第五章54平面向量的综合应用.docx

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第五章54平面向量的综合应用

§5.4　平面向量的综合应用

最新考纲

考情考向分析

1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.

主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.

1．向量在平面几何中的应用

（1）用向量解决常见平面几何问题的技巧：

问题类型

所用知识

公式表示

线平行、点共线等问题

共线向量定理

a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，

其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），b≠0

垂直问题

数量积的运算性质

a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，

其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a，b为非零向量

夹角问题

数量积的定义

cosθ＝（θ为向量a，b的夹角），其中a，b为非零向量

长度问题

数量积的定义

|a|＝＝，

其中a＝（x，y），a为非零向量

（2）用向量方法解决平面几何问题的步骤

平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．

2．向量在解析几何中的应用

向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．

3．平面向量在物理中的应用

（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．

（2）物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ（θ为F与s的夹角）．

4．向量与相关知识的交汇

平面向量作为一种工具，常与函数（三角函数）、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．

概念方法微思考

1．根据你对向量知识的理解，你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题？

提示　

（1）线段的长度问题．

（2）直线或线段平行问题．（3）直线或线段垂直问题．（4）角的问题等．

2．如何用向量解决平面几何问题？

提示　用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题，最后把运算结果“翻译”成几何关系．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）若∥，则A，B，C三点共线．（　√　）

（2）在△ABC中，若·<0，则△ABC为钝角三角形．（　×　）

（3）若平面四边形ABCD满足＋＝0，（－）·＝0，则该四边形一定是菱形．

（　√　）

（4）已知平面直角坐标系内有三个定点A（－2，－1），B（0，10），C（8,0），若动点P满足：

＝＋t（＋），t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.（　√　）

题组二　教材改编

2．[P108A组T5]已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，4），B（5,2），C（－1，－4），则该三角形为（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等腰直角三角形

答案　B

解析　＝（2，－2），＝（－4，－8），＝（－6，－6），

∴||＝＝2，||＝＝4，

||＝＝6，

∴||2＋||2＝||2，

∴△ABC为直角三角形．

3．[P113A组T1]平面直角坐标系xOy中，若定点A（1,2）与动点P（x，y）满足·＝4，则点P的轨迹方程是____________．

答案　x＋2y－4＝0

解析　由·＝4，得（x，y）·（1,2）＝4，即x＋2y＝4.

题组三　易错自纠

4．在△ABC中，已知＝（2,3），＝（1，k），且△ABC的一个内角为直角，则实数k的值为________________．

答案　－或或

解析　①若A＝90°，则有·＝0，即2＋3k＝0，

解得k＝－；

②若B＝90°，则有·＝0，

因为＝－＝（－1，k－3），

所以－2＋3（k－3）＝0，解得k＝；

③若C＝90°，则有·＝0，即－1＋k（k－3）＝0，

解得k＝.

综上所述，k＝－或或.

5．在四边形ABCD中，＝（1,2），＝（－4,2），则该四边形的面积为________．

答案　5

解析　依题意得·＝1×（－4）＋2×2＝0，

所以⊥，所以四边形ABCD的面积为

||·||＝××＝5.

6．已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为（－2,0），O为坐标原点，则·的最大值为________．

答案　6

解析　方法一　由题意知，＝（2,0），

令P（cosα，sinα），则＝（cosα＋2，sinα）．

·＝（2,0）·（cosα＋2，sinα）＝2cosα＋4≤6，

故·的最大值为6.

方法二　由题意知，＝（2,0），令P（x，y），－1≤x≤1，

则·＝（2,0）·（x＋2，y）＝2x＋4≤6，

故·的最大值为6.

题型一　向量在平面几何中的应用

例1

（1）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.

答案　12

解析　

（1）方法一　因为·＝2·，

所以·－·＝·，

所以·＝·.

因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，

所以2||＝||||cos，化简得||＝2.

故·＝·（＋）＝||2＋·

＝

（2）2＋2×2cos＝12.

