八年级数学上册 第六章 一次函数教案 北师大版教案.docx
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八年级数学上册第六章一次函数教案北师大版教案
§6.1函数
知识与技能目标：
1.初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可看做函数.
2.根据两个变量间的关系式，给定其中一个量，相应地会求出另一个量的值.
3.会对一个具体实例进行概括抽象成为数学问题.
过程与方法目标：
1.通过函数概念，初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.
2.经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象思维能力.
情感态度与价值观目标：
1.经历函数概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想.
2.让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.
教学重点
1.掌握函数概念.
2.判断两个变量之间的关系是否可看做函数.
3.能把实际问题抽象概括为函数问题.
教学难点
1.理解函数的概念.
2.能把实际问题抽象概括为函数问题.
教学方法
主导式学习法.
教具准备
投影片两张：
第一张：
例题（记作§6.1A）；
第二张：
练习（记作§6.1B）.
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，导入新课
［师］同学们，你们看图5—1上面那个像车轮状的物体是什么吗？
［生］是摩天轮.
［师］你们坐过吗？
［生］没有.
［师］尽管没有坐过，但我们也可以想像一下坐在上面的感觉.
［生］因为是轮，当轮在转动的时候，人可由高处到低处或由低处到高处，所以特别刺激.
［生］因为人随着转，所以一会儿高，一会儿低.
［师］也就是说，当你坐在摩天轮上时，人的高度随时在变化，那么变化是否有规律呢？
［生］应该有规律，因为人随轮一直做圆周运动.所以人的高度过一段时间就会重复一次，即转动一圈高度就重复一次.
［师］大家分析的非常有道理，摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间有一定的关系，请看图5—1，反映了旋转时间t（分）与摩天轮上一点的高度h（米）之间的关系.
大家从图上可以看出，每过6分钟摩天轮就转一圈.高度h完整地变化一次.而且从图中大致可以判断给定的时间所对应的高度h.下面根据图5—1进行填表.
［生］当t为0时，h约为3米，
当t为1分时，h约为11米，
当t为2分时，h约为37米，
当t为3分时，h约为45米，
当t为4分时，h约为37米，
当t为5分时，h约为11米.……
［师］对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？
［生］确定.
［师］在这个问题中，我们研究的对象有几个？
分别是什么？
［生］研究的对象有两个，是时间t和高度h.
［师］非常正确.生活中充满着许许多多变化的量，你了解这些变量之间的关系吗？
如弹簧的长度与所挂物体的质量，输液时间与相应时间内的水滴数目……了解这些关系，可以帮助我们更好地认识世界，下面我们就去研究一些有关变量的问题.
Ⅱ.讲授新课
一、做一做
1.按如图所示画圆圈，并填写下表.
层数n
1
2
3
4
5
…
圆圈总数
1
3
6
10
15
…
［师］在这个问题中的变量有几个？
分别是什么？
［生］变量有两个，是层数与圆圈总数.
投影片（§6.1A）
2.在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行S米，一般地有经验公式S=
，其中V表示刹车前汽车的速度（单位：
千米/时）.
（1）计算当V分别为50，60，100时，相应的滑行距离S是多少？
（2）给定一个V值，你能求出相应的S值吗？
［师］这个问题对大家来说难度不大，所以我直接让大家进行计算并回答.
［生］
（1）当V=50时，S=
=
（米）
当V=60时，S=
=12（米）
当V=100时，S=
（米）
（2）给定一个V值，就能求出相应的S值.
二、议一议
［师］在上面我们共研究了三个问题，下面大家探讨一下，在这三个问题中的共同点是什么？
相异点又是什么呢？
［生］相同点是：
这三个问题中都研究了两个变量.
不同点是：
在第一个问题中，是以图象的形式表示两个变量之间的关系；第二个问题中是以表格的形式表示两个变量间的关系；第三个问题是以代数表达式来表示两个变量间的关系的.
［师］非常棒，可见大家是经过了一番研究的，而且大家的研究水平已有很大提高，在学习的过程中就应该以这种探索的精神去解决问题，不仅能把知识学深、学透，更重要的是培养了大家解决问题的能力.这位同学基本上总结的是全面的.
