初中数学知识点.docx

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初中数学知识点

初中数学知识点

知识点：

有理数的相关概念

知识点总结

    有理数的概念的内容包含有理数分类的原则和方法，相反数、数轴、绝对值的概念和特点。

    1.有理数的分类：

有理数包括整数和分数，整数又包括正整数，0和负整数，分数包括正分数和负分数。

“分类”的原则：

（1）相称（不重、不漏）；

（2）有标准

    2．非负数：

正数与零的统称。

    3．相反数：

（1）定义:

如果两个数的和为0.那么这两个数互为相反数.

（2）求相反数的公式:

a的相反数为-a.

    （3）性质：

①a≠0时，a≠-a;②a与-a在数轴上的位置关于原点对称;③两个相反数的和为0,商为-1。

    4．数轴：

（1）定义（“三要素”）:

具有原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。

    作用：

①直观地比较实数的大小;②明确体现绝对值意义;③所有的有理数可以在数轴上表示出来，所有的无理数如都可以在数轴上表示出来，故数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，数轴上的点与实数是一一对应关系。

    5.绝对值：

（1）代数定义：

正数的绝对值是它的本身，0的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数。

（2）几何定义：

数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

    ①符号"││”是“非负数”的标志;

    ②数a的绝对值只有一个;

    ③处理任何类型的题目，只要其中有"││”出现，其关键一步是去掉"││”符号。

常见考法

    绝对值、相反数、数轴的概念难度不大，但极易混淆。

在段考和中考中都是重点，题型多以填空、选择为主。

有时也和定义新运算这类题目联系起来考查。

误区提醒

【例】（2009山西省太原市）在数轴上表示-2的点离开原点的距离等于（   ）

A．2       B.-2     C.0   D.4

【解析】本题考查数轴的有关知识，也是考查绝对值的几何意义，数轴上表示-2的点离开原点的距离等于2，故选A。

混淆了绝对值、相反数、数轴三者的概念，是学生的常见错误。

知识点：

有理数的运算

知识点总结

     1.掌握有理数加、减、乘、除、乘方的运算法则

     2.能灵活应用五个运算定律（加法交换律,加法结合律；乘法交换律,乘法结合律,乘法对加法的分配律）

     3.清楚有理数混合运算的顺序：

高级运算到低级运算，同级运算从左到右，有括号时由小中大。

常见考法

     有理数的运算是数学运算的基础，通过对中学数学各类考试中试题的分析可以看出对有理数运算侧重于：

1.考查易混淆，易出错的相关运算及符号的确定，如有理数的减法、乘方的运算。

2.考查各种运算意义、法则的理解及灵活运用。

3.结合实际生活中的问题情境，考查实数运算的应用。

题型一般是计算题。

【例】（2010黑龙江哈尔滨）某年哈尔滨市一月份的平均气温为－18℃，三月份的平均气温为2℃，则三月份的平均气温比一月份的平均气温高（  ）

（A）16℃              （B）20℃              （C）－16℃           （D）．－20℃

【解析】故选B.

误区提醒

     没有掌握有理数减法的运算法则，一定要注意减去一个数等于加上这个数的相反数，-18的相反数是18

知识点：

近似数与有效数字、科学记数法

知识点总结

     1.科学记数法：

把一个整数或有限小数记成（，是整数）的形式，这种记数方法叫做科学记数法。

（1）当是大于1的数时，的整数位数减去1。

如：

；

（2）当是小于1的数时，的第一个有效数字前0的个数.如:

     2.近似数与有效数字：

一个近似数，四舍五入至哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起到右边的所有数位止，所有的数字叫这个数的有效数字。

如：

0.004015,有效数字是4，0，1，5一共四个。

又如:

0.00401500,有效数字是4，0，1，5，0，0，一共六个。

常见考法

     科学记数法和近似数的精确度在实际生活中有广泛应用，可以跨学科渗透其他知识也可与时政要闻相联系，是近年中考命题的必考问题、热点问题，重点考查利用科学记数法表示数以及通过有效数字取近似数。

【例】（2009年内蒙古包头）国家体育场“鸟巢”建筑面积达25.8万平方米，将25.8万平方米用科学记数法（四舍五入保留2个有效数字）表示约为（   ）

A.平方米              B.平方米

C.平方米               D.平方米

【答案】D.

【解析】本题考查科学记数法和有效数字，将一个数用科学记数法表示为的形式，其中的有效数字就是的有效数字，且等于这个数的整数位数减1。

所以万平方米保留两个有效数字为，选C。

误区提醒

     当原数的绝对值大于10时，利用科学记数法将原数写成的形式，由于对表示数的方法理解不透或不熟悉而弄错和的值。

知识点：

数的开方

知识点总结

     理解平方根、算术平方根、立方根的定义，掌握平方根、算术平方根、立方根的性质。

清楚平方根与算术平方根的区别和联系，平方根与立方根的区别。

知识点：

实数

知识点总结

     了解无理数的概念，能根据要求用有理数估计一个无理数的范围。

了解实数的分类方法和原则，会进行简单的实数运算。

1.

