人教版部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形习题含答案 78.docx
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人教版部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形习题含答案78
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题（含答案）
已知DB∥EH，F是两条射线内一点，连接DF、EF．
（1）如图1：
求证：
∠F＝∠D+∠E；
（2）如图2：
连接DE，∠BDE、∠HED的角平分交于点F时，求∠F的度数；
（3）在
（2）条件下，点A是射线DB上任意一点，连接AF，并延长交EH于点G，求证：
AF＝FG．
【答案】
（1）见解析；
（2）
；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）过点F作FM∥BD，则FM∥HE，又根据FM∥BD，即可有∠1＝∠D，∠2＝∠E，则可证明∠F＝∠D+∠E；
（2）根据角平分线得出∠3＝∠5，∠4＝∠6，DB∥HE得出∠3+∠5+∠4+∠6＝1800，即可证明∠F＝900；（3）过F点作BD的垂线，垂足为K，延长KF交EH于点I；过F点作FJ垂线于点J，根据DA∥EH得出∠AKF＝∠GIF＝900，由角平分线得出KF＝FJ，FI＝FJ，所以KF＝FI，则可证明△AKF≌△GIF，所以AF＝FG.
【详解】
（1）过点F作FM∥BD，则FM∥HE，
∵FM∥BD，FM∥HE
∴∠1＝∠D，∠2＝∠E
∵∠F＝∠1+∠2
∴∠F＝∠D+∠E
（2）
∵DF是角平分线
∴∠3＝∠5
又∵EF是角平分线
∴∠4＝∠6
又∵DB∥HE
∴∠3+∠5+∠4+∠6＝1800
∴∠5+∠6＝900
∴∠F＝900
（3）过F点作BD的垂线，垂足为K，延长KF交EH于点I；过F点作FJ垂线于点J
∵DA∥EH
∴∠AKF＝∠GIF＝900
∵DF是角平分线
∴KF＝FJ
EF是角平分线
∴FI＝FJ
∴KF＝FI
在△AKF和△GIF中
∴△AKF≌△GIF（AAS）
∴AF＝FG
【点睛】
本题考查了平行线、角平分线、三角形全等等知识点，综合性较强，熟练掌握各个知识点，并学会综合运用是解题的关键.
72．如图，在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．
求证：
（1）△BEC≌△CDA；
（2）若BE=2，CE=5，求DE．
【答案】
（1）见解析；
（2）3.
【解析】
【分析】
（1）易证∠CAD=∠BCE，即可证明△CDA≌△BEC，即可解题；
（2）根据
（1）得△CDA≌△BEC，则有CD＝BE，则可求出DE.
【详解】
解：
（1）
∠BCE+∠DCA＝900，∠DAC+∠DCA＝900.
∴∠BCE＝∠DAC；
在△BEC和△DAC中，
∴△BEC≌△DAC（AAS）
（2）
△BEC≌△DAC
∴CD＝BE＝2
∴DE＝CE－CD＝5－2=3
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△CDA≌△BEC是解题的关键．
73．如图，△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG，EF.
（1）说明：
BG=CF；
（2）BE，CF与EF这三条线段能否组成一个三角形？
【答案】见解析
【解析】
【分析】
（1）由BG∥AC得出∠DBG=∠DCF,从而利用ASA得出△BGD与△CFD全等，进一步证得结论
（2）根据△BGD与△CFD全等得出GD=FD,BG=CF,再又因为DE⊥GF，从而得出EG=EF,从而进一步得出结论
【详解】
（1）∵BG∥AC
∴∠DBG=∠DCF
又∵D为BC中点
∴BD=CD
又∵∠BDG=∠CDF
∴△BGD
△CFD（ASA）
∴BG=CF
（2）能
证明如下：
∵△BGD
△CFD
∴BG=CF，GD=DF
又∵DE⊥GF
∴GE=EF
∵BE,BG,GE组成了△BGE
∴BE,BG,GE三边满足三角形三边的关系
同理，与BG,GE相等的两边CF,EF与BE三条线段亦满足三角形三边关系
∴BE,CF,EF这三条线段可以组成三角形
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判断及性质是关键
74．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（2，2）．
（Ⅰ）若点B（4，2），C（3，5），请判断△ABC的形状，并说明理由；
（Ⅱ）已知点M（m，0），N（0，n）（n＜0），若∠MAN＝90°，且mn＝﹣
，求m2+n2的值．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）画出图形即可判断．
（Ⅱ）如图2中，作AD⊥y轴于D，AE⊥OM于E．证明△ADN≌△AEM（ASA），推出DN=EM，可得2-n=m-2，即m+n=4，再利用完全平方公式即可解决问题．
【详解】
解：
（Ⅰ）如图1中，A（2，2），B（4，2），C（3，5），
∴△ABC如图示
观察图形可知CA＝CB，
∴△ABC是等腰三角形．
（Ⅱ）如图2中，作AD⊥y轴于D，AE⊥OM于E．
∵A（2，2），
