平行线与相交线直角坐标系知识总结与试题.docx

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平行线与相交线直角坐标系知识总结与试题

平行线与相交线直角坐标系知识总结与试题

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第五章相交线与平行线复习课

（一）

一、知识结构图

二、基本知识提炼整理

（一）主要概念

1、邻补角：

有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角。

2、对顶角：

一个角的两边分别为另一个角两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。

3、垂线：

两条直线相交所成四个角中，如果有一个角是直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。

4、垂线段：

过直线外一点，作已知直线的垂线，这点和垂足之间的线段。

5、点到直线的距离：

直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

6、平行线：

同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

7、命题：

判断一件事情的语句叫做命题。

8、平移：

把一个图形整体沿着某一方向平行移动，这种移动叫做平移变换，简称平移。

9、平移的要素：

平移的方向和平移的距离。

10、两条平行线的距离：

同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做两条平行线的距离。

（二）主要性质

1、对顶角的性质：

对顶角相等

2、邻补角的性质：

互为邻补角的两个角和为

3、垂线的基本性质：

（1）经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线

（2）垂线段最短

4、平行线的判定与性质

平行线的判定

平行线的性质

1、同位角相等，两直线平行

2、内错角相等，两直线平行

3、同旁内角互补，两直线平行

4、平行于同一条直线的两条直线平行

5、垂直于同一条直线的两条直线平行

1、两直线平行，同位角相等

2、两直线平行，内错角相等

3、两直线平行，同旁内角互补

5、平移的特征：

①对应线段平行（或在同一直线上）且相等；②对应角相等；③对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等。

（三）尺规作图

只用没有刻度的直尺和圆规的作图的方法称为尺规作图.用尺规可以作一条线段等于已知线段，也可以作一个角等于已知角.利

三、基础知识填空

1、如图，∵AB⊥CD（已知）∴∠BOC=90°（）

2、如图，∵∠AOC=90°（已知）∴AB⊥CD（）

3、∵a∥b,a∥c（已知）∴b∥c（）

4、∵a⊥b,a⊥c（已知）∴b∥c（）

5、如图，∵∠D=∠DCF（已知）∴_____//______（）

6、如图，∵∠D+∠BAD=180°（已知）∴_____//______（）

（第1、2题）（第5、6题）（第7题）（第9题）

7、如图，∵∠2=∠3（）∠1=∠2（已知）

∴∠1=∠3（）

∴CD____EF（）

8、∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°（已知）∴∠1=∠3（）

9、∵a//b（已知）

∴∠1=∠2（）

∠2=∠3（）

∠2+∠4=180°（）

四、例题讲解

如图，CD⊥AB于D，E是BC上一点，EF⊥AB于F，∠1=∠2.试说明∠BDG+∠B=180°.

变式训练：

如图，CD⊥AB于D，FG⊥AB于G，ED∥BC,试说明

.

基础过关题：

1、如图：

已知∠A＝∠F，∠C＝∠D，求证：

BD∥CE。

证明：

∵∠A＝∠F（已知）

∴AC∥DF（）

∴∠D＝∠（）

又∵∠C＝∠D（已知），

∴∠1＝∠C（等量代换）

∴BD∥CE（）。

2、如图：

已知∠B＝∠BGD，∠DGF＝∠F，求证：

∠B＋∠F＝180°。

证明：

∵∠B＝∠BGD（已知）

∴AB∥CD（）

∵∠DGF＝∠F；（已知）

∴CD∥EF（）

∵AB∥EF（）

∴∠B＋∠F＝180°（）。

3、如图，已知AB∥CD，EF交AB,CD于G、H,GM、HN分别平分∠AGF，∠EHD，试说明GM∥HN.

