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自习教室开放的优化管理模型

摘要

本文根据题目要求，建立合理的建设，综合运用线性规划、数据归一化、匈牙利算法和排序法等对学生自习区教室安排管理建立优化模型，并借助MATLAB软件编程处理数据和求解，得出自习教室开放的优化管理模型。

针对问题一，根据题目要求和提供的数据，以节约用电为原则，引入0-1变量，建立线性规划方程。

利用MATLAB软件求解线性规划方程，求得结果。

根据数据，则学校需关闭教室1、2、11、15、16、25、41、42、44、45，开放其余教室供学生上自习，而其最小用电功率为74093W。

相对于开放全部教室，用电节约了19%，达到节约用电的目的。

针对问题二，把握与学生宿舍近距离和用电功率最低的原则，分别对数据进行归一化。

通过赋予相对权重，得到近距离指标和低功率指标的综合指标，对其分学生区域排序。

根据原则保留B5,B9两个区域，并使用匈牙利算法对其余区域进行指派，通过比较数据，考虑区域后再考虑教室规格。

借助MATLAB求解得出关闭的教室为教室1，11，15，41，42，43，44，45，达到题目要求。

针对问题三，在问题一和问题二的模型基础上，改变数据且同样进行匈牙利算法指派，并根据以与学生宿舍远近为主的综合排序和以低用电功率为主的综合排序，筛选出自习区B5,B6，B7，B8。

再根据此4个区域的教室基本数据，比较产生得出，需要在B5或B7搭建110个座位，用电功率1440W和160个座位，用电功率1620W的教室。

关键字：

0-1变量线性规划归一化匈牙利算法排序法1、问题重述

近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比较少，但是教室内的灯却全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，这要求我们提供一种最节约、最合理的管理方法。

管理人员只需要每天晚上开一部分教室供学生上自习，每天晚上从7：

00---10：

00开放（如果哪个教室被开放，则假设此教室的所有灯管全部打开）。

完成以下问题：

1．假如学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为0.7,要使需要上自习的同学满足程度不低于95%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%。

问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的。

2．假设这8000名同学分别住在10个宿舍区，现有的45个教室分为9个自习区，按顺序5个教室为1个区，即1,2,3,4,5为第1区，…，41,42,43,44,45为第9区。

这10个宿舍区到9个自习区的距离见表2。

学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系，距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。

假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。

请给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。

另外尽量安排开放同区的教室。

3．假设临近期末，上自习的人数突然增多，每个同学上自习的可能性增大为0.85，要使需要上自习的同学满足程度不低于99%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过95%。

这时可能出现教室不能满足需要，需要临时搭建几个教室。

假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。

搭建的教室紧靠在某区，每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格相同（所有参数相同），学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。

问至少要搭建几个教室，并搭建在什么位置，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。

2、问题假设

1、假设哪个教室被开放，则此教室的所有灯管都全部打开

2、假设每个同学是否上自习相互独立，且可能性为0.7

3、假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同

3、符号说明

符号

说明

教室i的座位数量（i=1,2,……45）

教室i上自习的学生人数（i=1,2,……45）

教室i灯管的功率（i=1,2,……45）

教室最小总功率

4、问题分析

4.1背景分析

在提倡节约社会的今天，人们似乎并没有做出多大节约的事情，尤其是对日常生活上的小事，用电浪费就是其一。

随着大学生进入大学校园，大学校园的用电浪费现象十分严重，尤其在学生晚自习期间。

为了响应建设节约型社会的号召，减少不必要的浪费，故对大学生晚自习进行规划，即能让学生很好的学习，更能节约用电。

4.2问题一分析

题目中提供每个同学是否上自习相互独立，且上自习的可能性为0.7，且需要上自习的同学满足程度不低于95%的信息，则根据这些信息就可以计算出上自习的学生总数大约有多少人。

并将此人数与学校提供的自习座位比较，比较学校所提供的座位是否满足人数需求。

学校规定开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%，根据这些约束条件，结合提供的数据，引入0-1变量建立线性规划方程，借助MATLAB软件计算得出需要关闭的教室和开放的教室，以及用电的最小功率，达到节约用电的目的。