∴AD＝AE，四边形ADOE是正方形，
∵∠DAE＝∠MAN＝90°，
∴∠DAN＝∠MAE，
∵∠ADN＝∠MEA＝90°，
∴△ADN≌△AEM（ASA），
∴DN＝EM，
∴2﹣n＝m﹣2，
∴m+n＝4，
∴m2+2mn+n2＝16，
∵
，
∴
．
【点睛】
本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的应用，完全平方公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
75．已知∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，BE＝AE+AF，连结BF，判断△BDF的形状，并说明理由．
【答案】△BDF是等腰三角形，理由见解析
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质得出DC=DE，再根据全等三角形的判定得出△ACD≌△AED，可得AE=AC，由BE=AE+AF可得出BE=CF，再证明△FCD≌△BED，进而得出BD=FD，则结论得证．
【详解】
解：
△BDF是等腰三角形，理由如下：
∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，∠ACB＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC，
∵BE＝AE+AF，
∴BE＝AC+AF＝CF，
在Rt△FCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△FCD≌Rt△BED（SAS），
∴BD＝FD，
即△BDF是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
76．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB＝AE，AF平分∠CAE交DE于F．
（1）如图1，连CF，求证：
∠ABE＝∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC＝60°时，求证：
AF+EF＝FB；
（3）如图3，当∠ABC＝45°时，若BD平分∠ABC，求证：
BD＝2EF．
【答案】
（1）详见解析；
（2）详见解析；（3）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）先根据SAS证得△ACF≌△AEF，推出∠E＝∠ACF，再根据等腰三角形性质推出∠E＝∠ABF，即可得出结论；
（2）在FB上截取BM＝CF，连接AM，证△ABM≌△ACF，推出EF＝FC＝BM，AF＝AM，再证得△AMF是等边三角形，于是可得MF＝AF，即可证得结论；
（3）连接CF，延长BA、CF交N，根据ASA证△BFC≌△BFN，推出CN＝2CF＝2EF，再根据ASA证明△BAD≌△CAN，推出BD＝CN，即可得出答案．
【详解】
证明：
（1）∵AF平分∠CAE，∴∠EAF＝∠CAF，
∵AB＝AC，AB＝AE，∴AE＝AC，
在△ACF和△AEF中，
，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴∠E＝∠ACF，
∵AB＝AE，∴∠E＝∠ABE，
∴∠ABE＝∠ACF．
（2）∵△ACF≌△AEF，∴EF＝CF，∠E＝∠ACF＝∠ABM，
在FB上截取BM＝CF，连接AM，如图2，
在△ABM和△ACF中，
，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠CAF，
∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠MAF＝∠MAC+∠CAF＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°，
∵AM＝AF，∴△AMF为等边三角形，
∴AF＝AM＝MF，
∴AF+EF＝BM+MF＝FB，
即AF+EF＝FB．
（3）连接CF，延长BA、CF交于点N，如图3，
∵∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，AB＝AC，
∴∠ABF＝∠CBF＝22.5°，∠ACB＝45°，∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
由
（1）的结论得：
∠ACF＝∠ABF＝22.5°，
∴∠BFC＝180°﹣22.5°﹣45°﹣22.5°＝90°，
∴∠BFN＝∠BFC＝90°，
在△BFN和△BFC中，
，
∴△BFN≌△BFC（ASA），∴CF＝FN，
由
（2）题得：
CF＝EF，
则CN＝2CF＝2EF，
∵∠BAC＝90°，∴∠NAC＝∠BAD＝90°，
在△BAD和△CAN中，
，
∴△BAD≌△CAN（ASA），
∴BD＝CN＝2CF＝2EF．
【点睛】
本题是三角形的综合题，重点考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，其中第
（2）小题解题的关键是在FB上截取BM＝CF，连接AM，构建全等三角形和等边三角形的解题模型；第（3）小题解题的关键是延长BA、CF交于点N，利用两次三角形全等，把证明BD＝2EF的问题转化为证明BD＝CN.
