基于GM11模型与Logistic模型的中国人口分析资料.docx
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基于GM11模型与Logistic模型的中国人口分析资料
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
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我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
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西安理工大学
参赛队员（打印并签名）：
1.
2.
3._____________________________________________
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日期：
2011年7月24日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
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赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
基于GM（1,1）模型与Logistic模型的中国人口分析
摘要
人口预测在社会经济实践中占有十分重要的地位。
当前，我国正处于全面建设小康社会的重要时期，而且未来几十年是我国进行社会主义市场经济建设的关键时期,人口增长的稳定与否必将关系到我国经济建设的成败。
因此认识我国人口数量的变化规律，建立人口模型，做出较准确的预报是有效控制人口增长的前提，从而在理论上对人口的控制提供理论依据，这对于我们这样一个人口大国将有着非常重大的意义。
要解决这个问题，寻找适当的人口增长模型，并确立模型的相关参数是非常关键的。
本文根据《国家人口发展战略研究报告》和《中国人口统计年鉴》中的部分人口调查数据，分析过去几年我国人口发展变化的客观过程和某些规律性，运用单因素灰色系统模型分析和研究了各种人口变化趋势——人口老龄化、男女性别比、乡村人口城镇化，利用Logistic人口预测模型分析了全国人口增长情况的预测等
首先，以人口自然增长率为因子建立GM（1,1）的灰色系统预测模型，计算出2001年至2005年人口自然增长率的预测值，与它的实际值进行比较，发现其误差在允许的范围内,我们认为此模型达到预测要求,可以用于中国人口自然增长率的中短期和长期预测.同时应用该模型对出生人口性别比、乡村人口城镇化、老龄化进程等因素分别进行了预测和检验，将人口结构矛盾：
老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高以及人口在地区间、产业间分布的不合理性进行了深入的分析和研究.
其次，随着时间的推移，由灰色系统模型预测的总人口数有可能趋向无穷，与实际中人口数量应控制在15亿左右不符，故借鉴“人口预测”的思想，通过对人口增长Logistic模型进行对我国人口增长情况进行预测.这种模型在长期人口预测中有较好的应用.
最后，对两种模型进行了比较分析，结论如下：
人口预测模型
适应特点
GM（1,1）模型
适合影响因素单一，适合短时间内的预测
Logistic模型
适合影响因素较复杂，可做较长时间范围的预测
关键词：
GM（1,1）模型、Logistic模型、拟合预测
1问题的背景
中国是世界上人口最多的发展中国家。
人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。
全面建设小康社会时期是我国社会快速转型期，人口发展面临着前所未有的复杂局面，人口安全面临的风险依然存在，人口与经济社会资源环境之间的关系总体上仍然处于紧张状态，带来多方面的严峻挑战，如：
人口总量持续增长影响全面建设小康社会目标的实现；人口素质难以适应日趋激烈的综合国力竞争；人口结构性矛盾对社会稳定与和谐的影响日益显现等。
目前我国正面临着比20世纪更为复杂的人口发展形势，人口数量问题仍然是全面建设小康社会面临的重大问题，对于这个问题必须予以高度重视。
