八年级上勾股定理的逆定理同步练习含答案.docx
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八年级上勾股定理的逆定理同步练习含答案
八年级上勾股定理的逆定理同步练习含答案
一．选择题（共7小题）
1．下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（ ）
A．3，4，4B．3，4，5C．3，4，6D．3，4，7
2．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠CB．∠A：
∠B：
∠C=1：
2：
3
C．a2=c2﹣b2D．a：
b：
c=3：
4：
6
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则（ ）
A．∠A为直角B．∠C为直角
C．∠B为直角D．不是直角三角形
4．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（ ）
A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形
5．用a、b、c作三角形的三边，其中不能构成的直角三角形的是（ ）
A．b2=（a+c）（a﹣c）B．a：
b：
c=1：
2：
C．a=32，b=42，c=52D．a=6，b=8，c=10
6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°
C．如果∠A：
∠B：
∠C=1：
3：
2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2：
b2：
c2=9：
16：
25，那么△ABC是直角三角形
7．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠C=∠BB．a=
，b=
，c=
C．（b+a）（b﹣a）=c2D．∠A：
∠B：
∠C=5：
3：
2
二．填空题（共7小题）
8．若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的高为______．
9．一个三角形的三边长之比为5：
12：
13，它的周长为120，则它的面积是______．
10．如图，三个正方形的面积分别为S1=3，S2=2，S3=1，则分别以它们的一边为边围成的三角形中，∠1+∠2=______度．
11．观察下列勾股数
第一组：
3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1
第二组：
5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1
第三组：
7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1
第四组：
9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1
…观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是______（只填数，不填等式）
12．如图所示，在△ABC中，AB：
BC：
CA=3：
4：
5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为______cm2．
13．三角形的三边分别为a，b，c，且（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，则三角形的形状为______．
14．所谓的勾股数就是指使等式a2+b2=c2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n（m＞n），取a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，则a、b、c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和______组成一组勾股数．
三．解答题（共8小题）
15．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？
16．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4
，CD=8．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
17．已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2=AC2，
①求证：
∠A=90°．
②若DE=3，BD=4，求AE的长．
18．能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．
（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；
（2）写出当a=17时，b，c的值．
3，4，5
32+42=52
5，12，13，
52+122=132
7，24，25
72+242=252
9，40，41
92+402=412
…
…
17，b，c
172+b2=c2
19．在△ABC中，c为最长边．当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC是钝角三角形；当a2+b2＞c2时，△ABC是锐角三角形．若a=2，b=4，试判断△ABC的形状（按角分），并求出对应的c的取值范围．
20．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．
（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为______三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为______三角形．
（2）猜想，当a2+b2______c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2______c2时，△ABC为钝角三角形．
（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．
21．在寻找马航MH370航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．接到消息后，一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O（如图所示）向北偏东40°方向航行，另一艘舰艇在同时以12海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？
22．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：
a=______，b=______，c=______；
（2）猜想：
以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．
参考答案
一．选择题（共7小题）
1．下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（ ）
A．3，4，4B．3，4，5C．3，4，6D．3，4，7
【分析】在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可．
【解答】解：
A、因为32+42＞42，所以三条线段能组锐角三角形，不符合题意；
B、因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形，不符合题意；
C、因为3+4＞6，且32+42＜62，所以三条线段能组成钝角三角形，符合题意；
D、因为3+4=7，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意．
故选：
C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．掌握组成钝角三角形的条件是解题的关键．
2．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠CB．∠A：
∠B：
∠C=1：
2：
3
C．a2=c2﹣b2D．a：
b：
c=3：
4：
6
【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．
【解答】解：
A、∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；
B、∠A：
∠B：
∠C=1：
2：
3，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；
C、由a2=c2﹣b2，得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选D．
【点评】本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则（ ）
A．∠A为直角B．∠C为直角
C．∠B为直角D．不是直角三角形
【分析】先把等式化为a2﹣b2=c2的形式，再根据勾股定理的逆定理判断出此三角形的形状，进而可得出结论．
【解答】解：
∵（a+b）（a﹣b）=c2，
∴a2﹣b2=c2，即c2+b2=a2，故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边，
∴∠A为直角．
故选A．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（ ）
A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形
【分析】对原式进行化简，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．
【解答】解：
∵原式可化为a2+b2=c2，
∴此三角形是直角三角形．
故选：
C．
【点评】解答此题要用到勾股定理的逆定理：
已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
5．用a、b、c作三角形的三边，其中不能构成的直角三角形的是（ ）
A．b2=（a+c）（a﹣c）B．a：
b：
c=1：
2：
C．a=32，b=42，c=52D．a=6，b=8，c=10
【分析】根据选项中的数据，由勾股定理的逆定理可以判断a、b、c三边组成的三角形是否为直角三角形．勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
【解答】解：
A、∵b2=（a+c）（a﹣c），