补充练习：

一.选择题

1．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32o，那么∠2的度数是（）

A.32oB.58oC.68oD.60o

2．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（）

A.70°B.65°　C.50°D.25°

3．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，

，则

的度数等于（）

A．

B．

C．

D．

4．如图，AB⊥BC，BC⊥CD，∠EBC＝∠BCF，那么，∠ABE与∠DCF的位置与大小关系是（）

A.是同位角且相等B.不是同位角但相等C.是同位角但不等D.不是同位角也不等

5．如图，

，∠1=120°，∠2=100°，则∠3=（　　）

A．20°B．40°C．50°　　D．60°

6．如图，AB是

的直径，点C．D在

上，

，

，则

（）

A．70°B．60°C．50°D．40°

7．在一个平面内，任意四条直线相交，交点的个数最多有（）

A.7个B.6个C.5个D.4个

8．如图所示，已知

，

，垂足分别是

、

，那

么以下线段大小的比较必定成立的是（）

A.

B.

C.

D.

9．下列说法中，正确的个数为（）

⑴有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角；⑵相等的两个角是对顶角

⑶如果两个角是对顶角，那么这两个角相等

⑷如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角是对顶角

⑸如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角

A、1个B、2个C、3个D、4个

10．轮船从A地出发向北偏东70°方向行驶了4海里到达B地，又从B地出发向南偏西20°方向行驶5海里到达C地，则∠ABC等于（）

A．90°B．50°C．110°D．70°

二.填空题

1．如图，若OE⊥AB，∠2比∠1大70°则∠AOC=，∠BOC=

2．观察如图所示的三棱柱.

（1）用符号表示下列线段的位置关系：

ACCC1,BCB1C1；

（2）⊿A1B1C1可看作是把⊿ABC而得到的.

3．如图，一条路两次拐弯后和原来的方向相同，也就是拐弯前后的两条路互相平行，第一次拐的角∠B是142°，第二次拐的角∠C是

4．如图，已知AB∥EF，∠BAC=p，∠ACD=x，∠CDE=y，∠DEF=q,用p、q、y来表示x得.

5．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝______

6．如图，AB∥CD，∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点E，则∠AEC的度数是　　　　　　　　．

三.解答题

1.如果下图所示,O为直线AB上一点,∠AOC=

∠BOC,OC是∠AOD的平分线.

（1）求∠COD的度数;

（2）判断OD与AB的位置关系,并说明理由.

2．如图，AB、CD、EF相交于O点，EF⊥AB，OG为∠COF的平分线，OH为∠DOG的平分线

⑴若∠AOC∶∠COG=4∶7，求∠DOF的大小；

⑵若∠AOC∶∠DOH=8∶29，求∠COH的大小.

3．已知：

∠BAP+∠APD=180°，∠BAF=∠CPE，求证：

∠E=∠F．

4．如图，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E=140º，求∠BFD的度数.

5.图11，BE∥AO，∠1=∠2，OE⊥OA于点O，EH⊥CO于点H，那么∠5=∠6，为什么？

6．如图，已知∠ABC.请你再画一个∠DEF，使DE∥AB,EF∥BC,且DE交BC边与点P.探究：

∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系?

并说明理由.

平面直角坐标系复习卷

一、点的坐标

从直角平面上的一点P，分别向x轴、y轴

引垂线，垂足在x轴、y轴上分别对应实数a、b，

那么把有序是数对（a,b）叫做P点的坐标，a叫

做P点的横坐标，b叫做P点的纵坐标.

二、四个象限内点的横纵坐标的特点

若点P（a,b）在第一象限，则a>0,b>0；若点P（a,b）在第二象限，则a<0,b>0；

若点P（a,b）在第三象限，则a<0,b<0；若点P（a,b）在第四象限，则a>0,b<0；

练习：

（1）若M（m,m+4）在第二象限，则m的取值范围是__________

（2）若A（a+1,2-a）在第一象限，则a的取值范围是__________

（3）若M（2m,m-4）在第四象限，且m是偶数，则m的值是__________

（4）已知点A（3a-15,3-a）是第三象限的整数点，则点A的坐标为______________

（5）对于任何实数x,点（x,x-1）一定不再第______象限

（6）若a<0,b>0,则点（a,b）在第_______象限，点（-a,-b）在第________象限，点（a2+1,b2）在第______象限，点（-a2-1,-b2）在第_________象限.