上面分别以图象、表格、代数表达式三种形式呈现了生活化的场景，通过对这三个问题的研究，让大家明确“给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值”这一共性。
三、函数的概念
在上面各例中，都有两个变量，给定其中某一个变量（自变量）的值，相应地就确定了另一个变量（因变量）的值.
一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.
四、例题讲解
已知菱形ABCD的对角线AC长为4，BD的长x在变化，则菱形的面积为y=
×4×x,即y=2x.
本题中有n个变量，能把其中某个变量看成另一个变量的函数吗？
［生］本题中有两个变量，即BD的长x,菱形的面积y,y是x的函数.
Ⅲ.课堂练习
投影片（§6.1B）
下列变化过程得出的函数关系式是否正确，如果错误，请指出正确的结果；如果正确，指出式子中的自变量和因变量.
（1）设一长方体盒子高为10cm,底面是正方形，这个长方体的体积V（cm3）与底面边长a（cm）的关系式为V=10a2;
（2）某市出租车起步价是7元（路程小于或等于2千米），超过2千米每增加1千米加收1.6元，出租车车费y（元）与行程x（千米）之间的函数关系式为y=1.6（x－2）+7（x≥2）;
（3）计划花500元购买篮球，所能购买的总数n（个）与单价a（元）的关系为n=
;
（4）用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（m2）与一边长l（m）之间的关系式为S=l（60－l）.
［师］请大家先独立思考，再进行交流.
［生］解：
（1）因为长方体的体积为长乘宽乘高，而长、宽、高分别为10、a、a.所以V=10a2正确.自变量是a，因变量是V.
（2）y=1.6（x－2）+7（x≥2）正确，其中x是自变量，y是因变量.
（3）n=
正确.
其中a是自变量，n是因变量.
（4）S=l（60－l）错误.
因为60m是矩形的周长，所以相邻两边的和为30cm，其中一边长为l（m）,则另一边长为（30－l）m,所以S=l（30－l）.
Ⅳ.课时小结
本节课应掌握如下内容.
1.初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可看做函数.
2.在一个函数关系式中，能识别自变量与因变量，给定自变量的值，相应地会求出函数的值.
3.函数的三种表达形式
（1）图象；
（2）表格；
（3）代数表达式.
Ⅴ.课后作业
习题1
1.解：
这个图象反映了距离S与高度h两个变量之间的关系.
2.当S=0米时，h=2.0米.
当S=1米时，h=2.5米.
当S=2米时，h=2.65米.
当S=3米时，h=2.5米.
当S=4米时，h=2.0米.
当S=5米时，h=1.2米.
当S=6米时，h=0米.
（3）当距离S取0米至6米之间的一个确定的值时，相应的高度h确定.
（4）高度h可以看成距离S的函数.
Ⅵ.活动与探究
为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准；每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，该市某户居民5月份用水x吨（x＞10）,应交水费y元，请用方程的知识来求有关x与y的关系式，并判断其中一个变量是否为另一变量的函数.
解：
y=1.2×10+（x－10）×1.8
即y=12+1.8x－18
∴y=1.8x－6
其中变量y是变量x的函数
∵y=1.8x－6
∴x=
∴x也可以看成y的函数.
板书设计
§6.1函数
一、做一做（S随V变化）
二、议一议（两个变量间的关系）
三、函数的概念
四、例题讲解（菱形的面积与对角线的关系）
五、课堂练习
六、课时小结
七、课后作业
§6.2一次函数
知识与技能目标：
1.理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系.
2.能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.
过程与方法目标：
1.经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力.
2.通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力.
情感态度与价值观目标：
1.通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维.
2.经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力.
教学重点
1.一次函数、正比例函数的概念.
2.一次函数、正比例函数的关系.
3.会根据已知信息写出一次函数的表达式.
教学难点
一次函数知识的运用.
教学方法
老师引导学生自学法.
教具准备
投影片三张：
第一张：
补充练习（记作§6.2A）；
第二张：
补充练习（记作§6.2B）；
第三张：
补充练习（记作§6.2C）.
