平行四边形及性质与一次函数docx.docx
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平行四边形和一次函数
一.基础填空
1•由_条线段首尾顺次连接纟R成的多边形叫四边形；四边形有—条边，—个角，四边形的内角和等于度；
2.如图AB与BC叫边，ABAiCD叫边；
ZA与ZB叫_角，ZD与ZB叫—角；
3.多边形屮不相邻顶点的连线叫对角线，如图四边形ABCD«|'对角线有条，它们是
4•冇两组对边的四边形叫平形四边形，平行四边形用“”表示，平
行四边形ABCD记作o
5.如图EJABCD中，对边有组，分别是,对角有组，分别
是，对角线冇条，它们是o
你能归纳Dabcd的边、角各有什么关系吗？
并证明你的结论。
6.平行四边形的周长为50cm,两邻边之比为2：
3,则两邻边分别为：
1.口ABCD屮，ZA：
ZB:
ZC：
ZDIWJ以是（）
A.1：
2：
3：
4B.3：
4：
4：
3
C.3：
3：
4：
4D.3：
4：
3：
4
7.口ABCD的周长为40cm,AABC的周长为27cm,AC的长为（）
A.13cmB.3cmC.7cmD.11.5cm
8.在6BCD中，若ZA-ZB=40°,贝ijZA=,ZB=
9.
10.
11.
则ZBCE=
若平行山边形周长为54cm,两邻边Z差为5cm,则这两边的长度分別为一若UABCD的对•角线AC平分ZDAB,则対角线AC与BD的位置关系是如图，UABCD、\
12.如图，在口4BCD屮，DB=DC、ZA=65°,CE丄BD于E,则ZBCE=
D.
A
B
8.若在口4BCD中，ZA=30°,AB=7cm,AD=6cm,则SCAbcd=
7.如图，AD〃BC,AE〃CD,BD平分ZABC,求证AB二CE.
二、选择题
1.如图，将口4BCD沿4E翻折，使点B恰好落在ADk的点F处，则下列结论不一•定成
••••立的是（）.
■
（A）AF=£F
（B）4B=EF
（C）AE=AF
（D）AF=BE
2.如图，下列推理不止确的是（）.
（A）・・・AB〃CD：
.ZABC+ZC=180°
（B）VZ1=Z2:
.AD//BC
（C）・.・AD〃BC・・・Z3=Z4
（D）VZA+Z/^DC=180°:
.AB//CD
3.平行四边形两邻边分别为24和16,若两长边间的距离为8,则两短边间的距离为（）.
（A）5（B）6
（C）8（D）12
三.证明题
1.已知：
如图，LJABCD屮，E、F是宜线AC上两点，且AE=CF.求证：
⑴BE=DF；
（2）BE//DF.
2•如图，在口4BCD屮，AELBCTE,4F丄CD于F,若ZEAF=60°,BE=2cm,DF=3cm,求UABCD的周长和面积・
3•口4BCD屮，E在边AD±,以BE为折痕，将向上翻折，点4正好落在CD上的点F,若△FDE的周长为8,AFCB的周长为22,求CF的长.
4•如图,AD〃BC,AE〃CD,BD平分ZABC,求证AB二CE.
B
E
1.在口4BCD中，AC.BD交于点0,已知肋，BC=6cm,/XAOB的周长是18伽，那么△AOD的周长是.
2.LJABCD的对角线交于点O,S^o/尸2“/,贝ijSnAf}Cn=•
3.LJABCD的周长为60C777,对角线交于点O,△BOC的周长比80〃的周长小8期，贝U
AB=cm,BC=cm.
4.LJABCD中，对角线AC和BD交于点O,若AC=8,AB=6,BD=m,那么加的取值范围
是.
5.DABCD中，E、F在AC上，四边形DEBF是平行四边形.求证：
AE=CF.
6.如图，[□村有一口四边形的池塘，在它的四用A、B、C、D处均有一棵人桃树.[□村准备开挖养鱼，想使池塘的面积扩人一倍，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问III村能否实现这一设想？
若能，画出图形，说明理由.
