二单摆受迫振动与共振.docx
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二单摆受迫振动与共振
二、单摆、受迫振动与共振
基础知识梳理
（一）单摆
1．装置：
悬挂小球的细线的伸缩量和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多。
2．做简谐运动的条件：
最大摆角θ<10°。
3．回复力：
回复力由重力的切向分力来提供，大小为
，不能说成是重力和拉力的合力。
在平衡位置振子所受回复力是零，但合力不为零，方向指向悬点，作为圆运动的向心力。
4．单摆的周期：
（与单摆的振幅、摆球的质量无关）
5．小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同，只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动，这时周期公式中的l应该是圆弧半径R。
（二）受迫振动与共振
1．受迫振动：
（1）含义：
物体在驱动力（既周期性外力）作用下的振动叫受迫振动。
（2）特点：
物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。
2．共振
（1）共振曲线及特点
①当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振。
②物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：
两者越接近，受迫振动的振幅越大，两者相差越大受迫振动的振幅越小。
③产生某一振幅可能有两个不同的驱动力频率
（2）共振的利用和防止
①利用共振的有：
共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千……
②防止共振的有：
机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢……
方法指导
1．等效单摆周期的求解
在有些振动系统中l不一定是绳长，g也不一定为9.8m/s2，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题.
（1）等效摆长：
在振动平面内物体重心到旋转中心的距离.
例1．求出下述两种情况的振动周期
①在甲图中，三根等长的绳l1、l2、l3共同系住一密度均匀的小球m，球直径为d，l2、l3与天花板的夹角α＜30°.若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，其周期T1=．若摆球做垂直纸面的小角度摆动，其周期T2=．
②如图乙所示，已知单摆摆长为L，悬点正下方3L/4处有一个钉子。
让摆球做小角度摆动，其周期T3=．
解析：
①若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在O1处，故等效摆长为l1＋
，周期T1＝2π
.
若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O处，故等效摆长为l1＋l2sinα＋
，周期T2＝2π
.
②该摆在通过悬点的竖直线两边的运动都可以看作简谐运动，周期分别为
和
，因此周期为：
（2）等效重力加速度g′：
由单摆所在的空间位置和环境决定，g′变化与否，关键是看加某种因素后对回复力又无影响。
单摆位于天体表面附近摆动时，设天体的质量为M，半径为R，摆球的质量为m，则其等效重力mg′=GMm/R2,等效重力加速度g′=GM/R2
例2．求出下述两种情况的振动周期：
①若给摆长为l、摆球质量为m的单摆带上电荷量为q的正电荷，将其放在竖直向下的匀强电场E中
②若在上述单摆的悬点处或悬点的正上方固定另一正的点电荷或加一方向垂直于振动方向所在平面的匀强磁场
解析：
①让单摆平衡，将此时摆线张力大小写成与等效重力相等，即F=mg+qE=m（g+
）=mg′，将g′=g+
换下单摆周期公式中的g，即为此种情况下单摆周期的大小：
②若在悬点处固定点电荷或加上面所述磁场后，摆球除受重力、摆线拉力作用外，又增加了库仑力或洛伦兹力.但由于库仑力或洛伦兹力始终沿摆线方向，在摆球运动的圆弧轨迹切线方向均无分力，也就是说，加上上述点电荷或磁场后，对单摆振动的回复力无任何影响，因此对单摆振动的快慢无任何影响，即单摆周期应不变，仍为.
2．利用振动图象分析单摆的有关问题
例3．如图所示为一单摆及其振动图象，由图回答：
（1）单摆的振幅为______，频率为______，摆长为______；一周期内位移x（F回、a、Ep）最大的时刻为________.
（2）若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图象中O、A、B、C点分别对应单摆中的________点.一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是________，势能增加且速度为正的时间范围是________.
（3）单摆摆球多次通过同一位置时，下列物理量变化的是（）
A．位移B．速度C．加速度D．动量E．回复力F．动能G．摆线张力
（4）在悬点正下方O′处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且
＝
，则单摆周期为________s.比较钉挡绳前后瞬间摆线的张力.
（5）若单摆摆球在最大位移处摆线断了，此后摆球做什么运动?
若在摆球过平衡位置时摆线断了，摆球又做什么运动?
解析：
（1）由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为3cm.从横坐标可直接读取完成一个全振动即一个完整的正弦曲线所占据的时间轴长度就是周期T＝2s，进而算出频率f＝
＝0.5Hz，算出摆长l＝
＝１m.
从图中看出纵坐标有最大值的时刻为0.5s末和1.5s末.
