二次函数综合大题压轴题Word版.docx
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二次函数综合大题压轴题Word版
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数学
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初三
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人教版
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第（）课时
共
（2）课时
课题名称
二次函数综合大题（压轴题）
课时计划
第（1、2）课时
共（4）课时
上课时间
教学目标
同步教学知识内容
学校同步学到圆周角，1对1提前学到圆结束
个性化学习问题解决
二次函数综合大题（压轴题）
教学过程
教师活动
二次函数综合大题（压轴题）
一、经典例题精讲
面积类
例1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．
（3）在
（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？
若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
考点：
二次函数综合题．
专题：
压轴题；数形结合．
分析：
（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．
（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：
S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，MN的表达式在
（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．
解答：
解：
（1）设抛物线的解析式为：
y=a（x+1）（x﹣3），则：
a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；
∴抛物线的解析式：
y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．
（2）设直线BC的解析式为：
y=kx+b，则有：
，
解得
；
故直线BC的解析式：
y=﹣x+3．
已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；
∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．
（3）如图；
∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，
∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+
（0＜m＜3）；
∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为
．
练习1
如图，抛物线
的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．
考点：
二次函数综合题．.
专题：
压轴题；转化思想．
平行四边形类
例2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题；解一元二次方程－因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定．.
专题：
压轴题；存在型．
分析：
（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：
把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；
（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到
当t=﹣
=时，PM最长为
=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；
（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：
当P在第四象限：
PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：
PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：
PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．
解答：
解：
（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得
解得
，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得
，解得
，
所以直线AB的解析式是y=x﹣3；
（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），
因为p在第四象限，
所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，
当t=﹣
=时，二次函数的最大值，即PM最长值为
=，
则S△ABM=S△BPM+S△APM=
=
．
（3）存在，理由如下：
∵PM∥OB，
∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
①当P在第四象限：
PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3．
②当P在第一象限：
PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=
，t2=
（舍去），所以P点的横坐标是
；
③当P在第三象限：
PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=
（舍去），t2=
，所以P点的横坐标是
．
所以P点的横坐标是
或
．
练习2
如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．
（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；
（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？
若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在
（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？
并写出四边形PB′A′B的两条性质．
考点：
二次函数综合题．.
专题：
压轴题．
周长类
例3．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在
（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；
考点：
二次函数综合题．.
专题：
压轴题．
分析：
（1）根据抛物线y=
经过点B（0，4），以及顶点在直线x=上，得出b，c即可；
（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可．
（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y即可；
解：
（1）∵抛物线y=
经过点B（0，4）∴c=4，
∵顶点在直线x=上，∴﹣
=﹣
=，∴b=﹣
；
∴所求函数关系式为
；
（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=
，
∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），
当x=5时，y=
，
当x=2时，y=
，
∴点C和点D都在所求抛物线上；
（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，
则
，解得：
，∴
，
当x=时，y=
，∴P（
），
三．随堂练习
练习3、如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：
y=x﹣5上．
（1）求抛物线顶点A的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；
（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题．.
专题：
压轴题；分类讨论．
课后作业
课后记
本节课教学计划完成情况：
照常完成□提前完成□延后完成□_____________________________
学生的接受程度：
完全能接受□部分能接受□不能接受□________________________________
学生的课堂表现：
很积极□比较积极□一般□不积极□________________________________
学生上次作业完成情况：
数量____%完成质量____分存在问题______________________________
配合需求：
家长___________________________________________________________________________
学管师_________________________________________________________________________
备注
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教研组长审批
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（注：
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