77．如图，△ABC是等边三角形，点D是线段AC上的一动点，E在BC的延长线上，且BD＝DE．
（1）如图1，若点D为线段AC的中点，求证：
AD＝CE；
（2）如图2，若点D为线段AC上任意一点，试确定线段AD与CE的大小关系，并说明理由．
【答案】
（1）详见解析；
（2）AD＝CE，理由详见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形三线合一的性质即可求得∠DBC的度数，再根据BD＝DE可求得∠E的度数，进而可求得∠CDE的度数，于是可判断CD与CE的关系，进一步即可得出结论；
（2）作DF∥AB，利用AAS可证△BDF≌△EDC，得BF＝CE，再证AD＝BF即可，而易证△DCF是等边三角形，所以CF=CD，再根据CA=CB，问题即得解决．
【详解】
解：
（1）∵△ABC是等边三角形，点D为线段AC的中点，
∴BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBE＝30°，
∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBE＝30°，
∵∠DCE＝180°﹣∠ACB＝120°，
∴∠CDE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，即∠E＝∠CDE，
∴CD=CE，
∴AD＝CE；
（2）作DF∥AB交BC于点F，如图2，
∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠ABC=60°，∠FDC＝∠A=60°，
∴△DCF是等边三角形，
∴CF=CD，∵CA=CB，∴BF＝AD，
∵∠DFC＝60°，∴∠BFD＝120°，
∵∠ACB=60°，∴∠ACE=120°，
∴∠BFD=∠ECD，
∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBE，
在△BDF和△EDC中，
，
∴△BDF≌△EDC（AAS），
∴BF＝CE，
∴AD＝CE．
【点睛】
本题考查的是等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及全等三角形判定与性质，其中第
（1）小题难度不大，第
（2）小题作DF∥AB交BC于点F，构建全等三角形和等边三角形的模型并运用转化的思想是证明的关键.
78．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于D，BE⊥CD于E，AD＝2.5cm，DE＝1.6cm，求BE的长度．
【答案】0.9cm．
【解析】
【分析】
先根据AAS证明△BCE≌△CAD，得AD＝CE，BE＝CD，求出CD即可解决问题．
【详解】
解：
∵AD⊥CE于D，BE⊥CD于E，
∴∠E＝∠ADC＝90°
∵∠ACB＝90，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
又∵AC＝CB，
∴△BCE≌△CAD（AAS），
∴CE＝AD＝2.5cm，BE＝CD，
∵CD＝CE﹣DE＝2.5﹣1.6＝0.9cm，
∴BE＝CD＝0.9cm．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，难度不大，利用AAS证明△BCE≌△CAD是解题的关键.
79．如图，点
，
，
，
在一条直线上，
，
∥
，
∥
．求证△
≌△
．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
根据ASA即可证得结论.
【详解】
证明：
∵
，
∴
即
．
∵
∥
，
∴
．
∵
∥
，
∴
．
在△
和△
中，
∴△
≌△
（ASA）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
80．如图所示，已知AD=BC，AB=DC，试判断∠A与∠B的关系，下面是小颖同学的推导过程，你能说明小颖的每一步的理由吗?
解：
连接BD
在△ABD与△CDB中
AD=BC（______）
AB=CD（______）
BD=DB（______）
∴△ABD≌△CDB（______）
∴∠ADB=∠CBD（______）
∴AD∥BC（______）
∴∠A+∠ABC=180°（______）
【答案】已知，已知，公共边，SSS，全等三角形对应角相等，内错角相等,两直线平行，两直线平行,同旁内角互补.
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定方法，分析证明过程中的理由，再填写．
【详解】
连接BD
在△ABD与△CDB中
∵AD=BC（已知）
AB=CD（已知）
BD=DB（公共边）
∴△ABD≌△CDB（SSS）
∴∠ADB=∠CBD（全等三角形对应角相等）
∴AD∥BC（内错角相等,两直线平行）
∴∠A+∠ABC=180°（两直线平行,同旁内角互补）
故答案为：
已知，已知，公共边，SSS，全等三角形对应角相等，内错角相等,两直线平行，两直线平行,同旁内角互补.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
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