三、坐标轴上的点的坐标特点

1、x轴上的点纵坐标为0，即若点P（a,b）在x轴上，则b=___________

2、y轴上的点横坐标为0，即若点P（a,b）在y轴上，则a=______________

练习：

（7）点P在x轴上，对应的实数是

，则点P的坐标是，若点Q在y轴上,对应的实数是2，则点Q的坐标是.

（8）点（a,0）在________上，点（0,b）在_____上.（a≠0,b≠0）

（9）若点P（x,y）的坐标满足x=0,y≠0,则点P在_______上

（10）若点P（x,y）的坐标满足xy=0,则点P在_________________上

（11）若点P（k+2,k-3）在y轴上，则点P的坐标为_______________

（12）若点A（a-2,a+3）在x轴上，则点P的坐标为_______________

（13）已知点M（2+x,9-x2）在x轴的负半轴上，则点M的坐标为_________________

（14）直线y=2x-1与x轴的交点坐标为____________,与y轴的交点坐标为______________

（15）直线y=-2x+2与x轴的交点坐标为____________,与y轴的交点坐标为______________

四、两坐标轴角平分线上的点的坐标特点

1、第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；

2、第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数。

练习：

（16）若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则此点一定在______________

（17）若点（a,2）在第二象限,且在两坐标轴的夹角平分线上,则a=.

（18）已知点P（x2-3，1）在一、三象限夹角平分线上，则x=,点P的坐标为_________.

（19）已知点（1-2a，a-2）在第三象限的角平分线上，则a=_______,点的坐标为_____________.

（20）已知点（a+2，-2a）在第四象限的角平分线上，则a=_______,点的坐标为_____________.

（21）若点D（6-5m,m-2）在第二、四象限角平分线上，则m=___________.

五、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点

1、与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等；2、与y轴平行的直线上的点的横坐标相等.

练习：

（22）已知AB平行于y轴，且A点坐标为（2，3），B点坐标为（a,-5）,那么a=_________.

（23）已知CD平行于x轴，且C点坐标为（-2，3），D点坐标为（3,m）,那么m=________.

（24）直线a平行于x轴，且过点（-2，-3）和（5，y），则y=

（25）过A（4，－2）和B（－2，－2）两点的直线一定平行于_______轴.

（26）已知:

A（1,2）,B（x,y）,AB∥x轴,且B到y轴距离为2,则点B的坐标是

六、点到坐标轴及原点的距离

1、点到x轴的距离等于点的纵坐标的绝对值.即点P（a,b）到x轴的距离d=∣b∣.

2、点到y轴的距离等于点的横坐标的绝对值.即点P（a,b）到y轴的距离d=∣a∣.

3、点到原点的距离d=

.

练习：

（27）已知点Q（-8，6），它到x轴的距离是，它到y轴的距离是它到原点的距离是_____

（28）已知点P的坐标（2-a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是

（29）在第一象限到x轴距离为4，到y轴距离为7的点的坐标是______________；在第四象限到x轴距离为5，到y轴距离为2的点的坐标是________________；

（30）点Ａ（２，３）到x轴的距离为　　　；点Ｂ（-４，０）到y轴的距离为　　　；点C到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，且在第三象限，则C点坐标是　　　　　.

（31）若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为_________________;

（32）点Ｐ到x轴、y轴的距离分别是２、１，则点Ｐ的坐标可能为

（33）已知直角三角形ABC的顶点A（2，0），B（2，3）.A是直角顶点,斜边长为5，则顶点C的坐标为.

（34）如图3所示的象棋盘上，若

位于点（1，－2）上，

位于点（3，－2）上，则

位于点

（35）右图是某学校的平面示意图，在10×10的正方形网格中（每个

小方格都是边长为1的正方形），如果分别用（3,1）,（3,5）表示图中图书

馆和教学楼的位置，那么实验楼的位置应表示为　　　　　　．

七、关于坐标轴和原点对称的两对称点的坐标特点

1、关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；

2、关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；

3、关于原点对称的两个点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.

