高考理科数学新课标全国1卷逐题解析.docx
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高考理科数学新课标全国1卷逐题解析
2015年高考理科数学试卷全国卷1（解析版）
1．设复数z满足
1
1
z
z
=i，则|z|=（）
（A）1（B）2（C）3（D）2
【答案】A
【解析】由
1
1
z
z
iz
得，
1
1
i
i
=
（1i）（1i）
（1i）（1i）
=i，故|z|=1，故选A.
考点：
本题主要考查复数的运算和复数的模等.
2．
oooo
sin20cos10cos160sin10=（）
（A）
3
2
（B）
3
2
（C）
1
2
（D）
1
2
【答案】D
【解析】原式=
oooo
sin20cos10cos20sin10=
o
sin30=
1
2
，故选D.
考点：
本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.
3．设命题p：
2n
nN,n2，则p为（）
（A）
2n
nN,n2（B）
2n
nN,n2
（C）
2n
nN,n2（D）
2n
nN,n=2
【答案】C
【解析】p:
2n
nN,n2，故选C.
考点：
本题主要考查特称命题的否定
4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中
的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）
（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312
【答案】A
【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为
223
C30.60.40.6=0.648，故选A.
考点：
本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式
5．已知M（
x0,y0）是双曲线C：
2
x
2
21
y上的一点，F1,F2是C上的两个焦点，若
MF1MF20，则y0的取值范围是（）
（A）（-
3
3
，
3
3
）（B）（-
3
6
，
3
6
）
试卷第1页，总15页
（C）（22
3
，
22
3
）（D）（23
3
，
23
3
）
【答案】A
【解析】由题知
F1（3,0）,F2（3,0），
2
x
0
2
2
y01，所以MF1MF2=
（3x,y）（3x,y）=
0000
33
222
x0y033y010，解得y0，
33
故选A.
考点：
双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:
“今有委米依
垣内角，下周八尺，高五尺。
问:
积及为米几何?
”其意思为:
“在屋内墙角处堆放米（如
图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部
的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?
”已
知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）
（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛
【答案】B
【解析】设圆锥底面半径为r，则
1
4
23r8=
16
r，所以米堆的体积
3
为
1116
2
3（）5
433
=
320
9
，故堆放的米约为
320
9
÷1.62≈22，故选B.
考点：
圆锥的性质与圆锥的体积公式
7．设D为ABC所在平面内一点BC3CD，则（）
（A）
14
ADABAC（B）
33
14
ADABAC
33
（C）
41
ADABAC（D）
33
41
ADABAC
33
【答案】A
【解析】由题知
11
ADACCDACBCAC（ACAB）=
33
14
ABAC，故选A.
33
考点：
平面向量的线性运算
8．函数f（x）=cos（x）的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）
（A）
13
（k,k）,kZ（B）
44
13
（2k,2k）,kZ
44
（C）
13
（k,k）,kZ（D）
44
13
（2k,2k）,kZ
44
试卷第2页，总15页
【答案】D
【解析】由五点作图知，
1
+
42
53
+
42
，解得=，=
4
，所以f（x）cos（x），
4
令2kx2k,kZ，解得
4
1
2
k＜x＜
4
3
2k，kZ，故单调减区
4
间为（
1
2k，
4
3
2k），kZ，故选D.
4
考点：
三角函数图像与性质
9．执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）
（A）5（B）6（C）7（D）8
【答案】C
【解析】执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=
＞t=0.01,是，循环，
1
2
=0.5,S=S-m=0.5,
m
m=0.25,n=1,S=0.5
2
执行第2次，S=S-m=0.25,
m
m=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环，
2
执行第3次，S=S-m=0.125,
m
m=0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环，
2
执行第4次，S=S-m=0.0625,
m
m=0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，
2
执行第5次，S=S-m=0.03125,
m
m=0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，
2
执行第6次，S=S-m=0.015625,
m
m=0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，
2
执行第7次，S=S-m=0.0078125,
输出n=7，故选C.
m
m=0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，
2
考点：
本题注意考查程序框图
10．
25
（xxy）的展开式中，
52
xy的系数为（）
（A）10（B）20（C）30（D）60
【答案】C
【解析】在
25
（xxy）的5个因式中，2个取因式中
2
x剩余的3个因式中1个取x，
试卷第3页，总15页
其余因式取y,故
52212
xy的系数为CCC=30，故选C.
532
考点：
本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.
【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档
题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如
何得到该项，再利用排列组知识求解.
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视
图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20，则r=（）
（A）1（B）2（C）4（D）8
【答案】B
【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球
的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为
1
2
22
4rr2rr2r2r=
22
5r4r=16+20，解得r=2，故选B.
考点：
简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式
x
12．设函数f（x）=e（2x1）axa,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）0，
则a的取值范围是（）
（A）[-
3
2e
，1）（B）[-错误！
未找到引用源。
，
3
4
错误！
未找到引用源。
）（C）
[错误！
未找到引用源。
，错误！
未找到引用源。
）（D）[错误！
未找到引用源。
，1）
【答案】D
x
【解析】设g（x）=e（2x1），yaxa，由题知存在唯一的整数x0，使得g（x0）在
直线yaxa的下方.
x
因为g（x）e（2x1），所以当
1
x时，g（x）＜0，当
2
1
x时，g（x）＞0，所
2
以当
1
x时，[g（x）]max=
2
1
2
-2e，
当x0时，g（0）=-1，g
（1）3e0，直线yaxa恒过（1,0）斜率且a，故
ag（0）1，且
1
g
（1）3eaa，解得
3
2e
≤a＜1，故选D.
