迭代不收敛'

return;

M=（D-w*L）\（（1-w）*D+w*U）;

g=（D-w*L）\b*w;

%进行迭代

w=1;

%x1=eye（n,1）;

whilew>

1e-6

w=norm（x2-x1,inf）;

w=norm（x2,inf）;

误差:

disp（w）;

disp（k）;

六、实验结果：

A=[520;

641;

125];

b=[1018-14]'

;

X1=G_S（A,b,[000]'

）

X1=

-0.8750

7.1874

-5.5000