最新八年级上数学培优试题及答案解析docx.docx
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最新八年级上数学培优试题及答案解析
11.1与三角形有关的段
一三角形个数的确定
1．如，中三角形的个数（）
A．2B．18C．19D．20
2．如所示，第1个中有1个三角形，第2个中共有5个三角形，第3个中共有9个三角形，依此
推，第6个中共有三角形__________个．
3．材料，并填表：
在△ABC中，有一点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直上，可构成三个不重叠的小三角形（如）．当△ABC内的点的个数增加，若其他条件不，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎？
完成下表：
△ABC内点的个数
1
2
3⋯
1007
构成不重叠的小三角形的个数
3
5
⋯
二
根据三角形的三不等关系确定未知字母的范
4．三角形的三分
3，1－2
，8，
a
的取范是（
）
a
A．－6＜a＜－3
B．－5＜a＜－2
C．2＜a＜5D．a＜－5或a＞－2
5.在△ABC中，三分正整数
a、b、c，且c≥b≥a＞0，如果b=4，的三角形共有
______个．
6．若三角形的三分是2、x、8，且x是不等式x
2＞
12x
的正整数解，求第三
x的．
2
3
状元笔
【知要点】
1．三角形的三关系
三角形两的和大于第三，两的差小于第三．
2．三角形三条重要段
（1）高：
从三角形的点向所在的直作垂，点与垂足之的段叫做三角形的高．
（2）中：
接三角形的点与中点的段叫做三角形的中．
（3）角平分：
三角形内角的平分与相交，点与交点之的段叫做三角形的角平分．3．三角形的定性
三角形具有定性．【温馨提示】
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1．以“是否有相等”，可以将三角形分两：
三都不相等的三角形和等腰三角形．而不是分三：
三都不相等的三角形、等腰三角形、等三角形，等三角形是等腰三角形的一种．
2．三角形的高、中、角平分都是段，而不是直或射．
【方法技巧】
1．根据三角形的三关系判定三条段能否成三角形，要看两条短之和是否大于最．
2．三角形的中将三角形分成两个同底等高的三角形，两个三角形面相等．
参考答案:
1．D解析：
段
上有5个点，段
与点
C
成5×（5－1）÷2=10个三角形；同，段
上也有
AB
AB
DE
5个点，段DE与点C成5×（5－1）÷2=10个三角形，中三角形的个数
20个．故D．
2．21解析：
根据前的具体数据，再合形，不：
后的比前多
4，若把第一个形中三角
形的个数看作是
1=4－3，第n个形中，三角形的个数是
4n－3．所以当n=6，原式=21．
3．解：
填表如下：
△ABC内点的个数
1
2
3
⋯
1007
构成不重叠的小三角形的个数
3
5
7
⋯
2015
解析：
当△ABC内有1个点，构成不重叠的三角形的个数是
3=1×2＋1；当△ABC内有2个点，构成不重
叠的三角形的个数是
5=2×2＋1；参考上面数据可知，三角形的个数与点的个数之的关系是：
三角形内有n
个点，三角形内互不重叠的小三角形的个数是
2n+1，故当有3个点，三角形的个数是
3×2＋1=7；当有
1007个点，三角形的个数是
1007×2＋1=2015．
4．B
解析：
根据意，得
8－3＜1－2＜8＋3，即5＜1－2＜11，解得－5＜
＜－2．故B．
a
a
a
5．10
解析：
∵在△ABC中，三分正整数
a、b、c，且c≥b≥a＞0，∴c＜a+b．∵b=4，
∴a=1，2，3，4．a=1，c=4；a=2，c=4或5；a=3，c=4，5，6；a=4，c=4，5，6，7．∴的三
角形共有1+2+3+4=10个．
6．解：
原不等式可化3（x+2）＞－2（1－2x），解得x＜8．
∵x是它的正整数解，
∴x可取1，2，3，5，6，7．
再根据三角形三关系，得6＜x＜10，
∴x=7．
11.2与三角形有关的角
一利用三角形的内角和求角度
1．如，在△ABC中，∠ABC的平分与∠ACB的外角平分相交于D点，∠A=50°，∠D=（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
2．如，已知：
在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D.若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．
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3．已知：
如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：
__________；
（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）
（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系．（直接写出结论即可）
专题二利用三角形外角的性质解决问题
4．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
5．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．
（1）求∠DCE的度数；
（2）试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．（不必证明）
6．如图：
（1）求证：
∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．
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状元笔记
【知识要点】
1．三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°．
2．直角三角形的性质及判定
性质：
直角三角形的两个锐角互余．
判定：
有两个角互余的三角形是直角三角形．
3．三角形的外角及性质
外角：
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
性质：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【温馨提示】
1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角．
2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角．
【方法技巧】
1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互余”．
2．由三角形的外角的性质可得出：
三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．
参考答案:
1．C解析：
∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，∴∠1=1∠ACE，∠2=1∠ABC．又∵∠D=∠1
22
－∠2，∠A=∠ACE－∠ABC，∴∠D=1∠A=25°．故选C．
2
2．解：
（法1）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以1（∠BAC＋∠ABC）=45°.