（2）图象中O点位移为零，O到A的过程位移为正，且增大，A处最大，历时四分之一周期，显然摆球是从平衡位置E起振并向G方向运动的，所以O对应E，A对应G.A到B的过程分析方法相同，因而O、A、B、C对应E、G、E、F点.
摆动中E、F间加速度为正，且靠近平衡位置过程中加速度逐渐减小，所以是从F向E的运动过程，在图象中为C到D的过程，时间范围是1.5～2.0s间.
摆球远离平衡位置势能增加，即从E向两侧摆动，而速度为正，显然是从E向G的过程，在图象中为从O到A的过程，时间范围是0～0.5s间.
（3）过同一位置，位移、回复力和加速度不变；由机械能守恒知，动能不变，速率也不变，摆线张力mgcosα＋m
也不变；相邻两次过同一点，速度方向改变，从而动量方向也改变，故选BD.
（4）放钉后改变了摆长，因此单摆周期应分成钉左侧的半个周期，前已求出摆长为１m，所以t左＝π
＝１s；钉右侧的半个周期，t右＝π
＝0.5s，所以T＝t左＋t右＝１.5s.
由受力分析得，张力F＝mg＋m
，因为钉挡绳前后瞬间摆球速度不变，球的重力不变，挡后摆线长为挡前的
，所以挡后绳的张力变大.
（5）在最大位移处线断，此时球的速度为零，只受重力作用，所以做自由落体运动.
在平衡位置处线断，此时球有最大水平速度，又只受重力，所以球做平抛运动.
3、单摆的综合应用
例
4．如图所示，两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触．现将摆球A在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐振动，以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，则：
A．如果mA>mB，下一次碰撞发生在平衡位置右侧
B．如果mAC．无论两球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧
D．无论两球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧
解析：
此题易迷惑之处是：
A、B选项虽然给了两者质量关系，但没有给出两球相碰的性质，所以两者碰后可能A停下来，B向右摆；也可能一起向右摆；也可能分开，再次相碰，相碰点在哪儿？
尤其是一起向右摆的情况下，会在平衡位置右侧相碰吗？
会出现一个球已经从右侧最高点返回，而另一球还向右侧最高点运动吗？
由于单摆振动周期
与摆球质量无关，而两个单摆摆长相等，所以周期相同，两球相碰后有这几种可能:
①碰后两球速度方向相反,这样两球各自到达最高点再返回到平衡位置所用的时间相等,故两球只能在平衡位置相遇;②碰后两球向同一方向运动,则每个球都先到达最大位移处然后返回平衡位置,所用的时间也都是半个周期,两球仍只能在平衡位置相遇;③碰后一球静止,而另一球运动,则该球先到最大位移又返回到平衡位置,所用时间还是半个周期,在平衡位置相遇.
因此，不管mA＞mB，还是mA＜mB还是mA＝mB，无论摆球质量之比为多少，下一次碰撞都只能发生在平衡位置，也就是说不可能发生在平衡位置的右侧或左侧，所以选项C、D正确。
4．会用共振曲线处理有关问题
例5．如图所示为一单摆的共振曲线，则该单摆的摆长约为多少？
共振时摆球的最大速度大小是多少？
（g取10m/s2）
解析：
这是一道共振曲线所给信息和单摆振动规律进行推理和综合分析的题目。
由题意知，当单摆共振时频率f=0.5Hz,即
振幅A=8cm=0.08m.
由
得
根据机械能守恒定律可得：
由图（解）可得如下几何关系：
解得
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1．（06天津）一单摆做小角度摆动，其振动图象如图，以下说法正确的是
A．
时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小
B．
时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小
C．
时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大
D．
时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
答案:
D
2.（2001年全国）细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬挂点正下方
摆长处有一个能挡住摆线的钉子A，如图所示.现将单摆向左方拉开一个小角度，然后无初速地释放，对于以后的运动，下列说法中正确的是（）
A.摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小
B.摆球在左、右两侧上升的最大高度一样
C.摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等
D.摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍
解析：
由T=2π
知，l减小，T减小.摆球摆至右侧时，摆长减小，周期变小，故A对；因摆动中机械能守恒，故左、右两侧上升的最大高度相同，即选项B对；另由几何知识知，摆球向右摆的最大偏角小于左侧最大偏角的两倍，故左、右两侧走过的最大弧长不相等，故C、D错.
