高考数学试题全国卷评析.docx

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高考数学试题全国卷评析

2003年高考数学试题（全国卷）评析

海盐元济高级中学胡水林

2003年高考，受到了社会各界从未有过的关注。

高考时间的提前，SARS的突袭，新旧教材的交替，考后的强烈反应等等，将会在一段时间内给人留下一份挥之不去的记忆。

我们处于一个改革锐进的时代，教育的理念，思维的方式都在发生变化，2003年高考数学试题反映了这种变化，它向传统的教学方式提出了挑战。

本文着重评价03年试题特色和教学的启示。

一、03年高考教学试题的特点

03年试题的题型结构，考题份量与近年历届的试题持平，各分科所占比例大致合理。

1．突出基础知识和数学思想方法的考查

1．1高中数学的主干知识构成试题的主体

如同以往，今年的高考试题继续坚持“高中数学的主干知识构成试题的主体”，试题中保持了较高的比例，并达到了必要的深度。

代数着重考查函数、数列、不等式、三角等主要内容；立体几何着重考查线面关系、线线关系，特别是它们之间的垂直关系；解析几何着重考查圆锥曲线和直线，以及它们之间的位置关系。

如函数作为高中代数中最基本、最重要的内容，在理科试题第

（1）、（3）、（4）、（9）、（14）、（19）、（22）题，文科试题第

（2）、（6）、（7）、（8）、（13）、（20）中，从不同的侧面，对函数进行了全面考查。

又如文科第（17）题、理科第（18）题，考查的是立体几何中点在平面上的射影、斜线与平面所成的角、点到平面的距离、异面直线及其公垂线等概念，以及棱柱的概念与性质等重点知识，将空间问题转化为平面问题的思考等重点方法。

1．2抓住知识网络的交汇点设计命题。

今年的高考命题提纲挈领地抓住知识网络的交汇点，设计出具有综合性的新颖的试题，以达到较全面地考查学生的数学基础和数学素养的目的。

如理科的第（19）题，以最基本的指数函数、含有绝对值的不等式为载体，考查了函数的概念、函数的单调性、函数的最值等性质，含有绝对值不等式的解法，集合的概念与运算，以及对“有且只有”严谨的数学语言的解读。

试题中引入参变量c及绝对值，提高了思维层次，增强了知识的综合性。

又如理科第（10）题、文科第（11）题，在解析几何直线方程、三角函数的恒等变形、分式不等式的解法以及物理中光线的反射等知识网络的交汇点命题，题目清新活泼，综合程度高。

1．3全面考查基本数学方法。

基本数学方法有代数变换、几何变换和逻辑推理三类。

代数变换有配方法、换元法、待定系数法、公式法、比值法等；几何变换包括平移、对称、延展、放缩、旋转、分割、补形等；逻辑推理主要有综合法、分析法、反证法、枚举法和数学归纳法。