方法二　如图，建立平面直角坐标系xAy.

依题意，可设点D（m，m），

C（m＋2，m），B（n,0），

其中m>0，n>0，

则由·＝2·，

得（n,0）·（m＋2，m）＝2（n,0）·（m，m），

所以n（m＋2）＝2nm，化简得m＝2.

故·＝（m，m）·（m＋2，m）＝2m2＋2m＝12.

（2）（2018·广元统考）在△ABC中，AB＝2AC＝6，·＝2，点P是△ABC所在平面内一点，则当2＋2＋2取得最小值时，·＝________.

答案　－9

解析　∵·＝2，

∴·－2＝·（－）

＝·＝0，

∴⊥，即BA⊥AC.

以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，

则B（6,0），C（0,3），设P（x，y），

∴2＋2＋2＝x2＋y2＋（x－6）2＋y2＋x2＋（y－3）2

＝3x2－12x＋3y2－6y＋45

＝3[（x－2）2＋（y－1）2＋10]．

∴当x＝2，y＝1时，2＋2＋2有最小值，此时·＝（2,1）·（－6,3）＝－9.

思维升华向量与平面几何综合问题的解法

（1）坐标法

把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示．

（2）基向量法

适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．

跟踪训练1

（1）（2019·松原三校联考）已知△ABC外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝2，A为钝角，M是BC边的中点，则·等于（　　）

A．3B．4

C．5D．6

答案　C

解析　∵M是BC边的中点，

∴＝（＋），

∵O是△ABC的外接圆的圆心，

∴·＝||·||cos∠BAO

＝||2＝×

（2）2＝6.

同理可得·＝||2＝×

（2）2＝4.

∴·＝（＋）·

＝·＋·＝×（6＋4）＝5.

（2）（2018·聊城模拟）在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，点P是△ABC所在平面上的任意一点，则·＋·的最小值为（　　）

A．1B．2C．－2D．－1

答案　C

解析　建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则A（0,2）．

设点P的坐标为（x，y），

则＝，＝（－x，－y），

故·＋·＝·

＝2·＝2

＝2－2≥－2，

当且仅当x＝0，y＝1时等号成立．

所以·＋·的最小值为－2.

题型二　向量在解析几何中的应用

例2

（1）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是（　　）

A.B.

C.D.

答案　B

解析　如图，由||＝1知点P的轨迹是以A为圆心，以1为半径的圆．

由＝知，

点M为PC的中点，

取AC的中点N，连接MN，

则|MN|＝|AP|＝，

所以点M的轨迹是以N为圆心，以为半径的圆．

因为||＝3，

所以||的最大值为3＋＝，||2的最大值为.故选B.

（2）在平面直角坐标系xOy中，A（－12,0），B（0，6），点P在圆O：

x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．

答案　[－5，1]

解析　方法一　因为点P在圆O：

x2＋y2＝50上，

所以设P点坐标为（x，±）（－5≤x≤5）．

因为A（－12,0），B（0,6），

所以＝（－12－x，－）

或＝（－12－x，），

＝（－x,6－）或＝（－x,6＋）．因为·≤20，先取P（x，）进行计算，

所以（－12－x）·（－x）＋（－）（6－）≤20，

即2x＋5≤.

当2x＋5<0，即x<－时，上式恒成立．

当2x＋5≥0，即x≥－时，（2x＋5）2≤50－x2，

解得－≤x≤1，故x≤1.

同理可得P（x，－）时，x≤－5.

又－5≤x≤5，所以－5≤x≤1.

故点P的横坐标的取值范围为[－5，1]．

方法二　设P（x，y），

则＝（－12－x，－y），＝（－x,6－y）．

∵·≤20，

∴（－12－x）·（－x）＋（－y）·（6－y）≤20，

即2x－y＋5≤0.