答案：
AB
3．（06广东）铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击。
由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动。
普通钢轨长为12.6m，列车固有振动周期为0.315s。
下列说法正确的是
A．列车的危险速率为
B．列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象
C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的
D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行
解析：
共振的条件是驱动力的频率等于系统的固有频率，由
可求出危险车速为40m/s，故选项A正确。
列车过桥需要减速，是为了防止桥与火车发生共振现象，故选项B错误。
答案：
AD
4．（06北京）某同学看到一只鸟落在树枝上的P处，树枝在10s内上下振动了6次，鸟飞走后，他把50g的砝码挂在P处，发现树枝在10s内上下振动了12次.将50g的砝码换成500g砝码后，他发现树枝在15s内上下振动了6次，你估计鸟的质量最接近（）
A.50gB.200gC.500gD.550g
解析：
由题中的信息可知，鸟、50g的砝码和500g的砝码三者引起的频率分别为0.6HZ、1.2HZ和0.4HZ，显然质量越大，振动的频率就越小，鸟引起的振动的频率接近于500g砝码引起的振动的频率，所以鸟的质量应接近500g，故答案选B。
答案：
B
5．（06全国1）一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，图1所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动。
匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动。
把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期。
若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动图线如图2所示。
当把手以某一速度匀速转动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图线如图3所示。
若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，Y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅，则
A.由图线可知T0=4s
B.由图线可知T0=8s
C.当T在4s附近时，Y显著增大；当T比4s小得多或大得多时，Y很小
D.当T在8s附近时，Y显著增大；当T比8s小得多或大得多时，Y很小
答案：
AC
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1．摆长为L的单摆做简谐振动，若从某时刻开始计时，（取作t=0），当振动至
时，摆球具有负向最大速度，则单摆的振动图象是图中的（）
解析：
从t=0时经过
时间，这段时间为
，经过
摆球具有负向最大速度，说明摆球在平衡位置，在给出的四个图象中，经过
具有最大速度的有C、D两图，而具有负向最大速度的只有D。
所以选项D正确。
2．如图所示，三根细线OA,OB,OC结于O点，A,B端固定在同一水平面上且相距为L，使AOB成一直角三角形，∠BAO=300，已知OC绳长也为L，下端C点系一个可视为质点的小球，下面说法中正确的是（）
A．当小球在纸面内做小角度振动时,周期为：
B．当小球在垂直纸面方向做小角度振动时，周期为
C．当小球在纸面内做小角度振动时，周期为
D．当小球在垂直纸面内做小角度振动时，周期为
解析：
当小球在纸面内做简谐振动时，是以0点为圆心,OC长L为半径做变速圆周运动，OA和OB绳没有松弛，其摆长为L,所以周期是
；当小球在垂直于纸面的方向上做简谐振动时，摆球是以OC的延长线与AB交点为圆心做振动,其等效的摆长为L十Lsin600/2=L十
L/4,其周期为
故选A.
3．如图所示，将小球甲、乙、丙（都可视为质点）分别从A、B、C三点由静止同时释放，最后都到达竖直面内圆弧的最低点D，其中甲是从圆心A出发做自由落体运动，乙沿弦轨道从B点（与圆心等高）运动到D，丙是从圆弧上的C点沿圆弧下滑到C点且C点很靠近D点。
如果忽略一切摩擦阻力，那么下列判断正确的是（）
A．甲球最先到达D点，乙球最后到达D点
B．甲球最先到达D点，丙球最后到达D点
C．丙球最先到达D点，乙球最后到达D点
D．甲球最先到达D点，无法判断哪个球最后到达D点
解析：
甲球到达D点所需时间
乙球到达D点所需时间
丙球到达D点所需时间
，显然t甲答案：
A
4．一只单摆在第一行星表面上的周期为T1，在第二行星表面上的周期为T2，若这两个行星的质量之比M1∶M2=4∶1，半径之比R1∶R2=2∶1，则（）
A.T1∶T2=1∶1B.T1∶T2=4∶1C.T1∶T2=2∶1D.T1∶T2=2
∶1
解析：
由万有引力定律得g1=
①
g2=
②
由单摆的周期公式得T1=2π
③
T2=2π
④
由①②③④得T1∶T2=1∶1.
答案：
A
5．某行星质量是地球质量的一半，该行星半径又是地球半径的一半，则一个单摆在这个行星的振动频率是它在地球上振动频率的（）
A.2倍B.
倍C.4倍D.1/4倍
解析：
由mg=GMm/R2有
=
由T=2π
可知
=
=
而f=1/T,故正确选项为B.