练习：

（36）已知A（-3，5），则该点关于x轴对称的点的坐标为_________，关于y轴对称的点的坐标为____________，关于原点对称的点的坐标为___________；

（37）已知A（3，-4），则该点关于x轴对称的点的坐标为_________，关于y轴对称的点的坐标为____________，关于原点对称的点的坐标为___________；

（38）已知A（a，b），则该点关于x轴对称的点的坐标为_________，关于y轴对称的点的坐标为____________，关于原点对称的点的坐标为___________；

（39）若点A（m,-2）,B（1,n）关于原点对称,则m=,n=.

（40）已知点P（

），且点P关于

轴对称的点的坐标是（

），则m=_____,n=______；

（41）点P（2m-1,5）,Q（-3,n）关于x轴对称，则m=_________,n=____________.

（42）若

关于原点对称，则

；

（43）若

+（b+2）2=0，则点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为_______．

八、平面上两点间的距离

1、x轴上两点间的距离：

已知A（x1,0）,B（x2,0）,则AB=∣x1-x2∣

2、y轴上两点间的距离：

已知P（0,y1）,Q（0,y2）,则AB=∣y1-y2∣

3、异轴上两点间的距离：

已知M（x,0）,N（0,y）,则MN=

4、平面上任意两点间的距离：

已知A（x1,y1）,B（x2,y2）,则AB=

练习：

（44）已知在x轴上有A（2,0）,B（7,0）两点,则AB=__________.

（45）已知在y轴上有M（0,3）,N（0,-5）两点,则MN=__________.

（46）已知在x轴上有一点A（-3,0）,在y轴上有一点B（0，4）两点,则AB=__________.

（47）已知AB在x轴上，且AB=

，点A坐标为（2,0），那么B点坐标为_________________.

（48）已知点A的坐标为（2，-2），那么在y轴上使△AOB为为等腰三角形的点P共有______个，

它们的坐标分别是____________________________________.

（49）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线

①由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点

的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5,3）C（-2,5）关于直线l的对称点

、

的位置，并写出他们的坐标:

、

；

②结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：

坐标平面内任一点P（a,b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点

的坐标为（不必证明）；

③已知两点D（1,-3）、E（-1,-4），试在直线l上

确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和

最小，并求出Q点坐标．

补充资料

三、典型例题分析：

考点一、位置的确定

例1、如图，围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋．为记录棋谱方便，横线用数字表示．纵线用英文字母表示，这样，黑棋①的位置可记为（C，4），白棋②的位置可记为（E，3），则白棋⑨的位置应记为_____.

解析：

本题是一道与确定位置有关的试题,要表示白棋⑨位置,则需要仔细理解题意,根据黑棋①的位置可记为（C，4），白棋②的位置可记为（E，3）可以发现:

用表示列的字母和表示行的数字来确定棋子的位置,其中表示列的字母在前,表示行的数字在后.

解:

观察白棋⑨在D列,6行,所以其位置可记作（D,6）.

考点二、平面直角坐标系内的点的特点：

（一）确定字母取值范围：

例2、（2007年重庆）若点M（1，

）在第四象限内，则

的取值范围是．

解析：

因为第四象限内点的坐标特征是x＞0，y＜0，所以2a－1＜0,因此，

例3、点A（m＋3,m＋1）在x轴上，则A点的坐标为（）

A（0，－2）B、（2，0）C、（4，0）D、（0，－4）

解析：

由点A在x轴上可知y＝0，即m＋1＝0,解得m＝－1，所以m＋3＝2,所以A点坐标为（2，0）．故选B．

提示：

在根据点所在象限或坐标轴确定字母取值时，先根据坐标系内点的坐标特点确定，坐标的正负，然后列出不等式（或方程）解答．同时也可利用这一特点由点的坐标确定点所在的象限．