7.已知：
如下图，平行四边形ABCD的对角AC,BD交与点O.E,F分别是0A、0C的中点。
求证：
AOBE^AODF.n
平行四边形三
基础巩固
1.平行四边形一条对角线分一个内角为25。
和35°,则4个内角分别为・
2.UABCD中，对角线AC和BD交于0,若AC=8,BD=6,则边AB长的取值范围是
3.平行四边形周长是40cm,则每条对介线长不能超过cm.
4.如图，在UABCD中，AE.AF分別垂直于3C、CD,垂足为E、F,若ZEAF=30°,
AB=6,AD=10,则CD=；AB与CD的距离为；AD与BC的距离为；
ZD=.
5.UABCD的周长为60cm,其对角线交于O点，若AAOB的周长比△30C的周长多10cm,
贝\\AB=,BC=.
6.在UABCD中，AC与BD交于O,若OA=3x,AC=4x+12,则OC的氏为・
7.在DABCD中，CA丄AB,ZBAD=120°,若BC=10cm,则AC=,AB=.
8.在UABCD中，4E丄BC于E,若AB=10cm,BC=15cm,BE=6cm,则口4BCD的面积
为.
二、选择题
9.有下列说法:
1平行四边形具有四边形的所有性质；
2平行四边形是中心对称图形；
3平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
4
其中正确说法的序号是（）.
（A）①②④（B）①③④（C）①②③
10.平行四边形一边长12cm,那么它的两条对角线的长度可能是（（A）8cm和16cm（B）10cm和16cm（C）8cm和14cm
11・以不共线的三点4、3、C为顶点的平行四边形共有（）个・（A）l（B）2（C）3
平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形.
（D）①②③④
）•
（D）8cm和12cm（D）无数
12.在UABCD中，点久、金、人3、加和G、C2、C3、C4分别是AB和CQ的五等分点，点5、园、和6分别是BC和％的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1,则□ABCD的面积为（）
AA\AyB
（A）2
（D）15
5
（C）亍
能力提咼
1.根据如图所示的⑴，
（2）,（3）三个图所表示的规律，依次下去第〃个图中平行四边形的个数是（）
（1）
（2）（3）
（A）3w（B）3/?
（t?
+1）（C）6/7（D）6n（n+1
2.在平行四边形中,周长等于48,
1己知一边长12,求各边的长
2己知AB=2BC,求各边的长
3己知对角线AC、BD交于点O,AAOD与厶AOB的周长的差是10,求各边的长
3.如图,OABCD中，AE丄BD,ZEAD=60°,AE=2cm,AC+BD=14cm,贝UOBC的周长
是cm.
（4）6BCD的周长为36cm,AB=8cm,BC=；当ZB=60
时，AB、EC的距离心，二7ABCD的面积^,ABCD=
5.口ABCD—内角的平分线为边和交并把这条边分成5cm,7cm的两条线段，则口
ABCD的周长是cm2.在ABCD中，AC=6、BD=4,则AB的范围是.
6.在平行四边形中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3）,（x-4）和16,则这个四边形的周长是.
二.判断对错
（1）在OABCD中，AC交BD于O,则AO=OB=OOOD.（）
（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等.（）
（3）平行四边形的两组对边分別平行且相等.（）
（4）平行四边形是轴对称图形.（）
三.证明题
1.公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB=15cm,AD=12cm,AC±BC,求小路BC,CD,OC的长,并算出绿地的面积.
BC=llcm,內角线AC,BD相吝于点0,求厶
2.如图，在ABCD屮，AB=6cm,BOC与AAOB的周长的差.
平行四边形的判定1
1.已知：
如图，△ABC,BD平分ZABC,DE//BC,EF//BC,求证：
BE=CF
2.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点0,
（1）若AD=8cm,AB=4cm,那么当BO—_cm,CD=_形；
（2）若AC=10cm,BD=8cm,那么当A0二__cm,D0=形.
_cm时，四边形ABCD为平行四边
_cm时，四边形ABCD为平行四边
3.已知：
如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF〃BE,EF交BD于点0.求证：
E0二0F.
