高中不等式知识点总结.docx

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高中不等式知识点总结

高中不等式学问点总结

高中不等式学问点总结

漫长的学习生涯中，是不是经常追着老师要学问点？

学问点就是一些常考的内容，或者考试经常出题的地方。

还在苦恼没有学问点总结吗？

下面是我细心整理的高中不等式学问点总结，欢送大家借鉴与参考，期望对大家有所关怀。

一、学问点

1.不等式性质

比较大小方法：

（1）作差比较法

（2）作商比较法

不等式的根本性质

①对称性：

abba

②传递性:

ab,bcac

③可加性:

aba+cb+c

④可积性:

ab,c0acbc;

ab,c0acbc;

⑤加法法那么:

ab,cda+cb+d

⑥乘法法那么：

ab0,cd0acbd

⑦乘方法那么：

ab0,anbn（n∈N）

⑧开方法那么：

ab0,

2.算术平均数与几何平均数定理：

（1）假设a、b∈R,那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时等号）

（2）假设a、b∈R+,那么（当且仅当a=b时等号）推广：

假设为实数，那么

重要结论

1）假设积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;

（2）假设和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。

3.证明不等式的常用方法：

比较法：

比较法是最根本、最重要的方法。

当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，那么选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，那么选择作商比较法;遇到确定值或根式，我们还可以考虑作平方差。

综合法：

从或已证明过的不等式动身，依据不等式的性质推导出欲证的不等式。

综合法的放缩经常用到均值不等式。

分析法：

不等式两边的联系不够清楚，通过查找不等式成立的充分条件，逐步将欲证的不等式转化，直到查找到易证或成立的结论。

4.不等式的解法

（1）不等式的有关概念

同解不等式：

两个不等式假设解集违反，那么这两个不等式叫做同解不等式。

同解变形：

一个不等式变形为另一个不等式时，假设这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解变形。

提问：

请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形

去分母、去括号、移项、合并同类项

（2）不等式axb的解法

①当a0时不等式的解集是{x|xb/a};

②当a0时不等式的解集是{x|x

③当a=0时,b0,其解集是R;b0,其解集是ф。

（3）一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系

（4）确定值不等式

|x|0）的解集是{x|-a

oo

-a　0　a

|x|a（a0）的解集是{x|x-a或xa｝，几何表示为：

oo

-a0a

小结：

解确定值不等式的关键是-去确定值符号（整体思想，分类商量   ）转化为不含确定值的不等式，通常有以下三种解题思路：

（1）定义法：

利用确定值的意义，通过分类商量   的方法去掉确定值符号;

（2）公式法：

|f（x）|af（x）a或f（x）-a;|f（x）|a-a

（3）平方法：

|f（x）|a（a0）f2（x）a2;|f（x）|a（a0）f2（x）a2;（4）几何意义。

（5）分式不等式的解法

（6）一元高次不等式的解法

数轴标根法

把不等式化为f（x）0（或0）的形式（首项系数化为正），然后分解因式，再把根依据从小到大的挨次在数轴上标出来，从右边入手画线，最终依据曲线写出不等式的解。

（7）含有确定值的不等式

定理：

|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

?

|a|-|b|≤|a+b|

中当b=0或|a||b|且ab0等号成立

?

|a+b|≤|a|+|b|

中当且仅当ab≥0等号成立

推论1：

|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|

推广：

|a1+a2+...+an|≤|a1|+|a2|+...+|an|

推论2：

|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|

二、常见题型专题总结：

专题一：

利用不等式性质，推断其它不等式是否成立

1、a、b∈R,那么以下命题中的真命题是（　C）

A、假设ab，那么|a||b|B、假设ab，那么1/a1/b

C、假设ab，那么a3b3　　　　　　　D、假设ab，那么a/b1

2、a0.-1

A、aabab2B、ab2aba

C、abaab2D、abab2a

3、当0

A、（1a）1/b（1a）bB、（1+a）a（1+b）b

C、（1a）b（1a）b/2D、（1a）a（1b）b

4、假设loga3logb30，那么a、b的关系是（B）

A、0a1

C、0

5、假设ab0，那么以下不等式①1/a1a2=""b2;③lg（a2+1）lg（b2+1）;④2a2b中成立的是（　A）

2、a、b为不等的正数，n∈N，那么（anb+abn）-（an-1+bn-1）的符号是（C　）

A、恒正　　　　　　　　　　　　B、恒负

C、与a、b的大小有关　　　　　D、与n是奇数或偶数有关

3、设1lg2xlg（lgx）

4、设a0,a≠1,比较logat/2与loga（t+1）/2的大小。

分析：

要比较大小的式子较多，为避开盲目性，可先取特殊值估测各式大小关系，然后用比较法（作差）即可。

（三）利用不等式性质推断P是Q的充分条件和必要条件

1、设x、y∈R,推断以下各题中，命题甲与命题乙的充分必要关系

⑴命题甲：

x0且y0，　　命题乙：

x+y0且xy0充要条件

⑵命题甲：

x2且y2，　　命题乙：

x+y4且xy4　　　　　充分不必要条件

2、四个命题，其中a、b∈R

①a2

3、"a+b2c"的一个充分条件是（C　）

A、ac或bcB、ac或bc且bc　　D、ac且b

（四）范围问题

1、设60

2、假设二次函数y=f（x）的图象过原点，且1≤f

（1）≤2,3≤f

（1）≤3，求f

（2）的范围。

（五）均值不等式变形问题

1、当a、b∈R时,以下不等式不正确的选项是（D　）

A、a2+b2≥2|a|?