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，导入新课
［师］在上节课我们已学习过函数的概念，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数（fanction），其中x是自变量，y是因变量.在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题.大家能不能举一些例子呢？
［生］假设某人骑自行车的速度为10公里/时，则他骑自行车用的时间t（小时）和所走过的路程S之间的关系为S=10t,这就是一个函数关系式，t是自变量，y是因变量，y是t的函数.
［生］上网的费用为2元/时，则上网t小时，费用y是y=2t，这也是一个函数关系式，t是自变量，y是t的函数.
［生］李明有20元钱，他要买2个笔记本，设每个笔记本为x元（x＜10）,则所剩的钱y与x之间的关系为y=20－2x,这也是一个函数关系式，其中x是自变量，y是x的函数.
［师］非常好，可见大家对函数的概念已理解了，并且大家能把身边的事和函数联系在一起，这确实是相当不错的，学习的目的就是要把所学知识运用于实际生活中，所以大家就应把生活中的问题联系到所学知识中.在以后的学习中大家还要继续发扬下去.
刚才三位同学举出了三个函数关系式，即s=10t;y=2t;y=20－2x这三个关系式一样吗？
本节课就来研究此问题。
Ⅱ.讲授新课
［师］有关函数问题在我们日常生活中随处可见，如弹簧秤有自然长度，在弹性限度内，随着所挂物体的重量的增加，弹簧的长度相应的会拉长，那么所挂物体的重量与弹簧的长度之间就存在某种关系.究竟有什么样的关系，请看：
一、试一试
某弹簧的自然长度为3厘米.在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克、弹簧长度y增加0.5厘米.
（1）计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，并填入下表：
x/千克
y/厘米
（2）你能写出x与y之间的关系式吗？
［生］
（1）计算如下：
x/千克
0
1
2
3
4
5
y/厘米
3
3.5
4
4.5
5
5.5
（2）当不挂物体时，弹簧长度为3厘米，当挂1千克物体时，增加0.5厘米，总长度为3.5厘米，当增加1千克物体，即所挂物体为2千克时，弹簧又增加0.5厘米，总共增加1厘米，由此可见，所挂物体每增加1千克，弹簧就伸长0.5厘米，所挂物体为x千克，弹簧就伸长0.5x厘米，则弹簧总长为原长加伸长的长度，即y=3+0.5x.
［师］这位同学不仅做的对，而且分析得非常好.
二、做一做
某辆汽车油箱中原有汽油100升，汽车每行驶50千米耗油9升.
（1）完成下表：
汽车行驶路程x/千米
0
50
100
150
200
300
油箱剩余油量y/升
你能写出x与y之间的关系吗？
［生］解：
（1）表格中依次填100升，91升，82升，73升，64升，46升.
（2）y=100－
×9,即y=100－0.18x
因为剩余油量等于原有汽油减去耗去的油，每行驶50千米耗油9升，当行驶x千米时，耗油应为
×9升，所以y=100－0.18x.
三、一次函数，正比例函数的概念.
［师］上面的两个函数关系式为y=3+0.5x,y=100－0.18x,大家讨论一下，这两个函数关系式有什么关系吗？
［生］左边是因变量y,右边是含自变量的代数式.
［生］自变量和因变量的指数都是一次.
［师］请大家从形式上加以考虑.
［生］形式为y=kx+b,k,b为常数.
［师］若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b（k,b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（linearfunction）（x为自变量，y为因变量）.特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
四、例题讲解
［例1］写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断，y是否为x的一次函数？
是否为正比例函数？
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程为y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系；
（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；
（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）.
［师］这个例题主要是要考查大家对正比例函数和一次函数的概念的理解.请大家根据自己的理解回答问题.
［生］解：
（1）由路程=速度×时间，得y=60x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数；
（2）由圆的面积公式，得y=πx2,y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.
（3）这棵树每月长高2厘米，x个月长高了2x厘米，因而y=50+2x,y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
［例2］我国现行个人工资薪金税征收办法规定：
月收入低于800元的部分不收税；月收入超过800元但低于1300元的部分征收5%的所得税……如某人月收入1160元，他应缴个人工资薪金所得税为（1160－800）×5%=18（元）
（1）当月收入大于800元而又小于1300元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式.