4.如图：
由火柴棒拼出的一列图形，第n个图形由（n+1）个等边三角形拼成，通过观察,
分析发现：
1第4个图形中平行四边形的个数为—
2第8个图形中平行四边形的个数为—_.
n=ln=2n=3n=4
5•已知：
四边形ABCD中，AD〃BC,要使四边形ABCD为平行四边形,需要增加条件.（只需填上一个你认为正确的即nJ*）.
6•如图所示,口ABCD中,BE丄CD,BF丄AD,垂足分别为
E、F,ZEBF=60°AF=3cm,CE=4.5cm,则ZC=,
AB=cm,BC=cm.
7.如图所示，在口ABCD屮，E,F分别是对角线BD±的两点，iLBE=DF,要证明四边形AECF是平行四边形，最简单的方法是根据来证明.
笫7题图
&将两个全等的不等边三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四込匸•.
三、解答题
9.已知：
如图所示，在OABCD屮，E、F分别为AB、CD的屮点，求证四边形AECF是平
第9题图
行四边形.
10•如图所示，BD是口ABCD的对角线，AE丄3D于CF丄BD于F,求证：
四边形AECF
第10题图
为平行四边形.
11.已知：
如图,平行四边形ABCD的对角线AC.BD相交于点0,M、N分别是0A、0C的中点,
求证:
BM//DN,且BM二DN.
N
AD
平行四边形的判定2
1.已知：
如图，口ABCD中，E、F分别是AC上两点，J1.BE丄AC于E,DF丄AC于F.求证：
四边形BEDF是平行四边形.
2.如图，在UABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，己矢WAE=CF,M、N是DE和FB的中点，求证：
四边形E/VFM是平行四边形.
3•如图，在四边形ABCD屮，AB=6,BC=8,ZA=120°,ZB=60°,ZBCD=150°,求AD的
选择题
1・能判定一个四边形是平行四边形的条件是（）.
（A）—组对边平行，另一组对边相等（B）—组对边平行，一组对角互补
（C）一组对角相等，一•组邻角互补（D）—组对角相等，另一组对角互补
2.能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）.
（A）AD=BC,AB//CD（B）ZA=ZB,ZC=ZD
（C）AB=3C,AD=DC（D）AB〃CDCD=AB
3.能判定四边形A3CD是平行四边形的条件是：
ZA：
ZB：
ZC：
ZD的值为（）.
（A）l：
2：
3：
4（B）l：
4：
2：
3
（C）l：
2：
2：
1（D）l：
2：
1：
2
4.如图，E、F分别是G4BCD的边AB、CD的中点，则图屮平行四边形的个数共有（）.
（A）2个
（D）5个
（C）4个
5.6BCD的对角线的交点在坐标原点，只4D平行于无轴，若A点坐标为（一1,2）,则C点的坐标为（）.
（A）（l,-2）（B）（2,-1）（C）（l,-3）（D）（2,—3）
6.如图，LJABCD^,对角线AC、BD交于点O,将△AOD平移至△SEC的位迸，则图屮与04相等的其他线段有（）.
（A）l条
（D）4条
（C）3条解答题
1.
已知：
如图，在口4BCD屮，点£、F在对角线AC上，且AE=CF.请你以F为一个端点，和图屮已标明字母的某一•点连成一条新线段，猜想并证明它和图小己有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）.
⑴连结;
⑵猜想：
⑶证明：
2.如图，在中，EF为厶仏©的中位线，D为BC边上一点（不与B、C重合），ADEF交于点O,连结EF、DF,要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件・（只
添加一个条件）证明:
C
3.如图，在口4BCD屮，E、F分别是边AD、BC上的点，已知AE=CF,AF与BE札I交于点G,CE与DF相交于点求证：
四边形EGFH是平行四边形.
4.如图，在UABCD中，E、F分别在边84、DC的延长线上，已知AE=CF,P、Q分别是DE和FB的中点，求证：
四边形EQFP是平行四边形.
5.如图，在口4BCD屮，E、F分别在D4、BC的延长线上，已知AE=CF,朋与BE的延长线相交于点R，EC与DF的延长线相交于点S,求证：
四边形RESF是平行四边形.