2问题的重述
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。
2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录1）做出了进一步的分析。
关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。
附录2是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。
从中国的实际情况和人口增长的上述特点，以构建社会主义和谐社会，统筹解决人口数量、素质、结构、分布等问题为出发点，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，包括人口数量、结构、分布情况等，并且针对预测的结果提出控制的方法；特别要指出所建模型中的优点与不足之处。
3基本假设
（1）假设题中所给数据基本真实有效；
（2）假设没有重大的自然灾害发生；
（3）在较近一段时期，政府政策基本不发生重大变化；
（4）在较近一段时期，医疗卫生条件保持不变；
（5）所研究的问题没有太大的人口迁入与迁出；
（6）男性比率之和和女性比例之和的总和在1附近。
可以近似认为1。
4模型的符号说明
符号
符号说明
时间
年龄
第
年龄段人口数量的比值（加权值）
第
年龄段人口的死亡率。
5模型分析建立及求解
5.1数据的合理性分析
5.1.1异常数据
2001—2004年抽样调查的市、镇和乡人口不同性别的总人数与2005年抽样调查的
数量级相差10，例如
2005年中国人口1%调查
数据
城市男
2357679
城市女
2350224
镇男
1464804
镇女
1444176
乡男
4762400
乡女
4606484
2004年中国人口1%调查
数据
城市男
160764
城市女
162812
镇男
96976
镇女
95447
乡男
379428
乡女
357638
2003年中国人口1%调查
数据
城市男
163660
城市女
164287
镇男
97164
镇女
94661
乡男
382576
乡女
358150
对其进行修正的方法为：
将2001－2004抽样调查调查的市、镇和乡人口不同性别
的总人数×10。
5.1.2数据修正
2003年市、镇、乡的妇女生育率数据与其它四年数据数量级相差10例如：
部分数据
21
22
23
24
25
26
27
2005
镇妇女生育率
113.45
129.43
139.5
141.13
118.48
98.9
81.29
2004
镇妇女生育率
95.33
124.47
132.18
145.38
155.05
134.74
101.74
2003
镇妇女生育率
9.53
12.82
14.97
16.01
14.81
12.65
10.16
2002
镇妇女生育率
69.37
110.85
131.03
163.8
146.82
115.15
106.35
对其数据修正方法为：
2003年城，镇，乡的妇女生育率×10。
5.1.3数据补充与完善
由于表格缺失2000年数据，我们运用matlab拟合对其进行修正。
2000年
21.3529
41.5642
44.9753
5.2中短期人口预测
5.2.1灰色预测模型的分析
原始数据记为
，为增强数据的规律性，对数据进行依次累加，得到的累加生成数列记为
，那么
和
满足：
-------------------
（1）
称为原始数列的1-AGO数列。
取
的加权均值，则
，
为确定参数，一般情况取
，记
，如果将生成数列
的时刻
看成连续的变量
，又将生成数列
看成关于时间
的函数，即
，那么只要生成数列
对
的变化率有影响，就可以建立下面的白化微分方程模型：
----------------------------------
（2）
其中
是发展灰度，
是内生控制灰度，由于
，取
为灰导数，
为背景值，则将方程
（2）相应的灰微分方程为：
即矩阵形式为
其中
，
用最小二乘法求得参数的估计值为
于是方程
（2）有特解
则
--------------------
--------------（3）
将时间参数代入（3）式，即可得出原始数列的模拟值及预测值。