6．关于小孩子荡秋千，有下列四种说法：
（）
A．质量大一些的孩子荡秋千，它摆动的频率会更大些
B．孩子在秋千达到最低点处有失重的感觉
C．拉绳被磨损了的秋千，绳子最容易在最低点断开
D．自己荡秋千想荡高一些，必须在两侧最高点提高重心，增加势能，上述说法中正确的是A
解析：
秋千近似为单摆，其周期、频率由摆长l和当地的重力加速度决定，与质量无关，故知A错；具有向下的加速度时处于失重状态，而在最低点具有向上的向心加速度，故B错；最低点绳子承受的拉力最大，故在最低点易断，故C对；在最高点提高重心，可使体内化学能转化为机械能（势能），可荡得高一些，可见D亦正确.
答案：
CD
7．A、B两个弹簧振子，A的固有频率为f，B的固有频率为4f，若它们均在频率为3f的驱动力作用下受迫振动，则（）
A.振子A的振幅较大，振动频率为fB.振子B的振幅较大，振动频率为3f
C.振子A的振幅较大，振动频率为3fD.振子B的振幅较大，振动频率为4f
解析：
物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，故A、B两振子的振动频率都为3f.由于B的固有频率接近于驱动力的频率，故B振子振幅较大.即选项B正确.
答案：
B
8．如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有a、b、c、d、e五个单摆，让a摆略偏离平衡位置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动；接着其余各摆也开始振动。
下列说法中正确的有：
（）
A．各摆的振动周期与a摆相同
B．各摆的振幅大小不同，c摆的振幅最大
C．各摆的振动周期不同，c摆的周期最长
D．各摆均做自由振动
解析：
a摆做的是自由振动，周期就等于a摆的固有周期，其余各摆均做受迫振动，所以振动周期均与a摆相同。
c摆与a摆的摆长相同，所以c摆所受驱动力的频率与其固有频率相等，这样c摆产生共振，故c摆的振幅最大。
此题正确答案为A、B。
9．把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛。
不开电动机让这个筛子自由振动时，完成20次全振动用15s；在某电压下，电动偏心轮的转速是88r/min。
已知增大电动偏心轮的电压可以使其转速提高，而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期。
为使共振筛的振幅增大，以下做法正确的是（）
A．降低输入电压B．提高输入电压
C．增加筛子质量D．减小筛子质量
解析：
筛子的固有频率为f固=4/3Hz，而当时的驱动力频率为f驱=88/60Hz，即f固为了达到振幅增大，应该减小这两个频率差，所以应该增大固有频率或减小驱动力频率。
本题应选AD。
10．将一个力电传感器接到计算机上，可以测量快速变化的力。
用这种方法测得的某单摆摆动过程中悬线上拉力大小随时间变化的曲线如右图所示。
由此图线提供的信息做出的判断正确的是：
（）
A．t＝0.2s时刻摆球正经过最低点；
B．t＝1.1s时摆球正处于最高点；
C．摆球摆动过程中机械能时而增大时而减小；
D．摆球摆动的周期约是T＝0.6s。
上述判断中
解析：
注意这是悬线上的拉力图象，而不是振动图象。
当摆球到达最高点时，悬线上的拉力最小；当摆球到达最低点时，悬线上的拉力最大。
因此AB正确。
从图象中看出摆球到达最低点时的拉力一次比一次小，说明速率一次比一次小，反映出振动过程摆球一定受到阻力作用，因此机械能应该一直减小。
在一个周期内，摆球应该经过两次最高点，两次最低点，因此周期应该约是T＝1.2s。
因此答案CD错误。
答案：
AB。
11．如图所示，光滑圆弧轨道的半径为R，圆弧底部中点为O，两个相同的小球分别在O正上方h处的A点和离O很近的轨道B点，现同时释放两球，使两球正好在O点相碰。
问h应为多高？
解析：
A球下落到O点的时间
因为小球在圆形轨道上自B点释放后可以做往复的周期性运动，运动周期
，到达O点的时间是t=
（n=0,1,2……），要B与A相碰应有
=
，
解得
（n=1,2,3,4……）
12．一单摆的摆长为L，摆球的质量为m，原来静止，在一个水平冲量I作用下开始摆动．此后，每当摆球经过平衡位置时，便给它一个与其速度方向一致的冲量I，求摆球经过多长时间后其摆线与竖直方向间的夹角可以达到α？
（α≤50，不计阻力，所施冲量时间极短）
解析：
设摆球经过平衡位置的次数为n，则摆球达最大偏角α时需用时间t=（n—l）
十
…………①
由动量定理和机械能守恒定律得：
nI＝mv………②½mv2=mgl（1－cosα）………③
单摆周期
………④联立①－④式得：
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