最新全国初中数学竞赛决赛试题及答案.docx
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最新全国初中数学竞赛决赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“?
数学周报?
杯"2021年全国初中数学竞赛试题
题号
一
二
三
总分
1〜5
6〜10
11
12
13
14
得分
评卷人
复查人
做题时注意：
1.用圆珠笔或钢笔作答；
2.解答书写时不要超过装订线；
3.草稿纸不上交.
一、选择题（共5小题,每题7分,共35分.每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分）
1.设a="-1,那么代数式3a3+12a2-6a-12的值为（）.
（A）24（B）25（C）W7+10（D）4/7+12
2.对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对（a,切与（c,d）之间的运算为：
（a,b）△（c,d）=（ac+bd,ad+bc）.如果对于任意实数u,v,都有（u,v）△（x,y）=（u,v）,那么（x,y）为（）.
（A）（0,1）（B）（1,0）（C）（—1,0）（D）（0,-1）
3.假设x>1,y>0,且满足xy=xy,-=x3y,那么x+y的值为（）.
y
911
（A）1（B）2（C）9（D）-
22
4.点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,BE,CD相交于点F,设SI边形EADF=Si,SMF=S2,S&cF=S3,S^fEF=S4,那么8）0与S2s4的大小关系为（）.
（A）S1S3Ms2s4（B）SS3=S2s4（C）S1s3As2s4（D）不能确定
、1111-
5.设$=,+,+,+川+二,那么4s的整数局部等于（）.12399
（A）4（B）5（C）6（D）7
二、填空题〔共5小题,每题7分,共35分〕
6.假设关于x的方程〔x-2〕〔x2-4x+m〕=0有三个根,且这三个根恰好可
以作为一个三角形的三条边的长,那么m的取值范围是.
7.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8.同时掷这两枚骰子,那么其朝上的面两数字之和为奇数的概率是.
8.如图,点A,B为直线y=x上的两点,过A,B两点分别作y轴的平行线
交双曲线y=l（x>0）于C,D两点.假设BD=2AC,WJ4OC2—OD2的值x
为^
9
假设y=J1—x+,x的最大值为a,最小值为b,那么a2十b2的值
10.如图,在RtAABC中,斜边AB的长为35,正方形CDEF内接于△ABC,且其边长为12,那么△ABC的周长为.
三、解做题〔共4题,每题20分,共80分〕
11.关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根者B大1,求a+b+c的值.
12.如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的..1和4BCH的外接圆
..2相交于点D,延长AD交CH于点P,求证：
点P为CH的中点.
（第13题）
13.如图,点A为y轴正半轴上一点,AB两点关于x轴对称,过点A任
22一,
作直线父抛物线y=4x于p,q两点.
3
（1）求证：
/ABP=/ABQ；
⑵假设点A的坐标为〔0,1〕,且/PBQ=600,试求所有满足条件的直线PQ
的函数解析式.
14.如图,△ABC中,/BAC=60"AB=2AC.点P在△ABC内,且
PA=73,PB=5,PC=2,求△ABC的面积.
〔第14题〕
A
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“?
数学周报?
杯"2021年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题
1.A
解：
由于a=J7—1,a+1=",a2=6—2a,所以
32
3a12a-6a-12=3a（6-2a）12（6-2a）-6a-12
一2一一
——6a-12a,60
=-6（6-2a）-12a60=24.
2.
B
u,v都成立.由于实数u,v的任意性,得
（x,y）=（1,0）.
3.C
解：
由题设可知y=xy,,于是
于是有4<4S<5,故4s的整数局部等于4.
、填空题
6.3解：
易知x=2是方程的一个根,
设方程的另外两个根为x1,x2,那么x1+x2=4,
X1X2=m.显然x〔+x2=4a2,所以
x1—x2<2,1=16-4m>0,
即J（x1+x22-4x1x2<2,A=16—4m>0,所以
j16-4m<2,△=16-4m>0,
解之得
7.
解:
31
9
在36对可能出现的结果中,有4对：
〔1,4〕,〔2,3〕,〔2,3〕,〔4,
1〕的和为5,所以朝上的面两数字之和为5的概率是±=:
.
369
〔第8题〕
8.6
解：
如图,设点C的坐标为〔a,切,点D的坐标为〔c,d〕,那么点A的坐标为〔a,a〕,点B的坐标为〔c,c〕.由于点C,D在1...