试卷第4页，总15页
考点：
本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题
13．若函数f（x）=
2
xln（xax）为偶函数，则a=
【答案】1
【解析】由题知
2
yln（xax）是奇函数，所以
22
ln（xax）ln（xax）
=
22
ln（axx）lna0，解得a=1.
考点：
函数的奇偶性
14．一个圆经过椭圆
22
xy
164
1
错误！
未找到引用源。
的三个顶点，且圆心在x轴的
正半轴上，则该圆的标准方程为.
【答案】
325
22
（x）y
24
【解析】设圆心为（a，0），则半径为4a，则
222
（4a）a2，解得
3
a，故
2
圆的方程为
325
22
（x）y
.
24
考点：
椭圆的几何性质；圆的标准方程
x
10
0
40
xy
xy
，错误！
未找到引用源。
则
y
x
15．若x,y满足约束条件
错误！
未找到引
用源。
的最大值为.
【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，
y
x
是可行域内一点与原
点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故
y
x
的最大值为3.
试卷第5页，总15页
考点：
线性规划解法
16．在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是.
【答案】（62，6+2）
【解析】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，
在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得
BCBE
sinEsinC
，即
2BE
oo
sin30sin75
，解得BE=6+2，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时
与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，
BFBC
sinFCBsinBFC
，即
BF2
oo
sin30sin75
，解得BF=62，所以AB的取值
范围为（62，6+2）.
考点：
正余弦定理；数形结合思想
17．（本小题满分12分）
S为数列{an}的前n项和.已知an＞0，
n
2
aa=错误！
未找
nn
到引用源。
.
（Ⅰ）求{
a}的通项公式；
n
（Ⅱ）设
b
n
1
aa
nn
1
错误！
未找到引用源。
求数列{bn}的前n项和.
【答案】（Ⅰ）2n1（Ⅱ）
【解析】
11
64n6
试题分析：
（Ⅰ）先用数列第n项与前n项和的关系求出数列{
a}的递推公式，可以判
n
断数列{
a}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{an}的通项公式；
n
试卷第6页，总15页
（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{
b}的通项公式，再用拆项消去法求其前n项和.
n
试题解析：
（Ⅰ）当n1时，2
a12a14S134a1+3，因为an0，所以a1=3，
当n2时，22
aaaa=4Sn34Sn13=4an，即
nnn1n1
（anan）（anan）2a，n（因为aann0），所以anan1=2，
11
所以数列{
a}是首项为3，公差为2的等差数列，
n
所以
a=2n1；
n
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=
1111
（）
（2n1）（2n3）22n12n3
，
所以数列{
b}前n项和为
n
bbb=
12n
1111111
[（）（）（）]
235572n12n3
=
11
64n6
.
考点：
数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法
18．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=12°0，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥
平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.
（Ⅰ）证明：
平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
3
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
3
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1
易证EG⊥AC，通过计算可证EG⊥FG，根据线面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面
面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以GB,GC的方向
为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法可求
出异面直线AE与CF所成角的余弦值.
试题解析：
（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，
由∠ABC=12°0，可得AG=GC=3.
试卷第7页，总15页
由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，
又∵AE⊥EC，∴EG=3，EG⊥AC，
在Rt△EBG中，可得BE=2，故DF=2
2
.
6
在Rt△FDG中，可得FG=.
2
在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=2，DF=2
2
可得EF=32
2
，
∴
222
EGFGEF，∴EG⊥FG，
∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，
∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.
（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单
位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－3，0），E（1,0,2），
F（－1,0，
2
2
），C（0，3，0），∴AE=（1，3，2），CF=（-1，-3，2
2
）.⋯10
分
故
cosAE,CF
AECF
|AE||CF|
3
3
.
所以直线AE与CF所成的角的余弦值为
3
3
.
考点：
空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力
19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：
千元）
对年销售量y（单位：
t）和年利润z（单位：
千元）的影响，对近8年的年宣传费
x和
i
年销售量
y（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计
i
量的值.
试卷第8页，总15页
xyw
8
2
（xix）
8
2
（wiw）
8
（xix）（yiy）
8
（wiw）（yiy）i1i1i1i1
46.656.36.8289.81.61469108.8
表中
wx，w=
ii
8
1
8
i1
w
i
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费
x的回归方程类型？
（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下
列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：
对于一组数据
（u,v）,（u2,v2），⋯⋯，（un,vn）,其回归线vu的斜率和截
11
距的最小二乘估计分别为：
【答案】（Ⅰ）ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型；（Ⅱ）
y100.668x（Ⅲ）46.24
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令
wx，先求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）
利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值，再根据年利率z与x、y的关系
为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，
列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费
试卷第9页，总15页
用.
试题解析：
（Ⅰ）由散点图可以判断，ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方
程类型.
（Ⅱ）令wx，先建立y关于w的线性回归方程，由于
8
（ww）（yy）
ii
8
2
（ww）
i
i1
46.7
16
=
i1
d=68
，
∴cydw=563-68×6.8=100.6.
∴y关于w的线性回归方程为y100.668w，
∴y关于x的回归方程为y100.668x.
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值
y100.66849=576.6，
z576.60.24966.32.
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值
z0.2（100.668x）xx13.6x20.12，
13.6
2
∴当x=
=6.8
，即x46.24时，z取得最大值.
故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.⋯⋯12分
考点：
非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识
20．（本小题满分
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