5.2.2模型预处理
首先，我们做如下处理：
第一，鉴于人口的增长率只有0岁婴儿的出生能够表示，我们将0岁婴儿分为一类。
而育龄妇女的年龄分布为15—49岁，而老年人又有较高的死亡率，所以结合中国统计年鉴的分类标准，把65岁以上的人群定义为老年人。
综上原因，我们把年龄段分为如下4部分：
定义0岁为婴儿期，1-14岁为幼年期，15-49岁为生育期，65岁以上为老年期。
第二，通过EXCEL计算，各年市、镇、乡各年龄组的男性比率与女性比率的总和在1附近。
由于是统计数据，所以稍有偏差，以下我们可以近似认为男、女比率之和为1。
第三，本题要求对人口做中短期与长期预测。
进行中短期预测时，由于政府政策在短时期内基本不变，人口数量、素质、结构、分布之间的关系不很明显，所以可以忽略它们之间的相互影响，采取以下方法进行预测。
其次，对于中短期人口的预测，我们从人口分布、数量、结构三方面考虑。
第一，人口数量我们采用人口发展方程模型，把针对人口数量的时间与年龄两个变量综合成一个变量，从而将二维微分方程转化为一维微分方程，大大改进并简化了模型。
并且用人口增长率变化来反映人口数量的变化。
第二，人口分布的预测，我们进行人口城镇化比例的预测，采用灰色系统的方法。
第三，针对人口结构，我们又进一步从以下几个方面进行了预测：
一，老龄化比例预测，我们采用灰色系统理论进行了预测。
二，出生人口性别比预测，我们采用三次逐步拟合的方法进行预测。
三，育龄妇女所占比重的预测，我们同样采用灰色系统。
四，生育率预测，我们又采用三次逐步拟合。
5.2.3人口数量与人口分布预测
5.2.3.1三种类型人口净增长率的求解
根据人口净增长率=出生率-死亡率，且出生率=各年市、镇、乡的女性比率与育龄妇女生育率的乘积之和，死亡率=各年男性比率
男性死亡率+女性比率
女性死亡率，求出2001—2005年城市、镇、乡三种类型的人口净增长率。
表12001-2005年市、镇、乡三种类型人口净增长率（单位：
‰）
年份
类型
2001
2002
2003
2004
2005
城市
4.2
3.7
2.7
4.2
3.5
镇
5.9
5.3
5.3
5.7
4.7
乡
7.5
7.7
7.0
7.0
5.6
我们考虑采用灰色系统对三种类型的人口进行净总人口增长率的预测。
下面我们以城市人口净增长率为例，对运用灰色系统的预测进行较为详细的介绍：
灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统理论所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的。
具有能够利用“少数据” 建模寻求现实规律的良好特 性，克服了资料不足或系统周期短的矛盾。
灰色系统GM（1，1）模型是依据系统中已知的多种因素的综合资料，按微分方程拟合去逼近，进而外推，达到预测的目的。
这种拟合得到的模型是时间序列的一阶微分方程，因此，简记为GM（1，1）模型。
我们以城市为例，我们利用2001—2005年的实际值（4.2,3.7,2.7,4.2,3.5），通过MATLAB程序（见附件）运行得到如下结果：
表22002-2005年GM（1，1）灰色系统预测值与实际值比较
年份
预测值
实际值
残差q
相对误差ξ1（%）
2001
2002
4.2
3.4
4.2
3.7
0
-0.3
0
8.4
2003
3.5
2.7
0.8
28.8
2004
3.6
4.2
-0.6
15.0
2005
3.7
3.5
0.2
4.6
由上述表格利用相对误差计算得知相对平均误差为14.2%，平均误差低于15%，误差率不大，通过检验。
与此同时利用（3）式，得到2006年市人口净增长率为3.86%；2007年为3.96%。
同理可预测得到镇人口净增长率2006年为4.80%；2007年为4.68%。
乡人口净增长率2006年为4.95%，2007年为4.52%。
见表3
表3各类型人口净增长率预测值表
年份
类型
2006
2007
城市
3.86%
3.96%
镇
4.80%
4.68%
乡
4.95%
4.52%
由上表观察得知，从2006年到2007年，市人口净增长率从3.86%增到3.96%，增长了0.1个百分点；而镇人口净增长率下降了0.12个百分点；乡人口净增长率下降了0.43个百分点。
