高中物理竞赛培训《运动学》.ppt
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高中物理竞赛培训运动学部分,一、数形结合处理竖直上抛,对于某些较难求解的问题，按数形结合的思想分析处理，物理过程将大大简化，计算快速便捷。
竖直上抛的统一物理公式是,位移实际上是时间的二次函数，其图像是抛物线。
例题一个以30m/s的初速度将小球上抛，每隔1秒抛出一球，假设空气阻力，可以忽略不计，而且升降的球并不相碰，问
（1）最多能有几个球在空中？
（2）设在t=0时将第1个球抛出，在哪些时刻它和以后抛出的小球在空中相遇而过？
分析：
子弹同地出发，设第一颗子弹射出t后经后和另一颗子弹相遇，则另一颗子弹在空中的时间为t-n（n=1,2）,方法一：
位移相等法,子弹同地出发，空中相遇时位移相等，由竖直上抛规律可得,考虑到,则n=1,2,3,4,5时所对应t的为3.5s,4s,4.5s,5,5.5s分别为第2，3，4，5，6颗子弹和第1颗子弹相遇的时刻,方法二：
速率对称法,竖直上抛物体上升和下降经过空中同一位置时，速度总是大小相等，方向相反,方法三：
利用图象法,作出子弹的运动的s-t图,拓展：
杂技演员表演抛四球游戏时，每隔相等的时间就抛出一球，若空中总有三球，手中总有一球，假设各球上升的最大高度都是1.25m，求每个球在手中停留的时间及当此人接住第一球时，其它三球的高度,分析：
每个球上升的最大高度都是1.25m，故各球在空中运动的时间都是1s,要使空中总有三球，手中总有一球，故当抛第四球时，要求第一球恰好回到手中，位移抛物线如图所示，,各球在手中停留的时间都是1/3s,学生练习：
一杂技演员，用一只手表演抛球、接球。
每隔0.4s抛出一球，接到球后便立即把球抛出。
已知除正在抛、接球的时刻外，空中共有四球，球上升的最大高度。
分析：
手中无球时，空中球的个数即为表演用的球的个数，因此本次表演共有4个球，由于不计球在手中停留的时间，因此可画出当第一个球恰好回到手中时，各球在空中的分布情况。
如图，第3个球位于最高点，2、4两球等高，由于上半段平均速度小，下半段平均速度大，故2、4两球位于半高度的上方。
每个球空中的循球周期,上升的时间为,上升的高度为,每隔t时间抛出一球，共有n个球,试求每个球到达的最大高度h,每个球从手中抛出后都是经过T=nt的时间落回手中，经时间t=T/2=nt/2上升到最高点，故最大高度,几何上的相似性不一定带来等价的物理原理上的相似性,例题：
摄制电影时，为了拍摄下落物体的特写镜头，做了一个线度为1/49实物的的模型。
放电影时，走片速度为每秒24张，为了使动画逼真，拍摄时走片速度应为多大？
模型的运动速度应为实物运动速度的多少倍？
设实物在时间t内下落的高度为h,而模型用时间t0下落了对应的高度h0,则由自由落体公式应有,利用的辅助条件,可见放电影时应将模型运动时间“放大”7倍，才能使人们看电影时欣赏到逼真的画面。
为此，在拍摄电影时，拍摄的走片速度应为放映时走片速度的7倍。
又设实物在某段时间t内以速度通过位移s，而模型与之对应的量则分别是时间t0、速度0、位移s0，由于有,最速路径：
例题1,二、最速路径问题,何谓最速路径问题？
著名的“伽利略最速路径问题”：
伽利略的答案：
圆弧曲线,（错误）,伯努利兄弟的答案：
滚轮曲线的一部分,（正确）,1,最速路径问题寻找一条运动时间最短的路径从两条路经中找出运动时间较短的一条,问题1、如图所示，地面上有一固定的球面，球面的斜上方P处有一小球。
现要确定一条从P到球面的光滑倾斜直轨道，使小球从静止开始沿轨道滑行到球面所历的时间最短。
分析：
先凭直觉猜一猜结果？
最速路径：
例题1,先讨论,预备问题、如图，地面附近有一空心球，过顶点P有很多光滑直轨道抵达球内表面。
试证明小球沿任意轨道从静止出发到达球内表面所花的时间相同。
P,证明：
任取一条轨道PQ，,PQ和水平面夹角为.,PQ的长为,下滑的加速度,所以,故对应任意轨道的时间均相同。
解原题：
P,以P为顶点作一球面，使其与所给球面相切于Q，则线段PQ即为所求的轨道。
（1）作图确定线段PQ：
O,R,R,O,关键是确定球心O,过P点作竖直线AB,且使AP等于R，连接A、O，作AO的中垂线与直线AP相交，交点O即为所求的球心。
连接O与O所得交点即为Q.,
（2）证明线段PQ为所求：
略。
最速路径：
例题1,题后总结最后的作图方法较困难本题还可以用分析法解答,接下来如何思考呢？
相关变换：
竖直平面内建立直角坐标系xoy，x轴水平，过抛物线x2=2py的焦点弦是一刚性的光滑轨道，一小物块从轨道上端A无初速释放，问滑到轨道底端B所用时间最小为多少？
此时AB与水平面的夹角满足什么条件？
焦点F（0、p/2）,AB的直线方程,渡河中的流速线性变化问题,例题：
河流宽度为L，流速与离岸的距离成正比，岸边流速为零，河中心流速为v0，一小船以恒定的相对速度vr垂直于流速方向，从一岸驶向另一岸，试求小船的运动轨迹。