2.无理数：

无限不循环小数叫做无理数。

一个数是无理数应当满足三个条件：

（1）是小数；

（2）是无限小数；（3）是不循环小数。

3.实数的运算：

（1）要掌握加、减、乘、除、乘方、开方的运算法则

（2）能灵活应用五个运算定律（加法交换律,加法结合律；乘法交换律,乘法结合律,乘法对加法的分配律）

（3）清楚实数混合运算的顺序：

依然是从高级运算到低级运算，同级运算从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。

常见考法

     实数的分类及无理数在段考，以及中考中均有出现，主要考查的是无理数的判别、实数的简单运算等。

单独考查时，题型以选择、填空为主。

误区提醒

知识点：

二次根式的相关概念

知识点总结

常见考法

    二次根式是近几年中考命题的必考内容，主要考查二次根式的定义及化简求值，最简二次根式、同类二次根式的判别等，多以选择、填空题出现。

误区提醒

知识点：

二次根式的运算

知识点总结

    一、因式的外移和内移：

如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面．反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。

    二、有理化因式与分母有理化：

两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。

把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

   三、二次根式运算法则：

（1）加法法则（合并同类二次根式）；

（2）乘、除法法则。

   四、有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。

常见考法

        二次根式的运算是中考命题的热点，二次根式的运算在中考中多以混合运算为主，解决时，我们还要与分母有理化以及各运算法则，公式相结合。

题型既有选择填空，也有计算解答。

误区提醒

知识点：

二次根式的应用

知识点总结

        二次根式的应用主要体现在两个方面：

1.利用从特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；2.利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。

这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。

常见考法

（1）设计一些规律探索问题提高学生的想象力和创造力；

（2）联系生活实际设计一些方案探究题。

误区提醒

（1）不能通过观察，归纳、猜想寻找出共同的规律，并运用这种规律解决问题；

（2）不会应用数学的知识解决实际生活中的问题。

【典型例题】小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长、宽比为3：

2，不知道能否裁出来，正在发愁你能帮他解决吗？

知识点：

代数式的相关概念

知识点总结

一、代数式的定义：

用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

注意：

（1）单个数字与字母也是代数式；

（2）代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号；（3）代数式可按运算关系和运算结果两种情况理解。

三、整式：

单项式与多项式统称为整式。

1.单项式：

数与字母的积所表示的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。

特别地，单独一个数或者一个字母也是单项式。

2.多项式：

几个单项式的和叫做多项式，在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；在多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数。

四、升（降）幂排列：

把一个多项式按某一个字母的指数从小到大（或从大到小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。

五、代数式书写要求：

1.代数式中出现的乘号通常用“·”表示或者省略不写；数与字母相乘时，数应写在字母前面；数与数相乘时，仍用“×”号；

 2.数字与字母相乘、单项式与多项式相乘时，一般按照先写数字，再写单项式，最后写多项式的书写顺序．如式子（a+b）·2·a应写成2a（a+b）；

3.带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘；

4.在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写；

5.在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，如果代数式是积或商的形式，则单位直接写在式子后面；如果代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面，如2a米，（2a-b）kg。

六、系数与次数

单项式的系数和次数，多项式的项数和次数。

1．单项式的系数：

单项式中的数字因数叫做单项式的系数。

注意：

（1）单项式的系数包括它前面的符号；

（2）若单项式的系数是"1”或-1“时，"1"通常省略不写，但“－”号不能省略。

2.单项式的次数：

单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

注意：

（1）单项式的次数是它含有的所有字母的指数和，只与字母的指数有关，与其系数无关；

（2）单项式中字母的指数为1时，1通常省略不写，在确定单项式的次数时，一定不要忘记被省略的1。

3．多项式的次数：

多项式中次数最高的项的次数就是多项式的次数．

4．多项式的项数：

在多项式中，每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项称为常数项。

一个多项式有几项，就叫几项式，它的项数就是几。

多项式的项数实质是“和”中单项式的个数。

八、列代数式：

用含有数、字母和运算符号的式子把问题中的数量表示出来就是列代数式。

正确列出代数式，要掌握以下几点：

（1）列代数式的关键是理解和找出问题中的数量关系；

（2）要掌握一些常见的数量关系如行程问题、工程问题、浓度问题、数字问题等；（3）要善于抓住问题中的关键词语，如和、差、积、商、大、小、几倍、平方、多、少等。

九、代数式求值：

一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算计算的结果叫做代数式求值。

代数式求值的三种方法：

1.直接代入求值；2.化简代入求值；3.整体代入求值。

常见考法

        列代数式与代数式求值是中考的必考知识点，它涉及的知识范围广，可与实际问题（如乘车，购物、储蓄、税收等）相结合，特别的探索规律列代数式这类考题为中考命题者提供了广泛的空间，是近几年的热点，这类题通常是从一列数、一个数阵、一个等式、一组图形中，观察出规律，并尝试归纳出代数式或公式，再加以验证。