由此可见，我国人口在这两年内虽然会增加，但是人口净增长率将会逐渐减小并趋于稳定。
且可以看出城镇化趋势越来越严重。
鉴于这种情况，下面我们对人口分布的城镇化比例进行预测。
5.2.3.2求解城市、镇、乡三种类型所占人口总数的比重
根据题给附件的EXCEL表中2005年中国人口1%调查数据，通过计算得到市、镇、乡三种类型占人口总数的比重，见下表4。
表4三种类型所占比重
年份
类型
2001
2002
2003
2004
2005
城市
0.2420
0.2616
0.2602
0.2582
0.2772
镇
0.1297
0.1880
0.1522
0.1536
0.1712
乡
0.6283
0.6129
0.5876
0.5882
0.5516
运用灰色系统，通过MATLAB程序（附件）运行得到各类型人口所占总人口的比例预测值表如下。
表5三种类型所占比重预测值
年份
类型
2001
2002
2003
2004
2005
城市
0.2420
0.2575
0.2620
0.2665
0.2712
镇
0.1297
0.1741
0.1688
0.1635
0.1585
乡
0.6283
0.6127
0.5939
0.5756
0.5579
我们以城市为例，我们利用2001—2005年的实际值（0.24200.26160.26020.25820.2772），通过MATLAB程序（见附件）运行得到如下结果：
表62001-2005年GM（1，1）灰色系统预测值与实际值比较
年份
预测值
实际值
残差q
相对误差ξ1（%）
2001
2002
0.2420
0.2575
0.2420
0.2616
0
-0.0041
0
1.56
2003
0.2620
0.2602
0.0018
0.68
2004
0.2665
0.2582
-0.0083
3.23
2005
0.2712
0.2772
0.0060
2.18
由上述表格利用相对误差计算得知相对平均误差为1.53%，平均误差在1.5%左右，误差率不大，通过检验。
调用MATLAB程序，得到预测值的趋势图如下：
市、镇、乡人口比例趋势图
利用灰色模型（3）式预测得到2006年和2007年市、镇、乡人口所占比率，如下表
表7各类型人口所占总人口的比例预测值表
年份
类型
2006
2007
市
28.07%
28.55%
镇
14.88%
14.42%
乡
52.42%
50.81%
由上表可知，从2006年到2007年，市人口所占比例由28.07%增长到28.55%，增长了0.48个百分点；镇人口所占比例由14.88%下降到14.42%，降低了0.46个百分点；乡人口所占比例由52.42%降低到了50.81%，减少了1.61个百分点
分析城镇化比例预测值表及以上数据，可知该增长点主要是由于生产力的快速发展，各镇无法满足当地人民的生活需要，城镇人口大量涌入城市，进一步造成城镇化比例越来越大。
因而，从乡镇人口所占比例来看，呈现负增长趋势，因此可见，我们的模型能够反映政府政策的发展动态，以及人民的思想变化。
5.2.3.3计算总人口的净增长率趋势
根据总人口净增长率等于市、镇、乡各类型人口净增长率与对应所占比例增长率的乘积之和，计算出总人口的净增长率趋势。
即2006年总人口净增长率=市人口净增长率
城市人口比例+镇人口净增长率
镇人口比例+乡人口净增长率
乡人口比例。
2007年的总人口净增长率的计算方法类似。
从而计算得到2006总人口净增长率为4.39%，2007年的总人口净增长率为4.10%。
从以上数据及图表分析得知，中短期总人口净增长率逐渐趋于减小。
出现这一现象的原因之一是我国实施计划生育政策，使人口增长速度放缓；另外，我国社会主义经济持续增长，国民受教育程度越来越高，更多的人加入到晚婚晚育的行列，使更替水平趋于缓慢，进而使总人口净增长率趋于减小。
5.2.4人口结构预测
5.2.4.1老龄化发展程度的预测
根据附件2所给数据，通过MATLAB分别计算得到2001—2005年市、镇、乡三种类型老年人口（65岁以上人口）所占的比率，即求得三种类型的老龄化人口比重。
表8市、镇、乡及全国的老龄化人口比重%
年份
市
镇
乡
全国
2001
8.49
6.8
7.32
7.54
2002
9.95
7.25
7.58
7.93
2003
9.69
7.3