4.3问题二分析

从距离程度和用电功率上优化问题。

根据将所有教室分成9个区域，故首先将数据进行整理，整合成区域数据，并将其归一化；对距离程度也进行归一化，以便于综合处理数据。

对归一化后的数据进行分析，并排序。

且利用匈牙利算法建立指派模型，对学生宿舍进行指派到某一自习区。

通过分析各种数据，分析各自习区中座位的总数和指派的学生数量，进行调整分配。

而对没有安排到的学生区和自习区教室，根据节约用电，用电功率最低为原则，逐步分配。

4.4问题三分析

基于问题一和问题二的模型上，通过改变数据，利用匈牙利算法指派宿舍。

根据用电功率最低和距离宿舍最近原则，分析数据，逐步筛选。

5、模型建立与求解

5.1问题一

根据题目假设和已知条件，每个同学是否上自习相互独立，且上自习的可能性为0.7，则明显可以看出上自习的同学人数满足二项分布，即

为了使需要上自习的同学满足程度不低于95%，即不低于95%的同学能够满足上得了自习，从而可以计算得出上自习同学的大概人数为

面对如此多学生参加自习，学校能提供的教室座位是否能够满足学生上自习的情况呢？

统计学校开放教室的总座位为6844，而每间教室的自习人数尽量不超过90%，即6844*90%=6160个座位可供同学们上自习。

由开放教室的总座位数据和上自习学生人数数据可以看出，学校的教室座位能够满足同学们自习。

对于开放的教室来说，能尽量减少少学生占用整间教室的情况出现，故此对于教室的满座率进行规定，该满座率不低于4/5，且同时尽量不超过90%。

即满座率的区间为（0.8,0.9），所以某开放教室内的自习人数需满足以下条件：

因此开放教室的总座位数量也满足以上的约束条件，即

为了能够达到节约用电的目的，对开放教室满座率进行约束的同时，也需要考虑该开放教室的用电功率，通过题目提供的数据（附录1），计算得到每间教室的用电总功率如下：

表1每间教室的用电总功率表

教室

灯管总功率W

1680

2400

1620

1728

1620

1440

教室

灯管总功率W

1620

1080

3375

2304

2500

1680

2400

教室

灯管总功率W

1620

1728

1620

1440

1620

1080

3375

2304

教室

灯管总功率W

2500

2304

2500

1440

1620

1080

3375

2304

2500

教室

灯管总功率W

2304

2500

2304

2500

2304

1250

2160

根据假设1，引入0-1变量，0表示该教室不开放，而1表示该教室开放。

通过对题目的分析，以及条件的约束，故联合，对其建立线性规划方程，其标准公式如下：

借助MATLAB软件编程（代码见附录3）解决该线性方程，得出结果为

由上式明显可以看出教室1、2、11、15、16、25、41、42、44、45的结果为0，也正表示了这些教室不开放，相反可以得到教室3--10、12--14、17--24、26--40、43都是对外开放的，可供学生们上自习，并且能够达到节约用电的目的，而最低用电功率为74093W。

相对于开放全部教室，用电节约了19%，达到节约用电的目的。

5.2问题二

在基于学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同的假设上，考虑到学生宿舍到自习区的距离会影响学生是否上自习，故此尽量安排足够的座位满足邻近学生宿舍的学生上自习，也就形成一个近距离指标；而与此同时，从学校角度依然是以节约用电为目的，减少不必要的浪费，形成低功率指标。

根据两方面的重要性，进行综合分析。

5.2.1近距离指标

由题目提供数据（附录2）已知学生宿舍各区到自习区各区之间的距离，数据之间繁复，难以看清两区之间的远近，故此对数据进行归一化。

根据归一化公式，

得到数据如表2。

表2归一化后学生区（标号为A）到自习区（标号为B）的距离表

0.142

0.000

1.000

0.212

0.323

0.737

0.309

0.518

0.059

1.000

0.469

0.259

0.380

0.144

0.272

0.000

0.466

0.702

0.547

0.735

0.000

0.291

0.979

0.803

0.427

0.611

1.000

0.047

0.615

0.037

0.419.