K如何定？
抛物线？
消去t,得到什么？
另一岸时，y=L,质点动态多边形的会聚问题,例题、A、B、C三个芭蕾舞演员同时从边长为l的正三角形顶点出发，以相对地的相同的速率v运动，运动中始终保持着A朝着B、B朝着C、C朝着A，试问经多少时间三人相聚？
每个演员跑了多少路程？
解：
三位演员的运动是匀速直线运动还是匀速曲线运动？
在运动过程中三位演员的位置有什么关系？
三位演员作相同的匀速率曲线运动。
三位演员任何时候的位置均构成正三角形。
但诸三角形的边长越来越短。
最后三位演员在何处相遇？
三位演员最终在三角形ABC的中心相遇。
此时三角形边长缩短为零。
研究三角形的边长的变化情况，设法找出三角形边长由l缩短为零所用的时间！
将从开始到相遇的时间t分为n份小量时间t：
设每经过t的时间后三角形的边长依次缩短为：
，,如图，依据小量近似有,故有,由此得,另解：
设经过某一小量时间t后，三角形的边长由x变为x.,如图，由余弦定理：
略去二阶小量得：
由此式来研究在t时间内三角形边长的缩短量（x-x）！
进而找出缩短的速率！
由此式有,三角形的边长缩短至零的时间即为所求时间：
思考题1：
此类问题亦可进一步推而广之，假设有个人同时从边长为的正边形顶点出发，以相同速率运动，运动中始终保持1朝着2，2朝着3，（n-1）朝着n,n朝着1,试问经过多少时间相遇？
思考题2：
假如演员的速率不变，加速度的大小如何变化？
光反射定律的类比应用,某些质点的运动类似光的反射现象，若应用光的反射定律可使复杂的问题得到简单的求解。
例题、如图，光滑水平面上两根刚性细杆OM、ON成15夹角交于O点，小球在OM的内侧与O相距l=20cm的P点处，以与MO成30角方向的初速朝ON杆运动，初速度大小为v0=10cm/s.试问小球能否回到P处？
若能，则须经多少时间回到P处？
解：
小球作的是匀速折线运动。
M,N,P,O,l,300,150,而光线经镜面反射后的行进等效于光线沿原入射方向的行进。
因此光线在两平面镜之间的不断反射可等效为光线沿PP直线传播。
可将小球的运动类比为光线在平面镜M、N之间的反射。
由于,因此光线能够沿原路返回到P点。
所以小球从P点出发到又回到P点，总的路程即为PP=2PP.,所经历的时间为,M,N,P,O,l,P,300,150,P,题后总结这种解法的实质就是将折线运动等效变为直线运动从而使问题得以简化。
本题还有另一种常规解法：
1、看小球多次弹碰后是否会与杆正碰2、确定在什么位置正碰3、算出所有折线段的总长4、计算时间但这种解法需解三角形！
试一试，看能否用此法解答。
拓展：
如图的示，MN为竖直墙，平面镜OB绕O的垂直于纸面的水平轴以恒定的角速度转动，在墙上的A点发出一水平光线投射到OB上，并被反射到墙上D点。
设AOC=,AO=d,求D的速度。
D的速度方向总是向上，大小则等于OD长度的变化率,抛体运动中的边界和最值问题,例题：
迫击炮和目标位于同一水平面上，它们之间有高为h的小山。
迫击炮到山顶的水平距离为a目标到山的距离为b。
试求为击毁目标炮弹必需具有的最小初速度以及发射角（空气阻力不计）,如何找到切入点呢？
思维的障碍在哪里？
小山？
消去t,要击中目标，满足什么条件？
说明什么？
当为从0到/2范围内的不同值时，得到所有的一切轨道。
接下去的转折点在哪呢？
当为/4时，标出的轨道为,在满足什么条件下这条轨道从山的上方通过？
为此，求当轨道上x=a这点的高度h1,例题：
从离地面上同一高度h，相距L的两处同时各抛出一个石块：
一个以初速度V1竖直向上抛；另一石块以速度V2水平抛出。
求这两个石块在运动过程中它们之间的最短距离？
（两个石块初速度位于同一竖直平面内）,V1,V2,-V1,d,L,将曲线运动分割成的无限小曲线段处理为一小段圆弧，将质点在该小段圆弧上的运动视为一段圆弧运动。
就可利用处理圆运动的方法来研究一般的曲线运动。
x,y,o,（三）曲率圆及曲率半径,1、曲率圆：
平面光滑曲线某处的无限小圆弧段所属的圆称为曲线该处的曲率圆。
2、曲率半径：
上述曲率圆的半径即为曲线该处曲率半径。
曲线某处的曲率半径能反映该处的弯,大处弯曲程度小，小处弯曲程度大。
对一条给定的曲线，其上各处的也是确定的。
弯曲程度：
2、化曲为圆,如果知道质点轨道曲线各处的,又知道质点在轨道各处的v，则质点在各处的a心可求出。
（四）从曲率圆的角度看平面光滑曲线运动的速度和加速度,表示速度大小的变化快慢,表示速度方向的变化快慢,处处为零的运动为匀速率曲线运动。
x,y,o,p1,p,曲率半径的物理求法
（一）让质点的运动轨迹为给定的曲线确定质点在运动轨迹上各处的v和a心由向心加速度公式求在选择质点的运动时，尽量考虑如何方便得到曲线各处的v和a心,1,例题、试求椭圆的顶点处的曲率半径.,解：
椭圆的参数方程为,所以可以选择质点沿椭圆轨道的运动为：
在x方向和y方向的分运动为简谐振动的运动.,这样的运动在椭圆的顶点处的v和a心是易求得的。