|b|B、（a/2+b/2）2≥ab

C、（a/2+b/2）2≤a2/2+b2/2D、log1/2（a2+b2）≥log1/2（2|a|?

|b|）

2、x、y∈（0,+∞），那么以下不等式中等号不成立的是（A　）

C、（x+y）（1/x+1/y）≥4D、（lgx/2+lgy/2）2≤lg2x/2+lg2y/2

3、a0,b0,a+b=1，那么（1/a21）（1/b21）的最小值为（D　）

A、6　　　　　　　B、7　　　　　　　C、8　　　　　　　D、9

4、a0,b0,c0，a+b+c=1，求证：

1/a+1/b+1/c≥9

5、a0,b0,c0,d0,求证：

（六）求函数最值

1、假设x4,函数

5、大、-6

2、设x、y∈R,x+y=5，那么3x+3y的最小值是（　）D

A、10　　　　　　B、　　　　　　C、　　　　　　D、

3、以下各式中最小值等于2的是（　）D

A、x/y+y/xB、C、tanα+cotαD、2x+2-x

4、实数a、b、c、d满足a+b=7,c+d=5,求（a+c）2+（b+d）2的最小值。

5、x0,y0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。

（七）实际问题

1、98（高考）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2cm的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为am，高度为bm，流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60m2，问当a、b各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积无视不计）。

解一：

设流出的水中杂质的质量分数为y，

由题意y=k/ab，其中k为比例系数（k0）

据题设2×2b+2ab+2a=60（a0,b0）

由a0,b0可得0

令t=2+a，那么a=t-2从而当且仅当t=64/t，即t=8,a=6时等号成立。

∴y=k/ab≥k/18

当a=6时,b=3，

综上所述，当a=6m,b=3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

解二：

设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y=k/ab，其中k为比例系数（k0）

要求y的最小值，即要求ab的最大值。

据题设2×2b+2ab+2a=60（a0,b0），即a+2b+ab=30

即a=6,b=3时，ab有最大值，从而y取最小值。

综上所述，当a=6m,b=3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

2、某工厂有旧墙一面长14米,现预备利用这面旧墙建筑平面图形为矩形，面积为126　　米2的厂房，工程条件是：

①建1米新墙的费用为a元;②修1米旧墙的.费用为a/4元;③拆去1米旧墙用所得材料建1米新墙的费用为a/2元.经过商量   有两种方案：

⑴利用旧墙的一段x（x14）米为矩形厂房的一面边长;⑵矩形厂房的一面长为x（x≥14）.问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省?

⑴⑵两种方案哪种方案最好?

解：

设总费用为y元，利用旧墙的一面矩形边长为x米，那么另一边长为126/x米。

⑴假设利用旧墙的一段x米（x14）为矩形的一面边长，那么修旧墙的费用为x?

a/4元，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为（14-x）?

a/2元，其余的建新墙的费用为（2x+2?

126/x-14）?

a元，故总费用　当且仅当x=12时等号成立，∴x=12时ymin=7a（6-1）=35a。

⑵假设利用旧墙的一段x米（x≥14）为矩形的一面边长，那么修旧墙的费用为x?

a/4元，建新墙的费用为（2x+2?

126/x-14）?

a元，故总费用

设f（x）=x+126/x,x2x1≥14，那么f（x2）-f（x1）=x2+126/x2-（x1+126/x1）

=（x2x1）（1126/x1x2）0∴f（x）=x+126/x在[14，+∞）上递增，∴f（x）≥f（14）

∴x=14时ymin=7a/2+2a（14+126/14-7）=35.5a

综上所述，承受方案⑴，即利用旧墙12米为矩形的一面边长，建墙费用最省。

（八）比较法证明不等式

1、a、b、m、n∈R+,证明：

am+n+bm+n≥ambn+anbm

变：

a、b∈R+,证明：

a3/b+b3/a≥a2+b2

2、a、b∈R+,f（x）=2x2+1,a+b=1,证明：

对任意实数p、q恒有a?

f（p）+b?

f（q）≥f（ap+bq）

（九）综合法证明不等式

1、a、b、c为不全相等的正数，求证：

2、a、b、c∈R，且a+b+c=1，求证：

a2+b2+c2≥1/3

3、a、b、c为不全相等的正数，且abc=1,求证：

4、a、b∈R+，a+b=1,求证：

（十）分析法证明不等式

1、a、b、c为不全相等的正数，求证：

bc/a+ac/b+ab/ca+b+c

2、函数f（x）=lg（1/x-1）,x1、x2∈（0,1/2），且x1≠x2，求证：

3、设实数x,y满足y+x2=0,0

（十一）反证法、放缩法、构造法、判别式法、换元法等证明不等式

1、设f（x）=x2+ax+b，求证：

|f

（1）|、|f

（2）|、|f（3）|中至少有一个不小于1/2。

2、假设x2+y2≤1,求证|x2+2xy-y2|≤.

3、abc,求证：

4、a、b、c∈R+，且a+bc求证：

.

5、a、b、c∈R，证明：

a2+ac+c2+3b（a+b+c）≥0，并指出等号何时成立。

分析：

整理成关于a的二次函数f（a）=a2+（c+3b）a+3b2+3bc+c2

∵Δ=（c+3b）2-4（3b2+3bc+c2）=-3（b2+2bc+c2）≤0

∴f（a）≥0

6、：

x2-2xy+y2+x+y+1=0，求证：

1/3≤y/x≤3

7、在直角三角形ABC中，角C为直角，n≥2且n∈N，求证：

cn≥an+bn

（十二）解不等式

1、解不等式：

2、解关于x的不等式：