如图，作圆O：

x2＋y2＝50，直线2x－y＋5＝0与⊙O交于E，F两点，

∵P在圆O上且满足2x－y＋5≤0，

∴点P在

上．

由得F点的横坐标为1，

又D点的横坐标为－5，

∴P点的横坐标的取值范围为[－5，1]．

思维升华向量在解析几何中的“两个”作用

（1）载体作用：

向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．

（2）工具作用：

利用a⊥b⇔a·b＝0（a，b为非零向量），a∥b⇔a＝λb（b≠0），可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．

跟踪训练2（2019·重庆质检）已知圆C：

x2＋y2－2x－2y＋3＝0，点A（0，m）（m>0），A，B两点关于x轴对称．若圆C上存在点M，使得·＝0，则当m取得最大值时，点M的坐标是（　　）

A.B.

C.D.

答案　C

解析　由题意得圆的方程为（x－1）2＋（y－）2＝1，

B（0，－m），设M（x，y），

由于·＝0，

所以（x，y－m）·（x，y＋m）＝0，

所以x2＋y2－m2＝0，所以m2＝x2＋y2，

由于x2＋y2表示圆C上的点到原点距离的平方，

所以连接OC，并延长和圆C相交，交点即为M，

此时m2最大，m也最大．

|OM|＝1＋2＝3，∠MOx＝60°，

所以xM＝3×sin30°＝，yM＝3×sin60°＝.故选C.

题型三　向量的其他应用

命题点1　向量在不等式中的应用

例3已知O是坐标原点，点A（－1,2），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是（　　）

A．[－1,0]B．[0,1]

C．[1,3]D．[1,4]

答案　D

解析　作出点M（x，y）满足的平面区域如图阴影部分所示（含边界），

设z＝·，

因为A（－1,2），M（x，y），

所以z＝·＝－x＋2y，

即y＝x＋z.

平移直线y＝x，由图象可知，

当直线y＝x＋z经过点C（0,2）时，截距最大，

此时z最大，最大值为4，

当直线y＝x＋z经过点B时，截距最小，

此时z最小，最小值为1，

故1≤z≤4，即1≤·≤4.

命题点2　向量在解三角形中的应用

例4（2019·衡阳模拟）在△ABC中，若||＝2，且·cosC＋·cosA＝·sinB.

（1）求角B的大小；

（2）求△ABC的面积．

解　

（1）因为＝＋，

所以·cosC＋·cosA＝·sinB

＝（＋）·sinB，

即（cosC－sinB）＋（cosA－sinB）＝0.

而向量，是两个不共线的向量，

所以所以cosC＝cosA，

因为A，C∈（0，π），

所以A＝C.在等腰△ABC中，A＋B＋C＝π，

所以2A＋B＝π，A＝－.

所以cosA＝cos＝sin＝sinB，

所以sin＝2sincos，

因为sin≠0，所以cos＝.

综合0<<，所以＝，B＝.

（2）由

（1）知，A＝C＝，

由正弦定理，得＝，

所以||＝2，

S△ABC＝||||sin＝×2×2×＝.

思维升华利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．

跟踪训练3在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝（c，b－2a），且m·n＝0.

（1）求∠C的大小；

（2）若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．

解　

（1）因为m＝（cosB，cosC），n＝（c，b－2a），m·n＝0，

所以ccosB＋（b－2a）cosC＝0，

在△ABC中，由正弦定理得，

sinCcosB＋（sinB－2sinA）cosC＝0，

sinA＝2sinAcosC，

又sinA≠0，

所以cosC＝，而C∈（0，π），所以∠C＝.

（2）由＝知，－＝－，

所以2＝＋，

两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①

又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，

所以a2＋b2－ab＝12.②

由①②得ab＝8，

所以S△ABC＝absin∠ACB＝2.

1．在△ABC中，（＋）·＝||2，则△ABC的形状一定是（　　）

A．等边三角形B．等腰三角形

C．直角三角形D．等腰直角三角形

答案　C

解析　由（＋）·＝||2，

得·（＋－）＝0，

即·（＋＋）＝0，

2·＝0，

∴⊥，∴A＝90°.