（2）某人月收入为960元，他应缴所得税多少元？
（3）如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资薪金是多少元？
［师］分析，所缴税等于应缴税的工资部分乘以5%，即（x－800）×5%;当月收入为960元时，应缴税为（960－800）×5%；如果已知缴税19.2元，首先应判断应缴税的工资是否在范围之内，即是否在800~1300之间，如果是则可用
（1）中的方法求解；若不在这个范围之内，税率将不全是5%，在800~1300之间的按5%计算，超过1300的另按税率计算.
解：
（1）当月收入大于800元而小于1300元时，
y=0.05×（x－800）;
（2）当x=960时，
y=0.05×（960－800）=8（元）；
（3）当x=1300时，
y=0.05×（1300－800）=25（元）
∵25＞19.2
∴此人本月工资少于1300元.
设此人本月工资是x元，则
0.05×（x－800）=19.2
∴x=1184
即此人本月工资薪金是1184元.
Ⅲ.课堂练习
（一）随堂练习
1.解：
y=2.2x
y是x的一次函数，也是x的正比例函数.
2.解：
y=100+8x
y是x的一次函数.
（二）补充练习
投影片（§6.2A）
1.在下列函数中，x是自变量，y是因变量，哪些是一次函数？
哪些是正比例函数？
y=2x;y=－
;
y=－3x+1;y=x2
［生］解：
y=2x是一次函数，也是正比例函数.
y=－3x+1是一次函数.
投影片（§6.2B）
2.某商店出售某商品时，在进价的基础上加一定的利润，其数量x与售价y的关系如下表所示，请根据表中所提供的信息，列出y与x的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.
数量x/千克
1
2
3
4
…
售价y/元
8+0.4
16+0.8
24+1.2
32+1.6
…
［生］
∵8+0.4=8×1+0.4×1
16+0.8=8×2+0.4×2
24+1.2=8×3+0.4×3
32+1.6=8×4+0.4×4……
∴y=8x+0.4x=8.4x
当x=2.5时
y=8.4×2.5=21（元）
投影片（§6.2C）
3.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：
每户每月用水量不超过6米3时，水费按0.6元/米3收费；每户每月用水量超过6米3时，超过的部分按1元/米3收费.设某户每月用水量为x米3，应缴水费y元.
（1）写出每月用水量不超过6米3和超过6米3时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数.
（2）已知某户5月份的用水量为8米3，求该用户5月份的水费.
［生］解：
（1）每月用水量不超过6米3时，
y=0.6x,y是x的一次函数，也是正比例函数；
每月用水量超过6米3时.
y=x－2.4.
y是x的一次函数.
（2）y=8－2.4=5.6（元）
答：
该用户5月份的水费为5.6元.
Ⅳ.课时小节
本节课学习了如下内容：
1.一次函数、正比例函数的概念，以及它们之间的关系，正比例函数是一次函数的特殊情况.正比例函数是一次函数，一次函数不一定是正比例函数.
2.会根据已知信息写出一次函数的表达式.
Ⅴ.课后作业
2.解：
（1）y=50+0.4x;
（2）当x=152时，y=50+0.4×152=110.8（元）；
（3）200－50=150
=375（分）
即该用户本月可通话375分.
3.解：
（1）y=0.6x;
（2）当x=152时，y=0.6×152=91.2（元）；
（3）200÷0.6≈333（分）
即该用户本月可通话333分.
Ⅵ.活动与探究
某电信公司手机的A类收费标准如下：
不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费50元，另外，每通话1分交费0.4元；B类收费标准如下：
没有月租费，但每通话1分收费0.6元，完成下列各题.
（1）写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系式；
（2）若每月通话时间为300分，你选择哪类收费方式？
（3）每月通话时间多长时，按A、B两类收费标准缴费，所缴话费相等？
（4）你选择哪类收费标准？
解：
（1）A类收费的关系式为：
y1=50+0.4x;
B类收费方式的关系式为:
y2=0.6x;
（2）当x=300分时，
y1=50+0.4×300=170（元）
y2=0.6×300=180（元）
所以每月通话时间为300分时，应选择A类收费方式.