双曲线y=-上,所以ab=1,cd=1.
由于AC=a—b,BD=c-d,又由于BD=2AC,于是
c-d=2a-b,c2-2cd+d2=4（a2-2ab+b2）,
所以4（a2+bj-（c2+d2）=8ab-2cd=6,
即4OC2-OD2=6.
9.
解:
3
2
…一一1…1
由1—x>0,Hx-->0,得—wx01.
22
21
+一
16
12（a+b）=ab.
由①②得
解得a+b=49〔另一个解—25舍去〕,所以
a+b+c=49+35=84.
解做题
a+B=_&（a+1/B+1）=a,
（a+2）（P+2）=3,
1c2311c/
二一2-x—x—二一'2-（x-
2、222:
又由于a=—（ot+B）,b=o（B,c=—[（c（+1）十（P+1）],所以
a=0,b=—1,c=—2；或者
a=8,b,=15c=/
故a+b+c=-3,或29../
12.证实：
如图,延长AP交.02于点Q,
连接AH,BD,QB,QC,QH.
由于AB为.0i的直径,
所以/ADB=/BDQ=90
〔第12题〕
故BQ为.O2的直径.
于是CQ_LBC,BH_LHQ.
又由于点H为ABC的垂心,所以AH1BC,BH1AC.
所以AH//CQ,AC//HQ,四边形ACQH为平行四边形.
所以点P为CH的中点.
13.解：
〔1〕如图,分别过点P,Q作y轴的垂线,垂足分别为C,D.
设点A的坐标为〔0,t〕,那么点B的坐标为〔0,-t〕."
设直线PQ的函数解析式为y=kx+t,并设P,Q的坐
标分别为
（Xp,y「）,（Xq,
yQ）.由
于是
3
XpXq=t
2
于是
BCypt
所以
又由于
由于/
pc
qd
y=kxt,
22
T'
22
—x—kx—t=0,3
2
t=--XpXq.
3
222
Pt-xp
3
〔第13题〕
2
--xPxQ
3
bdyQt22222
«Xqt-Xq--XpXq333
Xp
Xq
bcpc
所以——=——
bdqd
BCP=/BDQ
故/abp=zabq.
〔2〕解法
设pc
2…v、
-Xp（Xp-lXq）3
2
-Xq（Xq-Xp）3
Xp
Xq
=90,所以△BCPs^BDQ,
=a,DQ=b,不妨设a>b>0,由
（1）可知
/ABP=/ABQ=30,BC=3a,BD=3b,
AC=^/3a-2,AD=2-V3b.
由于pc//dq
所以△acp^aadq.
于是需嗡,
3a-2
2-.3b'
所以a+b=^/3ab.
即-ab,所以ab=
22
3；3a+b=,
2
于是可求得a=2b=3.
得到点q的坐标〔§,
3
〔第14题〕
再将点Q的坐标代入y=kx+1,求得k=
所以直线PQ的函数解析式为丫=-q+1.
3
根据对称性知,所求直线PQ的函数解析式为v=Wx+1,或y=3x+1.
33
解法二设直线PQ的函数解析式为y=kx+t,其中t=1.
由
（1）可知,/ABP=/ABQ=30°,所以BQ=2DQ.
故2xq=.：
xQ（yQ1）2.
将yQ=2xQ代入上式,平方并整理得3
4xQ-15xQ+9=0,IP（4xQ-3）（xQ-3）=0.
所以xq二史或-、3.2
又由
（1）得xp%=—3=一3,xp+xq=-k.222
假设xQ=~^,代入上式得xP=-百,从而k=2（xP+4）=_2^
233
同理,假设xQ=*可得xp=-立,从而k=2（xp+xq）=理.
Q233
所以,直线PQ的函数解析式为y=—^x+1,或y='x+1.33
14.解：
如图,作^ABQ,使得
/QAB=/PAC,/ABQ=/ACP,那么AABQsAACP.
由于AB=2AC,所以相似比为2.
于是
AQ=2AP=2技BQ=2CP=4.
QAP=/QABBAP="ACBAP=〃BAC=60.
由AQ:
AP=2:
1知,NAPQ=90',于是PQ=73aP=3.
所以BP2=25=BQ2+PQ2,从而/BQP=90*.
于是
AB2=PQ2（APBQ）2=288、,3.
C1-32673
Smbc=—ABACsin6"0—AB2=-.
A282
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