7.86
8.28
2004
9.14
8.02
8.47
8.54
2005
8.7
8.08
9.53
8.77
运用灰色系统，通过MATLAB程序（附件）运行得到市、镇、乡以及全国老年人口所占总人口的比例预测值表如下。
表9市、镇、乡及全国的老龄化人口比重预测值%
年份
市
镇
乡
全国
2001
8.49
6.8
7.32
7.54
2002
10.02
7.18
7.40
7.96
2003
9.57
7.49
8.00
8.23
2004
9.14
7.81
8.65
8.51
2005
8.74
8.14
9.36
8.80
我们以城市为例，我们以城市为例，我们利用2001—2005年的实际值（8.499.959.699.148.7），通过MATLAB程序（见附件）运行得到如下结果：
表102001-2005年GM（1，1）灰色系统预测值与实际值比较
年份
预测值
实际值
残差q
相对误差ξ1（%）
2001
2002
8.49
10.02
8.49
9.95
0
0.07
0
0.71
2003
9.57
9.96
-0.1174
1.21
2004
9.15
9.14
0.0051
0.06
2005
8.74
8.7
0.0366
0.42
由上述表格利用相对误差计算得知相对平均误差为0.48%，平均误差在0.5%左右，误差率不大，通过检验。
并对其进行拟合逼近
市、镇、乡、全国老龄人口比例趋势图
并预测到2006、2007市、镇、乡以及全国老龄人口所占比例分别为：
表11市、镇、乡及全国的老龄化人口比重预测值%
年份
类型
2006
2007
市
7.97
7.62
镇
8.86
9.24
乡
10.96
11.85
全国
9.40
9.72
计算得到2006年总老龄化人口比重为9.40，2007年总老龄化人口比重为9.72。
由以上计算及图表分析，城市老龄化程度有一定的波动性，这与乡镇大量年轻劳动力涌入城镇打工，导致留守老人增多，而城市大量老年人又返璞归真，接近自然的思想休戚相关。
所以城市人口比例达到一定值后有一定程度下降，乡镇老龄人口增加，但全国老年人口持续增加，这与我国计划生育导致人口老龄化加重有关，，还与我国医疗保健水平的提高导致死亡率降低，以及出生率降低致使老龄化程度相对较高有紧密的关系。
因此该灰色预测模型公式（3）科学可取。
5.2.4.2男女出生性别比的预测：
通过对附件数据1994-2005年的市、镇、乡的男女出生比例来预测分析，首先以城市男女出生比例为例：
采用多次逐步拟合进行预测，程序仍选用附录2，将数据改为市、镇、乡、男女比例，最终选择2次拟合。
求得关系式为：
拟合效果如下图：
图2城市男女出生性别比拟合图
预测06年、07年的男女出生比例分别为：
116.38118.27
同理可得：
镇的男女出生比例关系模型为：
，并且进一步计算得到2006年、2007年的男女出生比例的预测值分别为：
123.06，125.26；
乡的男女出生比例关系模型为：
。
并且进一步计算得到2006年、2007年的男女出生比例的预测值分别为：
121.42，121.37
结合上述计算的城镇化人口比例，运用公式：
总男女出生人口比率=城市男女出生人口的比率
城市人口比例+镇男女出生人口的比率
镇人口比例+乡男女出生人口的比率
乡人口比例。
计算得到2006年总男女出生人口的比率为123.009，2007年总男女出生人口的比率为129.252（女性以100计）。
表12男女出生比例预测模型预测值表
类型
男女出生性别比例关系模型
06年男女出生比例
07年男女出生比例
市
116.38
118.27
镇
123.06
125.26
乡
121.42
121.37
图3市、镇、乡男女出生比例图
由图及计算的数据得知，在短期内，人们重男轻女思想不会有转折性突变，因此性别比并未呈现下降趋势
5.2.4.3育龄妇女所占比重
运用附件中所给15—49岁女性比率，通过计算求和得到育龄妇女所占比重。
并且在更替水平保持稳定一致的前提下，认为15—49岁女性所占比率和即为育龄妇女所占的比率。
表13育龄妇女比率表（单位：
%）
市
镇
乡
2001年
30.67
39.68
26.52
200
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