又根据已知条件不能得到||＝||，

故△ABC一定是直角三角形．

2．在▱ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·等于（　　）

A．48B．36

C．24D．12

答案　C

解析　·＝（＋）·（＋）

＝·

＝2－2

＝×82－×62＝24，故选C.

3．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ（＋），λ∈（0，＋∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）

A．内心B．外心C．重心D．垂心

答案　C

解析　由原等式，得－＝λ（＋），

即＝λ（＋），根据平行四边形法则，

知＋是△ABC的中线AD（D为BC的中点）所对应的2倍，

所以点P的轨迹必过△ABC的重心．

4．（2018·东北育才中学模拟）已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，若函数f（x）＝x3＋|a|x2＋a·bx＋1在R上存在极值，则a和b夹角的取值范围为（　　）

A.B.

C.D.

答案　B

解析　f′（x）＝x2＋|a|x＋a·b，设a和b的夹角为θ，

因为f（x）有极值，

所以Δ＝|a|2－4a·b>0，

即Δ＝|a|2－4|a|·|b|·cosθ>0，

即cosθ<，所以θ∈.

5．过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若＝，·＝48，则抛物线的方程为（　　）

A．y2＝8xB．y2＝4x

C．y2＝16xD．y2＝4x

答案　B

解析　如图所示，由＝，得F为线段AB的中点，

∵|AF|＝|AC|，∴∠ABC＝30°，

由·＝48，得|BC|＝4.

则|AC|＝4，∴由中位线的性质，

有p＝|AC|＝2，

故抛物线的方程为y2＝4x.故选B.

6．（2019·南昌测试）在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝1，AB＝BC＝2，∠BCD＝120°，动点P和Q分别在线段BC和CD上，且＝λ，＝，则·的最大值为（　　）

A．－2B．－

C.D.

答案　D

解析　因为AB∥CD，CD＝1，AB＝BC＝2，∠BCD＝120°，

所以ABCD是直角梯形，且CM＝，∠BCM＝30°，

以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

因为＝λ，＝，动点P和Q分别在线段BC和CD上，则λ∈，

B（2,0），P（2－λ，λ），Q，

所以·＝（2－λ，λ）·

＝5λ＋－4－.

令f（λ）＝5λ＋－4－且λ∈，

由对勾函数性质可知，当λ＝1时可取得最大值，

则f（λ）max＝f

（1）＝5＋－4－＝.

7．在菱形ABCD中，若AC＝4，则·＝________.

答案　－8

解析　设∠CAB＝θ，AB＝BC＝a，

由余弦定理得a2＝16＋a2－8acosθ，∴acosθ＝2，

∴·＝4×a×cos（π－θ）＝－4acosθ＝－8.

8．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________．

答案　

解析　由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，

即4|b|2＋4×2|b|2cosθ＝0，∴cosθ＝－.

又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.

9.如图，A是半径为5的圆C上的一个定点，单位向量在A点处与圆C相切，点P是圆C上的一个动点，且点P与点A不重合，则·的取值范围是________．

答案　[－5,5]

解析　如图所示，以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．

设点P（x，y），B（1,0），A（0,0），

则＝（1,0），＝（x，y），

所以·＝（x，y）·（1,0）＝x.

因为点P在圆x2＋（y－5）2＝25上，

所以－5≤x≤5，即－5≤·≤5.

10．已知抛物线C：

x2＝4y的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交x轴的正半轴于点N，交抛物线C的准线l于点T，且＝，则|NT|＝________.

答案　3

解析　画出图形如图所示．由题意得抛物线的焦点F（0,1），准线为y＝－1.

设抛物线的准线与y轴的交点为E，过M作准线的垂线，垂足为Q，交x轴于点P.

由题意得△NPM∽△NOF，

又＝，即M为FN的中点，

∴||＝|OF|＝，|OP|＝＝，

∴||＝＋1＝，|ON|＝2|OP|＝2，

∴||＝||＝.