误区提醒

（1）列代数式时，由于审题不清，对条件理解不透，很容易搞错运算顺序而列错代数式；

（2）求代数式的值，将代数式中字母用相应的数值后，代数式就变成了实数的混合运算。

如果没有对实数运算掌握好，就会出现运算顺序搞错的现象。

（3）在进行规律探索中，由于在审题中没有抓住问题的性质，常常得出不能完全反映全部规律的错误规律，出现以点概面，以偏概全的现象。

【典型例题】（2010广东茂名）用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n个“口”字需用棋子

【解析】第1个“口”需要4枚棋子；

                 第2个“口”需要8枚棋子；

                 第3个“口”需要12枚棋子；

                 ……

                 依次类推，第n个“口”需要4n枚棋子，故选A。

知识点：

整式的运算

知识点总结

一、去括号法则：

括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉。

括号里各项都不变符号，括号前是“-”号，把

括号和它前面的“-”号去掉．括号里各项都改变符号。

 二、合并同类项：

同类项的系数相加，所得的结果作为系数．字母和字母的指数不变。

同类项合并的依据：

乘

法分配律。

三、整式运算的法则：

1.整式的加减：

几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接．

 2.整式的乘除：

单项式相乘（除），把它们的系数、相同字母分别相乘（除），对于只在一个单项式（被除式）里含有的字

母，则连同它的指数作为积（商）的一个因式．相同字母相乘（除）要用到同底数幂的运算性质：

  多项式乘（除）以单项式，先把这个多项式的每一项乘（除）以这个单项式，再把所得的积（商）相加．

  多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

 3.整式的乘方

 单项式乘方，把系数乘方，作为结果的系数，再把乘方的次数与字母的指数分别相乘所得的幂作为结果的因式．

 单项式的乘方要用到幂的乘方性质与积的乘方性质：

4.乘法公式

常见考法

整式的运算是考试中必考的内容，且常与分式运算、解方程、分解因式及解不等式这些知识结合起来命题，考查学生的

综合能力。

误区提醒

（1）在去括号时，如果括号前面是“-”，容易出现的错误是忘记变号（也或者括号内的某一项被漏掉）；

（2）在运用乘法分配律时，容易漏乘某一项。

避免错误的方法，就是要认真仔细。

【典型例题】

知识点：

幂的运算法则

知识点总结

常见考法

       幂的运算法则是整式运算的基础，也是中考必考点，常以选择、填空形式出现，难度不大。

误区提醒

知识点：

分解因式的概念及方法

知识点总结

一、因式分解的概念：

    多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止。

二、分解因式的常用方法有：

1.提公因式法;2..公式法;3.十字相乘法;4.分组分解法;5.求根公式法。

三、因式分解的步骤及注意事项：

1.一般步骤：

“一提”：

先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式；“二套”：

再考虑能否运用公式法分解因式，一般的根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式或十字相乘法，更多项的多项式，应分组分解.

2.分解因式需要注意事项：

分解因式必须彻底，应进行到每个因式都不能在分解为止；分解因式要注意，是在有理数范围内，还是在实数范围内。

四、分解因式的应用：

1.使一些较复杂的计算简便；2.求一些无法直接求解的代数式的值；3.判断多项式的整除性质；4.与几何中三角形的三边关系结合解决一些综合性问题。

常见考法

    实际生活中，人们为了解决问题常常遇到某些复杂的计算问题，如果根据题目的特点，运用分解因式将式子变形，会简化运算量，提高准确率，所以灵活应用各种方法分解因式是历届中考的重点。

题型一般是小型综合题，难度一般，解题规律明显。

误区提醒

（2009年舟山）给出三个整式a2，b2和2ab．

（1）当a=3，b=4时，求a2+b2+2ab的值；

（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．

【解析】

（1）当a=3，b=4时，a2+b2+2ab==49．     

（2）答案不唯一，例如，

若选a2，b2，则a2-b2=（a+b）（a-b）．                                                                   

若选a2，2ab，则a2±2ab=a（a±2b）．   

知识点：

分式的概念及基本性质

知识点总结

常见考法

       考查分式有（无）意义、值为0的条件

误区提醒

知识点：

分式的运算

知识点总结

一、约分与通分：

1．约分：

把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分；

   分式约分：

将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分。

分式约分的根据是分式的基本性质，即分式的分子、分母都除以同一个不等于零的整式，分式的值不变。

   约分的方法和步骤包括：

（1）当分子、分母是单项式时，公因式是相同因式的最低次幂与系数的最大公约数的积；

（2）当分子、分母是多项式时，应先将多项式分解因式，约去公因式。

2．通分：

根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通。

   分式通分：

将几个异分母的分式化成同分母的分式，这种变形叫分式的通分。

（1）当几个分式的分母是单项式时，各分式的最简公分母是系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂的所有不同字母的积；