（二）确定点的坐标：

例4、（2007年杭州市）点

在第二象限内，

到

轴的距离是4，到

轴的距离是3，那么点

的坐标为（）

A．（－4,3）B．（－3,－4）C．（－3,4）D．（3,－4）

解析：

首先由点

在第二象限内，知道它的横坐标小于0，纵坐标大于0，再由到

轴的距离是4，到

轴的距离是3，得横坐标应为－3,纵坐标应为4，故点

的坐标为（－3,4），应选C．

提示：

此题主要考查了点的坐标与它到横、纵坐标轴的距离之间的关系，解这类题的最佳方法可通过画示意图来解决．

（三）确定对称点的坐标（拓展考点）：

例5、（2007年怀化市）已知点

关于

轴的对称点为

，则

的值是（　　）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

解析：

因为点P与点Q关于

轴的对称，其规律为“纵坐标不变，横坐标互为相反数”，所以a＝－（－2）＝2，b＝3，则a＋b＝5，故应选Ｃ．

提示：

关于坐标轴对称点的特征有三条

（1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于坐标原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数．

考点三、与平移有关的问题

例6、（2007年哈尔滨改编）

在平面直角坐标系中的位置如图所示．

（1）将

向下平移3个单位长度，画出平移后的

．

解析：

要作△ABC向下平移3个单位的后的△A1B1C12，首先要作出A、B、C三点向下平移3个单位的对应点，然后顺次连接即可；

解：

所画的图形如图所示,此时点A1（－2，0）,B1（－3,－1），C1（－1,－2）．

例7、（2006年南京）在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A、B、D

的坐标分别是（0,0），（5,0），（2,3），则顶点C的坐标是（）

A.（3，7）B.（5，3）

C.（7，3）D.（8，2）

解析：

由AB∥CD可知，C点的纵坐标与点D的纵坐标相同为3，横坐标应为5＋2＝7，即点D坐标为（7，3）．故选C．

提示：

解答平行于坐标轴直线上点的坐标时，平行条件往往被忽略，而这类问题的关键在于找出与已知点平行的横坐标或纵坐标的值，以此为突破确定其他点的坐标．

考点四、建立直角坐标系

例8、（2007年泸州市）如图1是某市市区四个旅游景点示意图（图中每个小正方形的边长为1个单位长度），请以某景点为原点，建立平面直角坐标系，用坐标表示下列景点的位置．①动物园，②烈士陵园．

解析：

答案不唯一，若以金凤广场为坐标原点，其水平线为x轴，垂直线为y轴，则①动物园坐标为（1，2）；②烈士陵园坐标为（－2，3）．

提示：

这是一道开放性试题，当建立的直角坐标系不同，其点的坐标也就不同，但要注意，一旦直角坐标系确定以后，点的坐标也就确定了．

考点五、创新考点：

（一）规律探索型：

例9、（2006年淮安市中考试题）如图2，已知Al（1，0）、A2（1，1）、A3（－1，1）、A4（－1，－1）、A5（2，－1）、….则点A2007的坐标为________.

　解析：

依题意，得第一象限里的点分别是A2、A6、A10、…，第二象限里的点分别是A3、A7、A11、…，第三象限里的点分别是A4、A8、A12、…，第四象限里的点分别是A5、A9、A13、…，由此可见点A2007是在第二象限内，而第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，且绝对值相等，并且由观察、推理、归纳得到A3（－1，1）、A7（－2，2）、A11（－3，3）、…，因为2007＝501…3，所以点A2007的坐标应该是（－502，502）.

提示：

求解本题时要于归纳、猜想、验证，从中找到点坐标的规律，从而使问题获解.

（二）阅读理解型：

例10、在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点，设坐标轴的单位长度为1cm，整点P从原点O出发，速度为1cm/s，且整点P作向上或向右运动（如图1所示.运动时间（s）与整点（个）的关系如下表:

整点P从原点出发的时间（s）

可以得到整点P的坐标

可以得到整点P的个数

1

（0,1）（1,0）

2

2

（0,2）（1,1）,（2,0）

3

3

（0,3）（1,2）（2,1）（3,0）

4

…

…

…

根据上表中的规律,回答下列问题:

（1）当整点P从点O出发4s时,可以得到的整点的个数为________个.

（2）当整点P从点O出发8s时,在直角坐标系中描出可以得到的所有整点,并顺次连结这些整点.

（3）当整点P从点O出发____s时,可以得到整点（16,4）的位置.

图1图2

解析：

本题为阅读型规律探索题，解决问题时需要认真阅读题意，即可根据题意写出整点的可能位置和坐标确定整点的个数，也