初中二次函数的解题方法.docx

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初中二次函数的解题方法

11.1班沈阳14号

初中二次函数的解题方法

首先回顾一下初中二次函数的重要性质和基本表达式：

一般式：

y=ax2+bx+c（a工0,ab、c为常数），顶点坐标为（-b/2a,4ac-b2/4a）;

顶点式：

y=a（x-h）2+k（a工0,ah、k为常数）,顶点坐

标为（h,k）,对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

交点式:

y=a（x-x1）（x-x2）（a工0）仅限于与x轴即y=0有交点A（x1,0）和B（x2,0）的抛物线，即bA2-4ac>0]:

由一般式变为交点式的步骤：

•••X1+x2=-b/a

x1x2=c/ay=ax2+bx+c=a（x2+b/ax+c/a）=a[（x2-（x1+x2）x+x1x2]=a（x-x1）（x-x2）

重要概念：

。

1.二次函数图像是轴对称图形。

对称轴为直线x=h

或者x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。

特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）;a,b同号，对称轴在y轴左b=0,对称轴是y轴;a,b异号，对称轴在y轴右侧

2•二次函数图像有一个顶点P,坐标为P（h,k）当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。

h=-b/2ak=（4ac-b2）/4a

3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

当a>0时，二次函数图像向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

有时也可以考虑图像的整体性质、特殊点的位置及二次方程的联系，结合韦达定理和判别式定理确定a,b,c,△及系数的代数符号。

常见问题

1、抛物线中特殊点组成的三角形问题：

抛物线线中的特殊三角形主要有两类：

（1）、抛物线与x轴的两个交点和与y轴的交点所组成的三角形；

（2）、抛物线与x轴的两个交点和顶点所组成的三角形。

解决策略是：

应用平面几何的有关定理，如等腰三角形的三线合一、直角三角形的勾股定理、射影定理、斜边中线定理等结合两点间的距离公式及二次方程的求根公式、判别式定理、韦达定理等知识求解。

用到的数学思想方法有数形结合、分类讨论、转化等。

2、二次函数的定点和动点问题：

求动点运动所形成的直线或曲线一般采用消去参数法，即消去参数以后的方程即为动点需满足的函数解析式。

解决定点问题有两个解决办法：

（1）特殊值法，即令参数取两个符合条件的特殊值，通过解方程组求解，解即为顶点坐标。

（2）转化为参数为主元的方程问题，即方程有无穷多解，得到系数为零的条件再讨论解决。

3、求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成的面积，关键是用含系数a、b、c的代

数式表示出点的坐标或线段长，使面积问题与系数a、b、c建立

联系．

4、二次函数与整数问题二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数a、b、c为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等．解题时往往要用到一些整数的分析方法．

5、二次函数的最值问题定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值（最大值和最小

值）．如果顶点横坐标在区间内，则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值；如果顶点横坐标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值．定义域是开区间时，二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值，否则不存在最值．

在初中数学竞赛中，二次函数是解决一些实际问题的有效工具，二次函数本身也蕴含着丰富的内涵，因此，在近几年的全国数学竞赛中，有关二次函数试题频频出现，并有不断拓展和加深的趋势。

例1抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（4,-11）,且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负.贝Ua、b、c中为正数的（）

A、只有aB、只有bC只有cD有a和b解：

由顶点为（4,-11），抛物线交x轴于两点，知a>0.设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为X1,X2,即卩X1、X2为方

程ax2+bx+c=0的两个根，由题设X1X2<0知c<0,所以c<0,又对

a

称轴为x=4知—A>0，故b<0.故选（A）.

2a

例2已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的系数a、b、c都是整数，并且f（19）=f（99）=1999,|c|<1000,则c=.

解：

由已知f（x）=ax2+bx+c,且f（19）=f（99）=1999，因此可设f（x）=a（x-19）（x-99）+1999,

所以ax2+bx+c=a（x—19）（x—99）+1999

=ax2-（19+99）X+19X99a+1999，故c=1999+1881a.

因为|c|<1000,a是整数，az0,经检验，只有a=-1满足，此时c=1999-1881=118.

例3已知a,b,c是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A,B,若A、B到原点的距离都小于1,求a+b+c的最小值.

解：

设A、B的坐标分别为A（X1,0）,B（X2,0），且X1VX2,则

X1,X2是方程ax2+bx+c=0的两个根.

又由题设可知△二b2—4ac>0,.・.b>2・..ac①

•••|0A|=|xi|<1,|0B|=|X2|<1，即一1

a

：

抛物线y=ax2+bx+c开口向上，且当x=—1时y>0,

•••a（—1）2+b（—1）+c>0，即卩a+c>b.

•/b,a+c都是整数，•a+c>b+1③

由①，③得a+O2..ac+1,.・.（a「c）2>1,又由②知，

a-、c>1,ac+1,即卩a>（c+1）2》（.1+1）匚4

•a》5,又b>2、ac>251>4,二b>5

取a=5,b=5,c=1时，抛物线y=5x2+5x+1满足题意.

故a+b+c的最小值为5+5+仁11.