（3）当y1=y2,即50+0.4x=0.6x时，
∴x=250（分）时，两类收费方式所缴话费相等.
（4）∵y1=50+0.4x,y2=0.6x
当y1＜y2,即50+0.4x＜0.6x,x＞250时，选择A类收费方式；
当y1=y2,即50+0.4x=0.6x,x=250时，选择A、B两类收费方式都可以；
当y1＞y2,即50+0.4x＞0.6x,x＜250时，选择B类收费方式.
板书设计
§6.2一次函数
一、试一试
二、做一做（确定函数关系式）
三、一次函数、正比例函数的概念及关系
四、例题讲解
五、课堂练习
六、课时小节
七、课后作业
§6.3.1一次函数的图象
（一）
知识与技能目标：
1.理解函数图象的概念.
2.经历作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤.
3.理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系.
4.能熟练作出一次函数的图象.
过程与方法目标：
1.已知解析式作函数的图象，培养学生数形结合的意识和能力.
2.在探究活动中发展学生的合作意识和能力.
情感态度与价值观目标：
1.经历作图过程，归纳总结作函数图象的一般步骤，发展学生的总结概括能力.
2.加强新旧知识的联系，促进学生新的认知结构的建构.
教学重点
1.能熟练地作出一次函数的图象.
2.归纳作函数图象的一般步骤.
3.理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系.
教学难点
理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系.
教学方法
讲、议结合法.
教具准备
投影片两张：
第一张：
补充练习（§6.3.1A）；
第二张：
补充练习（§6.3.1B）.
教学过程
Ⅰ.导入新课
［师］上节课我们学习了一次函数及正比例函数的概念，正比例函数与一次函数的关系，并能根据已知信息列出x与y的函数关系式，本节课我们来研究一下一次函数的图象及性质.
Ⅱ.讲授新课
一、函数图象的概念
［师］要研究一次函数的图象，首先应知道什么叫图象？
把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象（graph）.
假设在代数表达式y=2x中，自变量x取1时，对应的因变量y=2,则我们可在直角坐标系内或描出表示（1，2）的点，再给x的另一个值，对应又一个y,又可知直角坐标系内描出一个点，所有这些点组成的图形叫该函数y=2x的图象.由此看来，函数图象是满足函数表达式的所有点的集合.
那么应如何作函数的图象呢？
二、作一次函数的图象
［例1］作出一次函数y=
x+1的图象.
［师］根据图象的定义，需要先找点.所以要先列表，找满足条件的点，再描点，连线.
解：
列表
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y=
x+1
…
0
1
2
…
描点：
以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点.
连线：
把这些点依次连接起来，得到y=
x+1的图象如下，它是一条直线.
［师］从刚才我们作图的情况来总结一下，作一次函数的图象有哪些步骤呢？
［生］①列表；②描点；③连线.
三、做一做
（1）作出一次函数y=－2x+5的图象.
（2）在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否满足关系式y=－2x+5.
［生］列表
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y=－2x+5
…
9
7
5
3
1
…
描点：
以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点.
连线：
把这些点依次连接起来，得到y=－2x+5的图象，它是一条直线.
图象如下：
在图象上找点A（3，－1），B（4，－3）
当x=3时，y=－2×3+5=－1.
当x=4时，y=－2×4+5=－3.
∴（3,－1）,（4,－3）满足关系式y=－2x+5.
四、议一议
（1）满足关系式y=－2x+5的x、y所对应的点（x,y）都在一次函数y=－2x+5的图象上吗？
（2）一次函数y=－2x+5的图象上的点（x,y）都满足关系式y=－2x+5吗？
（3）一次函数y=kx+b的图象有什么特点？
［师］请大家分组讨论，然后回答.
［生］满足关系式y=－2x+5的x,y所对应的点（x,y）都在一次函数y=－2x+5的图象上.
（2）一次函数y=－2x+5的图象上的点（x,y）都满足关系式y=－2x+5.
［师］由此看来，满足函数关系式y=－2x+5的x,y所对应的点（x,
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