又＝＝，

即＝＝，解得||＝3.

11．已知四边形ABCD为平行四边形，点A的坐标为（－1,2），点C在第二象限，＝（2,2），且与的夹角为，·＝2.

（1）求点D的坐标；

（2）当m为何值时，＋m与垂直．

解　

（1）设C（x，y），D（a，b），则＝（x＋1，y－2）．

∵与的夹角为，·＝2，

∴＝＝，

化为（x＋1）2＋（y－2）2＝1.①

又·＝2（x＋1）＋2（y－2）＝2，化为x＋y＝2.②

联立①②解得或

又点C在第二象限，∴C（－1,3）．

又＝，∴（a＋1，b－3）＝（－2，－2），

解得a＝－3，b＝1.

∴D（－3,1）．

（2）由

（1）可知＝（0,1），

∴＋m＝（2m,2m＋1），

＝－＝（－2，－1）．

∵＋m与垂直，

∴（＋m）·＝－4m－（2m＋1）＝0，

解得m＝－.

12．已知A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m＝（，cosA＋1），n＝（sinA，－1），m⊥n.

（1）求角A的大小；

（2）若a＝2，cosB＝，求b的值．

解　

（1）∵m⊥n，

∴m·n＝sinA＋（cosA＋1）×（－1）＝0，

∴sinA－cosA＝1，∴sin＝.

∵0

∴A－＝，∴A＝.

（2）在△ABC中，A＝，a＝2，cosB＝，

∴sinB＝＝＝.

由正弦定理知＝，

∴b＝＝＝，

∴b＝.

13．（2018·包头模拟）已知BC是圆O的直径，H是圆O的弦AB上一动点，BC＝10，AB＝8，则·的最小值为（　　）

A．－4B．－25

C．－9D．－16

答案　D

解析　以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

设点H（x，y），则B（－5,0），C（5,0），

所以＝（－5－x，－y），＝（5－x，－y），

则·＝（－5－x，－y）·（5－x，－y）

＝x2＋y2－25，

又因为AB＝8，且H为弦AB上一动点，

所以9≤x2＋y2≤25，

其中当取AB的中点时取得最小值，

所以·＝9－25＝－16，故选D.

14．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（＋）·的最小值为________．

答案　－

解析　∵圆心O是直径AB的中点，

∴＋＝2，∴（＋）·＝2·，

∵||＋||＝3≥2，

∴||·||≤，

即（＋）·＝2·＝－2||·||≥－，当且仅当||＝||＝时，等号成立，故最小值为－.

15．记M的最大值和最小值分别为Mmax和Mmin.若平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a·b＝c·（a＋2b－2c）＝2，则（　　）

A．|a－c|max＝B．|a＋c|max＝

C．|a－c|min＝D．|a＋c|min＝

答案　A

解析　由已知可得a·b＝|a||b|cosθ＝2，

cosθ＝，θ＝，

建立平面直角坐标系，a＝＝（2,0），

b＝＝（1，），c＝＝（x，y），

由c·（a＋2b－2c）＝2，

可得（x，y）·（4－2x，2－2y）＝2，

即4x－2x2＋2y－2y2＝2，

化简得C点轨迹为（x－1）2＋2＝，

则|a－c|＝，

转化为圆上点与（2,0）的距离

|a－c|max＝＋＝.

16．已知||＝||＝1，点C在线段AB上，且||的最小值为，求|－t|（t∈R）的最小值．

解　∵||＝||＝1，

∴点O在线段AB的垂直平分线上．

∵点C在线段AB上，且||的最小值为，

∴当C是AB的中点时||最小，此时||＝，

∴与的夹角为60°，

∴，的夹角为120°.

又|－t|2＝2＋t22－2t·

＝1＋t2－2t·1·1·cos120°

＝t2＋t＋1

＝2＋≥，当且仅当t＝－时等号成立．

∴|－t|2的最小值为，∴|－t|的最小值为.