例4如果y=x2—（k—1）x—k—1与x轴的交点为A,B,顶

点为C,那么△ABC的面积的最小值是（）

A1B、2C、3D、4

解：

由于△=（k—1）2+4（k+1）=（k+1）2+4>0,所以对于任意实数

k,抛物线与x轴总有两个交点，设两交点的横坐标分别为X1,

X2，则:

|AB|=..（%-x2）2=（x「x2）2-4x^2二k22k5

2

又抛物线的顶点c坐标是（宁一十）,

因为k2+2k+5=（k+1）2+4>4,当k=—1时等于成立,

所以，S^ABC>-44=1，故选A.

8

例5|y

已知二次函数y=x2—x-2及实数a>—f.求：

/

（1）函数在一2

—2—\~0|__:

__1/2"x

（2）函数在awxwa+2的最小值.

解：

函数y=x2—x—2的图象如图1所示

（1）若—2

2

2

当x=a时，y最小值一aa2

若a>-，当x=1时，y最小值=—9.

224

（2）若一2

=（a+2）—（a+2）—2=a+3a,若a<1wa+2,即一—wa<—,当x=J

2222

9

时,y最小值=—

4

若a>-，当x=a时，y最小值=aa2.

2

例6当|x+1|W6时，函数y=x|x|—2x+1的最大值

是.

解：

由|x+1|w6,得一7wxw5,当Owxw5时，y=x2—2x+1=（x

—1）2,此时y最大值=（5—1）2=16.

当一7wx<0,y=—x2—2x+1=2—（x+1）2，此时y最大值=2.

因此，当一7wxw5时，y的最大值是一16.

说明：

对于含有绝对值的二次函数，通常是先分区间讨论，

去掉绝对值符号，求出各区间的最值，然后通过比较得出整个区间函数的最值.例7、已知二次函数y=x八2+（k+2）x+k+5与x轴的两个不同交点的横坐标都是正的，那么，k的值应为（）

A.k>4或kv-5

B.-5vkv-4

C.k>4或k<-5

D.-5Wk胡

因为与X轴有2个交点

所以bA2-4ac=（k+2）八2-4（k+5）>0——

（1）

设与x轴交点分别为x1,x2

则x1+x2=-（k+2）>0——

（2）

x1*x2=k+5>0（3）

解得-5

选B

例8.已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过点（-1,0）,（1,-2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是—[3/4,+x）__.

解析：

把点（-1,0）,（1,-2）代入二次函数数，可解得

b二3/2函数的对称轴为x=-（-3/2）/2=3/4

a=1>0，函数开口向上，单调递增区间是[3/4,+x）

.例9.

二次函数y=ax八2+bx+c，当x取整数时，y值也是整数，这样的二次函数叫作整点二次函数，请问是否存在a的绝对值小于0.5

的整点二次函数，若存在请写出一个，若不存在请说明理由。

解答：

（方法1）（反证法）假设存在二次项系数a的绝对值小于0.5的整点二次函数，（az0）

则当x=0时，y=c，即c为整数，

同理，当x=1时，y=a+b+c=m,x=-1时，y=a-b+c=n，其中m、

n都应为整数，

两式相加，2a+2c=m+n，推知2a也应为整数，而|a|<0.5，即

|2a|<1，矛盾。

所以不存在a的绝对值小于0.5的整点二次函数。

（方法2）

x=0时，y=c是整数

x=1时，y=a+b+c是整数

x=—1时，y=a—b+c是整数

二（a+b+c）+（a—b+c）=2a+2c是整数

而2c是整数

例10.

已知y=x2-|x|-12的图象与x轴交于相异两点A,B另一抛物线y=ax2+bx+c过A,B，顶点为P,且MPB是等腰直角三角形，

求a,b,c

解答：

显然A,B坐标为（-4,0）,（4,0）.

y=ax2+bx+c过A,B,所以b=0,c/a=-16,P点坐标为：

（0,-16a）

由于APB是等腰直角三角形，所以ABA2=APA2+BPA2,

求出a=±1/4.

所以a=1/4,b=0,c=-4或者a=-1/4,b=0,c=4.

例11.

已知y=x2-|x|-12的图象与x轴交于相异两点A,B另一抛物线y=ax2+bx+c过A,B，顶点为P,且MPB是等腰直角三角形，求a,b,c

解答：

显然A,B坐标为（-4,0）,（4,0）.

y=ax2+bx+c过A,B,所以b=0,c/a=-16,P点坐标为:

（0,-16a）

由于APB是等腰直角三角形，所以ABA2=APA2+BPA2,

求出a=±1/4.

例12已知a<0,b<0,

4ac的最小值.

2

解：

令y=ax+bx+c，由于b<0,c>0，则△二b2—4ac>0,

c>0,且b2-4ac=b—2ac,求b2—

所以a=1/4,b=0,c=-4或者a=-1/4,b=0,c=4.

所以，此二次函数的图像是如图2所示的一条开口向下的抛

物线，且与x轴有两个不同的交点A（xi,0）,B（X2,0）.

因为XiX2=C<0,不妨设Xi

a2a

于是

故4ac—b2>c=-b_4aC>-

4a2a

.b2「4ac

2a

IXi|=

-b.b2-4ac

2a

2

b-.b-4ac

2a

=c

5

二b2—4ac>4,当a=—1,b=0,c=1时，等号成立.

因此，b2—4ac的最小值为4.