6.已知：
如图，四边形ABCD中，AB=DC,AD=BC,
点E在BC上，点F在AD±fAF
=CE,
7.已知：
如图，AABC中，D是4C的屮点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连结AE、CF,求证：
CF//AE.
A
平行四边形的判定（三）
1.—•个三角形的中位线共有儿条？
②三角形的中位线与中线有什么区别？
三角形的中位线与第三边冇怎样的关系？
2.已知：
如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、D4的中点.
求证：
四边形EFGH是平行四边形.
3.已知：
ZSABC的屮线BD、CE交于点O,F、G分别是OB、OC的屮点.
求证：
四边形DEFG是平行四边形.
4.如图，'ABC的周长为64,E、F、G分别为AB、AC.BC的中点，A＜、B，、C
分別为EF、EG、GF的中点，B'C的周长为.如果ZVIBC、IXEFG、
△A'MC分别为笫1个、笫2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么笫n个三角形的周长是.
5.△ABC中,D、E分别为AB、AC的中点,若DE=4,AD=3,AE=2,则/XABC的周长
为.
二、解答题
1.（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C,连结AC和BC,并分别找出AC和BC的中点M、N,如果测得MN=20m,那么A、B两点的距离是m,理由是.
2.
已知：
三角形的各边分别为8cm、10cm和12cm,求连结各边屮点所成三角形的周长.
3.如图，AABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
（1）若EF=5cm,则AB=cm；若BC=9cm,则DE=cm；
（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？
证明你的猜想.
1.（填空）一个三角形的周长是135cm,过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是cm.
2.（填空）己知：
AABC小，点D、E、F分别是Z\ABC三边的中点，如果ADEF的周长是12cm,那么ZXABC的周长是cm.
3.已知:
如图，E、平行四边形.
F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的小点.求证：
四边形EFGH是
19.2.1矩形
（1）
证明：
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半•”已知：
图形：
iuii在下面
求证：
证明：
四、例题学习
例：
已知：
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O,H.AO2AB。
求证：
AAOB是等边三角形。
（注意表达格式完整性与逻辑性）
D
D-
C
拓展与延伸：
木题若将iiAC=2AB^改为“ZBOCM20",你能获得有关这个矩形的哪些结论?
综合应用拓展
在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于O,ZACD=30°,AB=4.
（1）判断AAOD的形状；
（2）求对角线AC、BD的长.
三、限时检测（10分钟）1.（填空）
（1）矩形的定义屮有两个条件：
一是，二是.
（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、•
（3）已知矩形的一条对角线长为10cm,两条对角线的一个交角为120°,则矩形的边长分别为cm,cm,cm,cm.
A
D
2.（选择）
（1）下列说法错误的是（）・
（A）短形的对角线互和平分（B）矩形的对角线相等
（C）有一个介是肓角的四边形是矩形（D）有一个角是直和的平行四边形叫做矩形
（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形屮全等三角形一共有（）.
（A）2对（B）4对（C）6对（D）8对
3.已知：
如图，0是短形ABCD对介J线的交点，AE平分ZBAD,ZAOD=120°,求ZAEO的度数.
课后作业
七、课后练习
1.（选择）矩形的两条对角线的夹角为60。
对角线长为15cm,较短边的长为（）・
（A）12cm
2.
3.
4.
C
B
（B）10cm
在直角三角形ABC中，ZC=90°已知：
矩形ABCD中，BC=2AB,如图，矩形ABCD屮，AB=2BC,
（C）7.5cm（D）5cm
AB=2AC,求ZA、ZB的度数.E是BC的中点，求证：
EA丄ED.且AB=AE,求证：
ZCBE的度数.
己知：
如图，E为矩形ABCD内一点，且EB=ECO求证：
EA=ED.
：
1.如图，矩形纸片ABCDMAB=6cm^BC=^cm,将纸片沿EF折叠，使点B与点D重合,求折痕EF的长。
2.已知矩形ABCD中,对角线交于点是AD上一动点,PE丄AC于E,PF丄3D于F,则PE+PF的值是多少？
这个值会随点P的移动（不与4、D重合）而改变吗？
请说明理由.