2003年高考试题中，上述多数基本方法在多道试题中得以运用。

如理科第（6）题，求圆锥内接圆柱全面积的最大值，可以建立目标函数后，用配方法解决；理科第（17）题、文科第（18）题，求

，可以通过换元法解决；理科第（21）题、文科第（22）题，对已知条件“

”的处理要运用到比值法，建立直线OF和GE的方程后，要得到动点P的轨迹方程，又要运用消去法；理科第

（1）题、第（4）题、第（9）题，文科第

（2）题、第（20）题等三角问题的变形中，大量地运用公式法。

理科第（16）题、第（18）题，文科第（17）题，可以运用平移等方法解决：

理科第（12）题则可以通过构造、补形的方法解决。

理科第（22）题、文科第（19）题，要运用到枚举等方法。

1．4多角度考查基本数学思想方法

基本的数学思想方法有：

函数与方程，化归与转化，分类与整合，数形的结合与分离，有限与无限，特殊与一般。

数学思想方法和数学知识过程同步发生和发展，2003年的高考试题中，结合知识多角度地考查各科数学思想方法的领会和运用的程度。

化归与转化思想——理科第

（1）、

（2）、（6）、（9）、（10）、（11）、（12）、（16）、（17）、（18）、（20）题，文科第

（2）、（12）、（13）、（17）、（18）、（20）题。

函数与方程思想——理科第（4）、（6）、（7）、（8）、（9）、（17）题，文科第（4）、（18）、（20）题，文科第（4）、（18）、（20）题。

数形结合思想——理科第（5）、（8）、（10）、（20）、（21）题，文科第（5）、（11）、（21）题

分类与整合的思想——理科第（3）、（15）、（19）、（21）、（22）题，文科第（6）、（16）、（22）题

特殊与一般的思想——理科第（7）、（22）题，文科第（7）、（8）、（19）题。

2．能力立意是高考命题的主线

数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查。

近几年来命题组很好地贯彻这个指导思想，真正体现了由知识立意转变为能力立意。

2003年的命题在考查主要数学基础知识的同时进一步深化了能力的考查。

2．1运算能力考查贯穿于始终

具有必要的运算能力是数学教学的基本要求之一，当然也属高考的考查内容之列，纵观今年高考试题，几乎没有“一望而解”的试题。

题题都得动手算一算。

如开卷的第

（1）题，先用同角三角函数关系式，再用万能公式，最后再判断符号，有3道小坎，又如第（7）题。

此题有的学生之所以感到困难，一是试题设计新颖，从未见过；二是试题将等差数列、韦达定理及方程思想揉合在一起，呈小题小综合的特色，对考生的综合分析判断能力有一定的要求。

至于第（18）题的立体几何虽然正三棱柱背景不难，但将空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力进行综合，又需添加几条辅助线，加之线条密集，给人元素关系复杂感觉，因此考生得分不高。

2．2突出思维能力的考查

数学是思维的科学，思维能力的培养，是数学教育的目标之一。

2003年的高考数学试题，全面而有层次地考查学生的理性思维能力。

2．2．1全面考查思维的品质

思维的敏捷性很重要。

如理科（7）题，可设方程

的两根为

，方程

的两根为

，但这四者中谁是首项1/4呢？

不妨设

，则

，且

必为该等差数列的末项，从而求出公差，进而求出

使问题得以解决。

由此可见，思维的敏捷性在小题的处理中主要表现为通过观察，迅速抓住问题的特点和本质，快速、灵活和准确地解决问题。

思维的缜密性是数学理性思维的重要方面。

如前所述，试卷中大量涉及的分类讨论的问题，都属于思维缜密性的范畴。

相关的考题要求考生思维周密严谨，分类合理，考虑的情形不重不漏。

2．2．2充分展示思维过程

“能力立意”是高考数学命题的一贯的，也是成功的命题思维。

考查能力是考查学生学习潜力，为高校选拔人才的有效途径。

理科（22）题，考查数列、集合、不等式和集合的基础知识，题目设计有特色，题干用集合符号语言给出的条件，简洁漂亮：

用三角形数表给出的条件，有课本上“杨辉三角”的背景，源于课本，高于课本，可谓匠心独运。

2．3积极支持课程改革，体现研究性学习的味道

自贯彻素质教育以来，研究性的学习已越来越受到大家的重视和关注，因为研究性学习有利于培养学生的创新意识和实践能力。

如何在高考试题中体现研究性学习，全国卷第（22）题，就作了有益的尝试。

文科第（15）题，要求以平面几何里的勾股定理为起点，类比研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系。

掌握研究性学习的本质，抓住类比的思想方法，选择好类比研究的角度，突出平面问题与空间问题的化归与转化，本题是不难解决的。

本题中体现了“研究性学习”的精神和特质，给中学数学教育改革指引方向。

理科第（19）题，有新教材（《试验修订本》）中“逻辑联结词”的背景。

理科第（20）题、文科第（21）题，用向量工具求解清新别致，简捷明快。

旧课程的高考，已向新课改、新理念、新教材全方位靠拢。

3．试卷体现出三大特征：

新、活、难

2003年的数学试题，可以称它是一份全新的“能力卷”，整份试卷中几乎没有熟套的陈题，而出现的多是陈题新掘，旧中见新，不落俗套的试题，试题灵活多变，突出考察了思维、运算、空间想象、推理、应用等几方面综合能力，整份试卷体现出三大特征：

