坐标正算反算公式讲解.docx

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坐标正算反算公式讲解

一方位角：

在高斯直角坐标系中，由坐标纵轴方向的北端起，顺时针量到直线间的夹角，称为该直线的坐标方位角，常简称方位角，用a表示。

1、第一象限的方位角

图1

2、第二象限的方位角

图2

3、第三象限的方位角

图3

4、第四象限的方位角

图4

方位角计算公式：

方位角的计算器计算程序：

Pol（XA-XO,YA-YO）

直线OA方位角度值赋予给计算器的字母J，0≤J＜360。

直线段OA的距离值赋予给计算器的字母I,I＞0

直线OA与直线AO的方位角关系：

1、当直线OA的方位角≤180°时，其反方位角等于a+180°。

2、当直线OA的方位角＞180°时，其反方位角等于a-180°。

二方位角的推算

（一）几个基本公式

1、坐标方位角的推算

或：

注意：

若计算出的方位角>360°，则减去360°；若为负值，则加上360°。

例题:

方位角的推算

已知：

α12=30°，各观测角β如图，求各边坐标方位角α23、α34、α45、α51。

图5

解：

α23=α12-β2+180°=30°-130°+180°=80°

α34=α23-β3+180°=80°-65°+180°=195°

α45=α34-β4+180°=195°-128°+180°=247°

α51=α45-β5+180°=247°-122°+180°=305°

α12=α51-β1+180°=305°-95°+180°=30°（检查）

三坐标正算

一、直线段的坐标计算

图6

设起点O的坐标（XO,YO）,直线OP的方位角为Fop，求A、C、E点的坐标

1、设直线段OA长度为L,则A点坐标为

XA=XO+L×Cos（Fop）

YA=YO+L×Sin（Fop）

2、设直线段OB长度为LOB,直线段BC长度为LBC,则C点坐标为

XB=XO+LOB×Cos（Fop）

YB=YO+LOB×Sin（Fop）

直线BC的方位角FBC=Fop+a

IFFBC＞360°:

ThenFBC-360°→FBC:

IfEnd

XC=XB+LBC×Cos（FBC）

YC=YB+LBC×Sin（FBC）

3、设直线段OD长度为LOD,直线段DE长度为LDE,则E点坐标为

XD=XO+LOD×Cos（Fop）

YD=YO+LOD×Sin（Fop）

直线DE的方位角FDE=Fop-a

IFFDE＜0°:

ThenFDE+360°→FDE:

IfEnd

XE=XD+LDE×Cos（FDE）

YE=YD+LDE×Sin（FDE）

二、缓和曲线段的坐标计算

设完整缓和曲线起点O的坐标为O（XO,YO）,方位角为F，曲线长度为LS,曲线上任一点的曲线长度为L,

当线路右转时直线CP的方位角Fcp=F+90°

IFFcp＞360°:

ThenFcp-360°→Fcp:

IfEnd

当线路左转时直线CP的方位角Fcp=F-90°

IFFcp＜0°:

ThenFcp+360°→Fcp:

IfEnd

XP=XO+Abs（xO）×Cos（F）+Abs（yO）×COS（FCP）

YP=YO+Abs（xO）×Sin（F）+Abs（yO）×Sin（FCP）

三、圆曲线段的坐标计算

圆曲线的已知点数据为起点S的桩号Ks、走向方位角αs、起点S坐标为（Xo,Yo）、圆曲线半径为R与曲线长为L。

设半径为R的圆曲线中线上任意点j的桩号为Kj,求Zj点的坐标？

图8

解：

弦长sj的弦切角与弦长为

弦切角θsj=（Lj/（2R））×（180°/π）=（90°×Lj）/（πr）

弦长Csj=2Rsin（θsj）

则弦长sj的方位角为αsj=αs±θsj

圆曲线上任意j点的方位角为αj=αs±2θsj

求得圆曲线上任意点j的计算公式为

Xj=XO+Csj×Cos（αsj）

Yj=YO+Csj×Sin（αsj）

四坐标反算

1、直线段坐标反算

图9

反算原理

如图9所示，直线se的点斜式为

y-yp=tanαs（x-xp）（公式1）

将起点S的坐标代入解得

yp=ys-tanαs（xs-xp）（公式2）

因直线jp垂直于直线sp，故p点中桩坐标因满足垂线jp的下列点斜式方程yp-yj=-（xp-xj）/tanαs（公式3）

将公式2代入公式3得

ys-tanαs（xs-xp）-yj=-（xp-xj）/tanαs

tanαs（ys-yj）-tan2αsxs+tan2αsxp=-xp+xj

简化后得

2、圆曲线段坐标反算原理

图10

反算原理

如图10所示，设j点为圆曲线附近任意边桩点，坐标为j（X,Y），已知点S点坐标为（X0，Y0），则圆心点C的坐标为

Xc=X0+R×COS（αs±90°）

Yc=Y0+R×sin（αs±90°）

再根据圆心点C与j点的坐标算出直线cj的方位角αcj与距离dcj,则j点的边距为dj=R-dcj,由圆心点坐标反算垂足点p的中桩坐标为

XP=XC+R×COS（αcj）

YP=YC+R×sin（αcj）

再根据S点的坐标和P点的坐标求出弦长SP的距离

Csp=√（（X0-XP）2+（Y0-YP）2）

再根据弦长SP的距离和反三函数的关系，求出弦切角θsp值（单位为度）。

求出弦切角后就可以求出弧长sp的值及P点的走向方位角αp的值：

αp=αs±2θsp

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