2
因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，
∠BAP=1∠BAC，∠ABP=1∠ABC，
22
即∠BAP＋∠ABP=45°，
所以∠APB=180°－45°=135°.
（法2）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，
所以1（∠BAC＋∠ABC）=45°，
2
因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，
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1
∠ABC，∠PAC=
1
∠DBC=
∠BAC，所以∠DBC＋∠PAD=45°.
2
2
所以∠APB=∠PDA＋∠PAD=∠DBC＋∠C＋∠PAD=∠DBC＋∠PAD＋∠C=45°＋90°=135°.
3．解：
（1）∠A+∠D=∠B+∠C；
（2）由
（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，∴∠1－∠3=∠P－∠D，∠2－∠4=∠B－∠P，又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠P－∠D=∠B－∠P，即2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．
（3）2∠P=∠B+∠D．
4．B解析：
延长DC，与AB交于点E．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得
∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD－∠ABD=60°．设AC与BP相交于点O，则∠AOB=∠POC，
∴∠P+1∠ACD=∠A+1∠ABD，即∠P=50°－1（∠ACD－∠ABD）=20°．故选B．
222
5．解：
（1）∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°．∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=1∠ACB=34°．
2
∵CE是AB边上的高，∴∠ECB=90°－∠B=90°－72°=18°．∴∠DCE=34°－18°=16°．
（2）∠DCE=1（∠B－∠A）．
2
6．
（1）证明：
延长BD交AC于点E，∵∠BEC是△ABE的外角，∴∠BEC=∠A+∠B．
∵∠BDC是△CED的外角，∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B．
（2）猜想：
∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°．证明：
∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD
=∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1=（∠3+∠2+∠1）+（∠6+∠5+∠4）=180°+180°=360°．
11.3多边形及其内角和
专题一根据正多边形的内角或外角求值
1．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（）
A．12B．11C．10D．9
2．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于________°．
3．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角都等于与它相邻的外角的9倍，求这个多边形的边数．
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专题二求多个角的和
4．如图为某公司的产品标志图案，图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）
A．360°B．540°C．630°D．720°
5．如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°．
6．如图，求：
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
状元笔记
【知识要点】
1．多边形及相关概念
多边形：
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
多边形的对角线：
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
2．多边形的内角和与外角和
内角和：
n边形的内角和等于（n－2）·180°．
外角和：
多边形的外角和等于360°．
【温馨提示】
1．从n边形的一个顶点出发，可以做（n－3）条对角线，它们将n边形分为（n－2）个三角形．对角线的条数与分成的三角形的个数不要弄错．
2．多边形的外角和等于360°，而不是180°．
【方法技巧】
1．连接多边形的对角线，将多边形转化为多个三角形，将多边形问题转化为三角形问题来解决．
2．多边形的内角和随边数的变化而变化，但外角和不变，都等于360°，可利用多边形的外角和不变求多边形的边数等．
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参考答案:
1．A解析：
∵每个内角为150°，∴每个外角等于30°．∵多边形的外角和是360°，360°÷30°=12，∴这个正多边形的边数为12．故选A．
2．1440解析：
∵多边形的边数为360°÷36°=10，多边形的内角为180°－36°=144°，∴多边形的内角和等于144°×10=1440°．
3．解：
设多边形的边数为n，根据题意，得（n－2）·180°=9×360°，解得n=20．所以这个多边形的边数为
20．
4．B解析：
∵∠1=∠C+∠D，∠2=∠E+∠F，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠B+∠1+∠2+∠G=540°．故选B．
5．360°解析：
在四边形BEFG中，
∵∠EBG=∠C+∠D，
∠BGF=∠A+∠ABC，
∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=∠EBG+∠BGF+∠E+∠F=360°．
6．解：
∵∠POA是△OEF的外角，∴∠POA=∠E+∠F．
同理：
∠BPO=∠D+∠C．
∵∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
第十二章全等三角形
12.1全等三角形
12.2三角形全等的判定
专题一三角形全等的判定
1．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．
求证：
△ABE≌△CDF．
2．如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.请
你添加一个条件，使△BDE≌△CDF（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．
（1）你添加的条件是：
__________；
（2）证明：
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3．如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，BD=BE，要使△ADB≌△CEB，还需添加一个条件．
（1）给出下列四个条件：
①AD=CE；
②AE=CD；
③∠BAC=∠BCA；④∠ADB=∠CEB；
请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB的条件，并给出证明；
（2）在
（1）中所给出的条件中，能使△ADB≌△CEB的还有哪些？
直接在题后横线上写出满足题意的条件序号．__________________．
专题二全等三角形的判定与性质
4．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）
A．6B．4C．23D．5
5．【2013·襄阳】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，
点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N.