新、活、难。

3．1试题背景新

2003年高考试题十分注意题材广泛，情境新颖，富有时代气息，不少试题内涵丰富，形态多样。

整份试卷中，很多题目都在几个知识层面的交汇处命题，综合程度较高，情境比较新颖，需要学生通过阅读理解并进行等价转化的题目较往年试卷明显增多，很多题目的形式给人耳目一新的感觉。

如第（19）题将指数函数，绝对值不等式与命题的判断进行综合；第（20）题台风问题；第（21）、（22）题，均为探究题，不但不知道结论是什么，而且问题的处理方法也还要在破题的过程中去探索。

特别是全国卷的第（7）、（10）、（11）、（12）、（15）、（16）题均为立意新颖，考生叫难的新题（其中第（15）试题背景为“四色着图”问题）。

3．2试题的解法活

整份试卷，几乎每道题都由多个知识点复合而成，有不少题独具匠心。

学生在解答时，若每题都靠“硬算”，时间肯定不够，需要灵活运用数学知识、数学思想方法，灵活选择解题策略和解题方法去解题。

这充分反映了数学高考用“活题”去考查学生能力的指导思想。

例如第（10）题是平面几何、解析几何、三角函数及不等式的综合题，有名师称“第（10）题可能是前16题中难度最大的题”。

此题如果采用一般解法：

要求4次直线方程，求4次交点坐标，解一个联立不等式，计算量肯定大，成小题大做，费时费力。

若能根据选择题的解题特点，取极值，依极限的观点，一分钟之内即可敲定。

由此可见方法“活”则易，方法不当则难，难怪有考生说光选择题花了一个多小时，这正是命题者所要强调的能力考查。

3．3试题难

造成今年试卷过难的原因是多方面的，下面仅仅从试卷这个方面分析一些原因：

3．3．1难在锐意求新，强化探究过程，忽视求稳。

以往学习中，学生多接触的是条件结论相称，已知求证明确的标准化的数学习题，而对未“数学化”的实际问题，和未“标准化”的数学问题常常不知如何处理。

而今年的数学试卷中，其解题目标和方法常掩盖在精心设计的“表象”下，需要认真弄清题意，抓住主要矛盾，选好突破口，进行一系列的数学化或标准化的工作，才能转化为所熟悉的模式。

例如，关于台风的那道应用题，是一道经过设计和处理过的实际问题。

又如第21题，第22题都是探究性的命题方式，并不直接告诉结论要你去解析和证明，而是需要在探究过程中，发现结论并分析和解释结论。

3．3．2难在坡度太陡，起点太高，难度分散，编排乱序

以往选择题中容易题、中等题、较难题梯度明显，且常由浅入深编排。

今年选择题虽然难题不多，但几乎没有送分题，提高了起点，且三档梯度不明显。

从整卷看三档题3：

5：

2的数量比例也很不分明。

解答题不像去年难点基本集中于第21、22题，而且分步设问，在同一题各小题中难易界限分明。

今年感觉难点更加分散，几乎每题有难点，常常一点难住全军覆没。

所以考生大都感觉题目道道精，解答题题难。

3．3．3难在既多考了“想”，又多考了“算”

近年来对运算能力的考查发生了改变，将以往重点考查“正确迅速的数式运算、变形能力”，逐渐转移至重点考查“在懂得基本运算技能的基础上，考查考生对运算策略上选择、估算意识，对运算结果的反思，演算的自觉意识”。

然而计算量大毕竟耗去了大量时间和耐性，而且实际上大大削弱了对探究意识和能力及思维水平的考查。

3．3．4难在突破了常规，超越了实际

本届学生是老教材三年培养出来。

学生头脑中根本没有新教材的理念和思想，连我们的老师对新教材理念还需要进一步的认识。

而整份高考试卷在新教材命题后，对相同部分的内容，改变老教材的叙述形式。

一份新教材的理念和思想的试卷，让老教材的考生去考，怎么能考好呢？

怎么能不难呢？

二、对今年教学与高考复习的启示

1．突出知识结构，扎实打好知识基础，构建知识网络

扎实的数学基础知识，是学好数学的关键，也是成功解题的基础。

因此，在平时的教学和复习过程中，要继续落实好“三基”不动摇。

但是，抓“三基”不是搞题海战术，而是要注意各部分知识在各自发展过程中的纵向延伸及其横向沟通，要让学生弄清知识的来龙去脉，注意概念的形成过程和命题的推导过程，理清各部分知识在各自发展过程中的纵横向联系，构建知识网络，优化教学内容。