0.496

0.901

0.000

0.788

1.000

0.742

0.287

0.365

0.000

0.552

0.135

0.961

0.661

0.278

0.740

0.076

0.316

1.000

0.653

0.000

0.872

0.580

0.178

0.299

0.963

1.000

0.734

0.909

0.705

0.029

0.000

0.448

0.000

0.556

1.000

0.119

0.034

0.900

0.888

0.004

0.000

0.246

0.814

0.006

0.500

0.879

1.000

0.964

0.096

A10

0.526

0.504

0.348

0.000

0.909

0.952

1.000

0.565

0.700

从上表中可以看出两区之间的远近差别，进而有利于进一步分析。

数据表明：

数据越小，即学生宿舍距离自习区越近，学生满意度越高；反之，数据越大，学生宿舍距离自习区越远，则学生满意度越低。

5.2.2低功率指标

由于将45间教室划分为9个区域，因此需要将数据以区域重新整理,即各个区域的总座位数等于5间教室的座位数量和，总用电功率等于5间教室的用电功率和，计算数据如下：

表3各自习区座位、功率表

区号

总座位数

666

590

781

720

580

1051

786

1000

670

用电总功率W

9720

8028

10939

9720

7488

12983

9819

11912

10581

为了能够更好的分析用电功率，达到节约用电的目的，所以引入单位座位用电功率P，明显单位座位用电功率=用电总功率/总座位数，通过计算得到数据如下：

表4单位座位用电功率表

区号

单位座位用电功率W

14.59

13.61

14.01

13.5

12.91

12.35

12.49

11.91

15.79

能使数据更好的进行分析，同样对上述表格进行归一化，根据归一化公式，计算整理得到以下数据：

表5归一化后单位座位用电功率表

区号

单位座位用电功率

0.69

0.44

0.54

0.41

0.26

0.11

0.15

0.00

1.00

由表5可以看出B9区的单位座位用电功率最高，说明该区的总用电功率最高；而B8区的单位座位用电功率最低，也说明了该区的总用电功率是最低的。

5.2.3综合指标

1）题目要求每一个开放的教室，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%，可根据各个区域的总座位数，计算得出该区域能容纳的学生数目区间，具体数据情况如下：

表6各个区域能容纳的学生人数表

总座位数

666

590

781

720

580

1051

786

1000

670

533

472

625

576

464

841

629

800

536

599

531

703

648

522

946

707

900

603

根据题目要求，尽量安排开放同区的教室。

从上表中可以看出B5区的总座位数最少，且在问题一中求出学校有6160个座位可以提供给学生上自习，而需要上自习的学生人数为5230人。

若关闭B5区后，仍然能够满足学生上自习，则可先不考虑B5区。

然而通过数据上的对比，显然是可以的，故此先不考虑B5区。

2）在考虑用电功率和宿舍距离两个方面的时候，分别从学生角度和学校角度上去分析。

站在学生角度上考虑，学生想的是在最近的自习区能够自习；而站在学校的角度上考虑，则需要用电功率最低。

因此对其设立权重，但由于两者的重要地位比较接近，设立权重时要考虑好权值。

学生角度

赋予权值为（0.6,0.4），并将表2、表5数据代入，获得以下数据：

表7宿舍距离较重要数据表

0.361

0.176

0.816

0.291

0.298

0.486

0.245

0.311

0.436

0.876

0.457

0.371

0.392

0.191

0.207

0.060

0.279

0.821

0.604

0.617

0.216

0.338

0.691

0.526

0.316

0.367

1.000

0.304

0.545

0.238

0.415

0.402

0.585

0.060

0.473

1.000

0.876

0.621

0.388

0.383

0.104

0.375

0.141

0.577

0.797

0.443

0.620

0.262

0.354

0.704

0.436

0.060

0.523

0.748

0.383

0.355

0.794

0.764

0.544

0.589

0.483

0.017

0.400

0.545

0.176

0.550

0.764

0.175

0.064

0.600

0.533

0.402

0.276

0.324

0.704

0.168

0.404

0.571

0.660

0.578

0.458

A10

0.592

0.478

0.425

0.164

0.649

0.615

0.660

0.339

0.820

对各个学生宿舍区域到自习区的远近进行排序，获得下列排序：

A1:

A2:

A3:

A4:

A5:

A6:

A7:

A8:

A9:

A10:

从上述排序中并未能看出什么规律，无法从中评判，且本题要求我们提供一种最节约、最合理的管理方法，故可以不必考虑。

学校角度

赋予权值为（0.4,0.6），同样将表2、表5数据代入，获得以下数据：

表8用电功率较重要数据表

0.471

0.263

0.725

0.331

0.297

0.363

0.214

0.207

0.624

0.815

0.450

0.429

0.398

0.190

0.177

0.090

0.186

0.881

0.633

0.557

0.325

0.362

0.586

0.389

0.261

0.244

1.000

0.433

0.509

0.339

0.415

0.401

0.428

0.090

0.315

1.000

0.815

0.560

0.439

0.392

0.103

0.489

0.144

0.384

0.864

0.526

0.559

0.355

0.372

0.703

0.329

0.090

0.349

0.832

0.486

0.382

0.710

0.646

0.544

0.431

0.372

0.012

0.600

0.594

0.263

0.547

0.646

0.175

0.081

0.450

0.355

0.602

0.415

0.361

0.650

0.248

0.403

0.419

0.490

0.386

0.638

A10

0.625

0.464

0.246

0.649

0.449

0.490

0.266

0.880

同样的，对以上数据进行排序，排序情况如下：

A1:

A2:

A3:

A4:

A5:

A6:

A7:

A8:

A9:

A10:

由上述排序可以看出，B9区的值几乎是最大的，说明B9区的用电功率是最高的。

从节约用电的角度，如果能关闭B9区的教室，很大限度上达到节约的目的，且通过数据比较，单独关闭B9区，仍然能满足学生上自习的需求，所以也先不考虑B9区。

3）经过两轮考虑，暂时不考虑B5区、B9区，则剩下7个自习区域和10个学生宿舍区域，对此利用指派问题的匈牙利算法进行指派，建立函数如下：

利用MATLAB软件对其进行求解，求得结果如下：

即表明宿舍区A1到自习区B2上自习，宿舍区A3到自习区B3上自习，宿舍区A6到自习区B7上自习，宿舍区A7到自习区B8上自习，宿舍区A8到自习区B6上自习，宿舍区A9到自习区B1上自习，宿舍区A10到自习区B4上自习。

虽然通过指派算法将8个宿舍的学生安排到指定的8个自习区，但是有些自习区的人数满足不了要求，有些宿舍的同学没有安排到自习区，通过计算一下各个因子，得到数据如下：

表9因子数据表

总座位数

666

590

781

720

1051

786

1000

670

533

472

625

576

841

629

800

536

599

531

702

648

945

707

900

603

上自习学生数

532

满足

309

268

-1

170

116

413

175

368

学生来源

A10

根据上表可见，自习区B1少了1名学生，自习区B2多了1名学生，则将自习区B2的这名多余的学生安排到自习区B1，于是这两个自习区都满足条件，但是B1区仍然多余了67个座位，由于教室1的座位数为64个，且单位座位用电功率相对较高，我们首先考虑关闭教室1。

宿舍区A2，A4，A5的学生数目为532*3=1596（人），对于宿舍区A2，A4，A5只能安排到自习区B3，B4，，B6，B7，B8，但这几个区的座位数不够，则必须将自习区B5和B9考虑进来，对于A2，A4，A5来讲，他们满意度高的自习区依次为

A2:

A4:

A6:

对于这宿舍区A2，A4，A5的1596个学生而言，综

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