3.已知:
如图，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,ZB001200,AB=4cm.求矩形对角线的长。
4.如图，在矩形A3CD中，BE平分Z4BC,交CD于点E,点F在边BC上,
19.2.1矩形
（二）
学习目标：
1.理解并掌握矩形的判定方法.
2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力
学习重点：
矩形的判定.
学习难点：
矩形的判定及性质的综合应川.
学习过程：
一、自主预习（10分钟）
1•矩形是轴对称图形，它有条对称轴.
2.在矩形ABCD中，对角线AC,BD和交于点O,若対角线AC=\0cm.边BC=8cm,则
AABO的周长为.
3.想一想：
矩形有哪些性质？
在这些性质中那些是平行四边形所没有的？
列表进行比较.
平行四边形
矩形
边
角
对角线
二、学习新知：
自学教材95-96页
1、矩形是特殊的平行四边形，怎样判定一个平行四边形是矩形呢?
请说出最基本的方法：
矩形具有平行四边形不具有的性质是：
思考：
小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生口礼物，于是找來两根长度相等的矩木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？
看看谁的方法可行?
（得到矩形的一个判定）
2.做一做：
按照画“边一直角、边一直角、边一直角、边”这样四步旳出一个四边形.判断它是一个矩形吗?
说明理由.（探索得到矩形的另一个判定）
总结：
矩形的判定方法.矩形判定方法1：
矩形判定方法2：
（指出：
判定一个四边形是矩形，知道三个角是肓角，条件就够了.因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角.）
二、合作解疑（25分钟）
下列各句判定矩形的说法是否正确？
为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形;O
（2）有四个角是直角的四边形是矩形;（）
（3）四个角都相等的四边形是矩形；（）（4）对角线相等的四边形是矩形；（）
（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）
（7）对角线相等，JL冇一个角是直角的四边形是矩形；（）
（8）—组邻边垂直，-组对边平行且相等的四边形是矩形；（）
（9）两组対边分别平行，且対角线相等的四边形是矩形.（）
三、例题学习。
例1.：
H^DABCD的对角线AC、BD札I交于点O,/XAOB是等边三角形，AB=4cm求这个平行四边形的而积.
例2已知：
如图，DABCD的四个内角的平分线分別相交于点E、F、G、H.求证：
四边形EFGH是矩形.
练习二：
（选择）下列说法正确的是（）.
（A）冇一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）冇一组邻角是直介的四边形一定是矩形
（C）对角线互和平分的四边形是矩形（D）对角互补的平行四边形是短形
2.满足下列条件（）的四边形是矩形。
A.有三个角相等B有一个角是直角C.对角线相等且互相垂直D对角线相等且互相平分综合应用拓展
如图，M、N分別是平行四边形ABCD对边AD.BC的中点，且AD=2ABf
求证，四边形PMQN是矩形。
三、限时检测（10分钟）1、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩
形，下而是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）・
A・测量对角线是否相互平分3・测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否都为直角Q.测量英中三角形是否都为直角
2、能判断四边形是矩形的条件是（）
4、两条对角线互相平分B、两条对角线相等
C、两条对角线互相平分且相等D、两条对角线互相垂直。
3、如S,EB=EC,EA=EDAD=BC,ZAEB=ZDEC,证明:
四边形ABCD是炬形.
4、已知四边形ABCD中AC丄BDE、F、G、H分别是A3、BC、CD、D4的中点，求证:
四边形EFGH是矩形。
E
课后作业1・（选择）下列说法正确的是（）・
B
（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
（C）对角线互相平分的四边形是矩形（D）对角互补的平行四边形是矩形
2.已知：
如图,在厶ABC中,ZC=90°,CD为中线，延长CD到点E,使得DE=CD.连结AE,BE,则四边形ACBE为矩形.
1.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
⑴先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB=CD,EF=GH；
⑵摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是形，根据的数学道理是：
；
⑶将氏角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当肓角尺的两条直角边与窗框
无缝隙吋（如图④），说明窗框合格，这吋窗框是形，根据的数学道理是:
；
①②③④
2.在RtAABC中，ZC=90°,AB=2AC,求ZA、ZB的度数
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