求证：
AM＝AN.
A
E
MBDC
N
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6．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．求证：
AE∥BC．
专题三全等三角形在实际生活中的应用
7．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，
则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（）
A．60°B．90°C．120°D．150°
8．有一座小山，现要在小山A、B的两端开一条隧道，施工队要知道A、B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B两端的距离，你能说说其中的道理吗？
9．已知如图，要测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B′，使∠ACB′=∠ACB，这时只要量出AB′的长，就知道AB的长，对吗？
为什么？
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状元笔记
【知识要点】
1．全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
3．三角形全等的判定方法
（1）三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）．
（2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）．
（3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）．
（4）两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）．4．直角三角形全等的判定方法
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
【温馨提示】
1．两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等，只有角分别相等不能证明两个三角形全等．
2．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
3．“HL”定理指的是斜边和一条直角边分别相等，而不是斜边和直角分别相等．
【方法技巧】
1．应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：
（1）以对应顶点为顶点的角是对应角；
（2）对应顶点所对应的边是对应边；
（3）公共边（角）是对应边（角）；
（4）对顶角是对应角；
（5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）．
全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若△ABC≌△DEF，
说明A与D，B与E，C与F是对应点，则∠ABC与∠DEF是对应角，边AC与边DF是对应边．
2．判定两个三角形全等的解题思路：
找夹角——SAS
已知两边
找另一边——SSS
边为角的对边——找任一角——AAS
找夹角的另一边——SAS
已知一边一角
已知两角
边为角的邻边找夹边的另一角——ASA
找边的对角——AAS
找夹边——ASA
找任一边——AAS
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参考答案:
1．证明：
平行四边形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB．
∵∠ABE=1∠ABD，∠CDF=1∠CDB，∴∠ABE=∠CDF．
22
在△ABE与△CDF中，
ACABCD
ABECDF
∴△ABE≌△CDF．
2．解：
（1）BDDC（或点D是线段BC的中点），FDED，CFBE中任选一个即可﹒
（2）以BDDC为例进行证明：
∵CF∥BE，
∴∠FCD﹦∠EBD．
又∵BDDC，∠FDC=∠EDB，
∴△BDE≌△CDF．
3．解：
（1）添加条件②，③，④中任一个即可，以添加②为例说明．
证明：
∵AE=CD，BE=BD，
∴AB=CB．
又∠ABD=∠CBE，BE=BD，
∴△ADB≌△CEB．
（2）③④．
4．B解析：
∵∠ABC=45°，AD⊥BC，∴AD=BD，∠ADC=∠BDH，
∠AHE=∠BHD=∠C．∴△ADC≌△BDH．∴BH=AC=4．故选B．
5．证明：
如图所示，
A
321
E
4
67
M
B
5
D
C
N
∵△AEB由△ADC旋转而得，∴△AEB≌△ADC.∴∠3＝∠1，∠6＝∠C．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠2＝∠1，
∠7＝∠C.∴∠3＝∠2，∠6＝∠7．∵∠4＝∠5，∴∠ABM＝∠ABN．
又∵AB＝AB，∴△AMB≌△ANB．∴AM＝AN．
6．证明：
∵△ABC和△EDC是等边三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°．
∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE．
在△DBC和△EAC中，BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，
∴△DBC≌△EAC（SAS）．∴∠DBC＝∠EAC．又∵∠DBC＝∠ACB＝60°，
∴∠ACB＝∠EAC．∴AE∥BC．
7．B解析：
∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，又∵BC=EF，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF．∴∠ABC=∠DEF，
∵∠DEF+∠DFE=90°，∴∠ABC+∠DFE=90°．
故选B．
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8．解：
在△ABC和△CED中，AC=CD，∠ACB=∠ECD，EC=BC，
∴△ABC≌△CED．∴AB=ED．即量出DE的长，就是A、B两端的距离．
9．解：
对．
理由：
∵AC⊥AB，∴∠CAB=∠CAB′=90°.
在△ABC和△AB′C中，
∠ACB∠ACB′，
ACAC，
∠CAB∠CAB′，
∴△ABC≌△AB′C（ASA）．∴AB′=AB．
第十三章轴对称
13.1轴对称
13.2画轴对称图形
专题一轴对称图形
1．下列图案是轴对称图形的是（）
2．众所周知，几何图形中有许多轴对称图形，写出一个你最喜欢的轴对称图形是：
______________________．（答案不唯一）
3．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形．
专题二轴对称的性质
4．如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，下列结论：
①△ABC≌△ADE；②l垂直平分DB；③∠C=∠E；④BC
与DE的
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