其简谐振动方程即为以上椭圆的参数方程。
x,y,0,A,B,在图中顶点A处：
所以,同理可得,于是有,题后说明本题的解法属于物理运动学的求法。
曲率半径还有物理动力学的求法！
这将在以后研究。
例题、求滚轮线的最高点的曲率半径和1最低点的曲率半径2。
解：
o,P,为方便计，设轮子做匀速的纯滚动，,设轮心O相对地面的速度为v0.,轮边缘上的任意一点P相对轮心O的速度为多大？
P在最高点处相对于地面的速度大小为,P在最低点处相对于地面的速度大小为,故,则,总是指向轮心但是否总是指向滚轮线的曲率圆圆心？
P,P,P,o,o,o,o,P,v0,滚轮线最低处的曲率半径为,P,P,P,题后总结曲率圆上某点处的向心加速度指的是相对于静止参照系且指向曲率圆心的加速度;一般而言，在数学上总是可以认为拐点处的曲率半径为零.,在滚轮线的最高点处和最低点处，,故,o,o,o,曲率半径问题,例题：
一条光滑的抛物线轨道，在直角坐标系中的方程为y2=2x,式中x、y的单位为米。
有一质点从起始位置（2，2）无初速地滑下，问质点在何处离开抛物线轨道。
mg,r,分析：
设质点在M（x,y）处飞离抛物线，,如图所示,在光滑水平面上有质量为M且均匀分布、半径为R的圆环，质量为m的质点可在环内壁做无摩擦的滑动（Mm）。
开始时，圆环静止，环心在O点，质点位于（0，R）处，速度沿x方向，大小为o
（1）试导出质点的运动方程；
（2）试求质点运动轨迹转折处的曲率半径。
x,O,y,M,m,0,O,y,M,m,质心的速度,m、M绕质心的角速度,求相关物体速度的一种有效方法-基点法,当刚体作平面运动时，其上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。
因此我们也就有杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：
在同一时刻必有相同的沿杆、绳方向的分速度；接触物系触点速度的是相关特征是：
沿接触面法向的分速度相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同。
依据物系相关速度特征，运用基点法，结合速度的合成法则、相对运动法则，这类问题便会迎刃而解。
【物理模型】一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右做加速度为a加速运动。
在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动。
当半圆柱体的速度为时，杆与半圆柱体的接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为，求此时竖直杆运动的速度和加速度,【物理模型】长均为的两杆用铰链P相连，其中一根杆的自由端用铰链O固定，而另一根自由端以大小和方向均恒定的速度0开始运动，并且开始时刻0平行于此时两杆夹角2的角平分线，求开始运动后经非常短的时间。
连接两杆的铰链P的加速度大小和方向。
例题：
图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图。
AB杆和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上。
BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。
当AB杆绕A轴以恒定的角速度转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置。
BC杆与CD杆都与水平方向成45角，已知AB杆的长度为，BC杆和CD杆的长度由图给定。
求此时C点加速度ac的大小和方向（用与CD杆之间的夹角表示）,用图线清晰多次碰撞（或相遇）过程,例：
甲、乙两人在长为L=84m的水池里沿直线来回游泳，甲的速率为1=1.4m/s，乙的速率2=0.6m/s，他们同时从水池的两端出发，来回共游了t=25min时间，如果不计转向的时间，那么在这段时间内他们共相遇了几次？
若他们同时从同一端出发，那么在上述时间内，他们共相遇了几次？
思考题,如图所示，两个质量相同的小球，在一光滑的水平直槽内运动。
滑槽两端有固定的壁。
两处之间及小球与壁之间的碰撞是完全弹性的。
开始时，、两球分别位于将滑槽三等分的两个分点处，两球运动方向相同，但速度大小不一定相同。
（）如果两球之间的第二次碰撞是在滑槽中点迎面相碰，求两球初速的比值。
（）如果两球之间的第次碰撞是在滑槽中点迎面相碰，求两球初速的比值。
能满足要求的解有几种？
1,中点,t,s,2,1,n为奇数时,n为偶数数时,k为奇数时,k为偶数数时,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,
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