随着学习的进一步深入，这样的网络越布越密，学习内容的雪球越越大，形成了学生完整的认知结构。

从而让学生体会基础知识中蕴含的一般规律、方法，注意基本方法的相互配合，夯实教材中体现的通性、通法。

2．强化思维过程，教给学生思维方法，提高理性思维能力

数学能力的提高离不开解题，解题教学重点是向学生暴露思维过程，解题切入点或突破口的选定的舍得花时间分析引导，解题的每一步深入要真正落实到位，弄清运用的基本数学方法，提炼数学思想。

只有这样才不至于浮于表面表象，把握问题的本质，才能发现解题前预想不到的深层次的很多问题，使思维的深刻性和批判性得到有效训练。

3．要将能力的培养落实到实处

早在上世纪80年代就提出培养学生的分析问题和解决问题的能力；90年代初又加上了数学实践和数学应用能力；世纪之交又提出了创新思维和创新能力。

能力要求不断升级，能力口号喊了几十年，就中学生数学能力的整体讲，是有所提高，但仍不尽人意。

每逢高考试题能力要求稍高，考生就不适应。

1999年和2003年的高考试题就是例证。

这种现象是值得我们深思的。

其原因虽然是多方面的，但“题海战术”、“大运动量”、“见多识广”、“熟能生巧”的思维陋习不能说不是主要根源。

教学中，为了赶进度，抢速度，只强调知识的传授和训练，而忽视了能力培养的落实这一关键。

众所周知各种能力的核心，是思维能力，她是不应随意“淡化”的。

数学思维能力的训练又不如一招一式的解题方法那样能立竿见影，而且数学思维能力的提高更是需要长期的、润物细无声的、具有各种不同个性的师生思维互动过程。

因此，将能力培养落到实处还需要我们付之艰辛的努力。

4．注重探究性学习，营造师生合作交流的环境

任何一种成功的教学都必须让学生主动参与、探究，师生、生生之间的合作交流。

在课堂教学中，对一些较为简单的问题学生通过独立探究就可解决，对一些比较复杂的问题尤其是解题教学，先由学生自主探究，让他们的思维火花进行充分碰撞，产生集体智慧，激发兴趣、增进友谊，培养钻研精神，最后师生交流，虽然教师在知识掌握上比学生更准确，解题经验更丰富，但学生随着学习的深入，思维更加活跃，认知结构更坚固，通过师生互动交流往往出现一些教师意想不到的出奇制胜的解法，真正体现了教学民主。

5．学生情感意志的磨练不可忽视

各种体育竞技，选手的过硬实力是首要的，但临场的心态和意志是取得成功的关键。

考场就是赛场，考生就是选手，当然，老师就是名副其实的教练了。

高考实际上就是考生在知识、能力、情感三维坐标上的大比拼。

考生一出考场就哭，他们在考场内的心情心态可想而知。

有人说，一个人事业的成功与否，“情商”比智商更重要，这里所说的“情商”包括意志品质、情感态度、心理承受能力及交流交往能力等。

可见情感意志不只是影响一个人的一场考试，甚至影响到一个人的终生。

一道考题能否攻克，有时只有一步之遥，或一念之差。

这有时是来自破题灵感，有时就来自临场的心态意志。

今年平均成绩，理科下降幅度较大，而文科不太明显，因为文科生一般视数学为弱项，按正常心态，先易后难，会就作，不会就暂放，处理得当。

而理科生，自认为数学是强项，更不愿在小题上失分，结果一两道小题受阻，就自乱阵脚，全局败阵，其根源仍是心态意志和方法问题。

当然这种情感意志的培养和磨炼，应由家长、学生、学校三方面共同承担，不能全部推推卸给学校和老师。

但是，这也是过去我们教育工作者所比较忽视的一个重要课题。

6．应注重与高等数学衔接的知识点的教学与复习

高考其根本目的就是要为高校选拔具有学习潜能与创新能力的新生。

如此在试卷中注重考查与高等数学衔接的知识点如导数、极限等那就很自然了。

实际上本份试卷也给高三的复习指明了方向。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。