（2）如果各分母都是多项式，应先把各个分母按某一字母降幂或升幂排列，再分解因式，找出最简公分母；

 （3）通分后的各分式的分母相同，通分后的各分式分别与原来的分式相等；

 （4）通分和约分是两种截然不同的变形．约分是针对一个分式而言，通分是针对多个分式而言；约分是将一个分式化简，而通分是将一个分式化繁。

 注意：

（1）分式的约分和通分都是依据分式的基本性质；

（2）分式的变号法则：

分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。

（3）约分时，分子与分母不是乘积形式，不能约分．

3．求最简公分母的方法是：

（1）将各个分母分解因式；

（2）找各分母系数的最小公倍数；

（3）找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足

（2）（3）的因式之积即为各分式的最简公分母（求最简公分母在分式的加减运算和解分式方程时起非常重要的作用）。

二、分式的运算：

1．分式的加减法法则：

（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加；

（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算。

2．分式的乘除法法则：

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。

4．分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的。

5．对于分式化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值。

常见考法

        分式的运算通常是综合考查分式的加减、乘除、约分及分解因式等知识，是中考的重点。

特别是化简求值已经成近两年中考的热点。

题型既有选择、填空题，也有计算题。

误区提醒

（1）互为相反数的因式约分时漏掉负号；

（2）通分时漏乘而出错；

（3）把通分与去分母混淆，本是通分，却把分式中的分母丢掉；

（4）计算顺序搞乱而出错。

【典型例题】

知识点：

可化为一元一次方程的分式方程

知识点总结

一．列分式方程解应用题的步骤：

　　列分式方程解应用题的一般步骤为：

（1）设未知数：

若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数；

（2）列代数式：

用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系；

　（3）列出方程：

根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程；

　（4）解方程并检验；

　（5）写出答案。

二．列分式方程解应用题的注意事项：

　　由于列方程解应用题是对实际问题的解答，所以检验时除从数学方面进行检验外，还应考虑题目中的实际情况，凡不符合实际的，应舍去。

常见考法

　　列分式方程解应用题是中考命题的热点，命题广泛联系实际，题型新颖开放，但只要把握列分式方程解应用题的几个步骤，解决起来仍不困难。

误区提醒

（1）单位不统一；

（2）解完分式方程后忽略“双检”。

【典型例题】

（2010湖南邵阳）小明离家2.4千米的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有45分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票用时2分钟，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆。

已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟，骑自行车的速度是步行速度的3倍。

（1）小明步行的速度（单位：

米/分钟）是多少？

（2）小明能否在球赛开始前赶到体育馆？

【解析】

（1）设步行的速度为ｘ米/分钟，则骑自行车的速度为３ｘ米/分钟。

知识点：

等式与方程

知识点总结

一、方程的有关概念：

1.含有未知数的等式叫做方程。

  要判断某式是否是方程，要抓住两点：

（1）是否是等式；

（2）是否含有未知数。

2.使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解（根）。

即方程的解就是代入方程可以使等式成立未知数的值。

3.求方程解的过程叫做解方程。

解方程的依据—等式性质

4.只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，系数不为0，这样的整式方程叫做一元一次方程。

常见考法

    利用等式的性质变形。

误区提醒

（1）方程与等式的概念理解不透彻；

（2）等式的性质应用错误。

【典型例题】若-m=4，则m=        

【解析】根据等式性质2，等式两边同乘-1，得m=-4。

知识点：

一元一次方程概念及解法

知识点总结

一．一元一次方程的概念：

       只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，系数不为0的方程叫做一元一次方程，对于一元一次方程，要抓住“一元”和“一次”两个关键元素。

一元二次方程的一般形式：

二．解一元一次方程的一般步骤：

步骤

具体做法

变形依据

注意点

去分母

在方程两边同乘上所有分母的最小公倍数

等式的性质2

（1）分子要加括号；

（2）不要漏乘不含分母的项

去括号

一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号

（1）分配律

（2）去括号法则

（1）不要漏乘括号内各项；

（2）若括号前是“-”，去括号后括号内各项要变号

移项

把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边

移项法则

（1）移项要变号，不移的项不变号；

（2）不要漏项

合并同类项

把方程化为ax=b（a≠0）的形式

合并同类项法则

系数相加，字母部分