∴b2=a2﹣c2，
∴b2+c2=a2，
∴能构成直角三角形，故选项A错误；
B、∵a：
b：
c=1：
2：
，
∴设a=x，则b=2x，c=
x，
∵x2+（
x）2=（2x）2，
∴能构成直角三角形，故选项B错误；
C、∵a=32，b=42，c=52，
∴a2+b2=（32）2+（42）2=81+256=337≠（52）2，
∴不能构成直角三角形，故选项C正确；
D、∵a=6，b=8，c=10，
62+82=36+64=100=102，
∴能构成直角三角形，故选项D错误；
故选C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理时，可用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°
C．如果∠A：
∠B：
∠C=1：
3：
2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2：
b2：
c2=9：
16：
25，那么△ABC是直角三角形
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可．
【解答】解：
如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；
如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°，B错误；
如果∠A：
∠B：
∠C=1：
3：
2，
设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，
则x+3x+2x=180°，
解得，x=30°，
则3x=90°，
那么△ABC是直角三角形，C正确；
如果a2：
b2：
c2=9：
16：
25，
则如果a2+b2=c2，
那么△ABC是直角三角形，D正确；
故选：
B．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
7．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠C=∠BB．a=
，b=
，c=
C．（b+a）（b﹣a）=c2D．∠A：
∠B：
∠C=5：
3：
2
【分析】由三角形内角和定理得出条件A和B是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可得出条件C是直角三角形，B不是；即可得出结果．
【解答】A、∵∠A+∠C=∠B，
∴∠B=90°，
故是直角三角形，正确；
B、设a=20k，则b=15k，c=12k，
∵（12k）2+（15k）2≠（20k）2，
故不能判定是直角三角形；
C、∵（b+a）（b﹣a）=c2，
∴b2﹣a2=c2，
即a2+c2=b2，
故是直角三角形，正确；
D、∵∠A：
∠B：
∠C=5：
3：
2，
∴∠A=
×180°=90°，
故是直角三角形，正确．
故选：
B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和勾股定理的逆定理是证明直角三角形的关键，注意计算方法．
二．填空题（共7小题）
8．若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的高为 4.8 ．
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再根据三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：
∵三角形三边的长分别为6、8和10，62+82=100=102，
∴此三角形是直角三角形，边长为10的边是最大边，设它的最大边上的高是h，
∴6×8=10h，解得，h=4.8．
【点评】本题考查的是直角三角形的判定定理及三角形的面积公式，比较简单．
9．一个三角形的三边长之比为5：
12：
13，它的周长为120，则它的面积是 480 ．
【分析】设三边的长是5x，12x，13x，根据周长即可求得x的长，则三角形的三边的长即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解．
【解答】解：
设三边的长是5x，12x，13x，
则5x+12x+13x=120，
解得：
x=4，
则三边长是20，48，52．
∵202+482=522，
∴三角形是直角三角形，
∴三角形的面积是
×20×48=480．
故答案是：
480．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形的面积公式，正确判断三角形是直角三角形是关键．
10．如图，三个正方形的面积分别为S1=3，S2=2，S3=1，则分别以它们的一边为边围成的三角形中，∠1+∠2= 90 度．
【分析】根据面积得出AC2+BC2=AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：
∵S1=3，S2=2，S3=1，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°，
故答案为：
90．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理的应用，能根据勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°是解此题的关键．
11．观察下列勾股数
第一组：
3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1
第二组：
5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1
第三组：
7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1
第四组：
9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1
…观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是 15，112，113 （只填数，不填等式）
【分析】通过观察，得出规律：
这类勾股数分别为2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1，由此可写出第7组勾股数．
【解答】解：
∵第1组：
3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1，
第2组：
5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1，
第3组：
7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1，
第4组：
9=2×4+1，40=2×4×（4+1）41=2×4×（4+1）+1，
∴第7组勾股数是2×7+1=15，2×7×（7+1）=112，2×7×（7+1）+1=113，即15，112，113．
故答案为：
15，112，113．
【点评】此题考查的知识点是勾股数，属于规律性题目，关键是通过观察找出规律求解．
12．如图所示，在△ABC中，AB：
BC：
CA=3：
4：
5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为 18 cm2．
【分析】首先设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，利用方程求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的，BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．
【解答】解：
设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为36cm，
AB+BC+AC=36cm，
∴3x+4x+5x=36，
解得x=3，
∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，
∵AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），
∴S△PBQ=
BP•BQ=
×（9﹣3）×6=18（cm2）．
故答案为：
18．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的面积．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键．
13．三角形的三边分别为a，b，c，且（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，则三角形的形状为 等腰直角三角形 ．
【分析】由于（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，利用非负数的性质可得a=b，且a2+b2=c2，根据等腰三角形的定义以及勾股定理的逆定理可得以a，b，c为边的三角形是等腰直角三角形．
【解答】解：
∵（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，
∴a﹣b=0，且a2+b2﹣c2=0，
∴a=b，且a2+b2=c2，
∴以a，b，c为边的三角形是等腰直角三角形．
故答案为等腰直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了等腰三角形的定义以及非负数的性质．
14．所谓的勾股数就是指使等式a2+b2=c2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n（m＞n），取a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，则a、b、c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和 13 组成一组勾股数．
【分析】根据勾股数的定义可得要求的数是852﹣842，再进行计算即可．
【解答】解：
∵852﹣842=132，
∴85（三个数中最大）、84和13组成一组勾股数．
故答案为：
13．
【点评】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：
已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
三．解答题（共8小题）
15．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？
【分析】由勾股定理逆定理可得△ACD与△ABC均为直角三角形，进而可求解其面积．
【解答】解：
∵42+32=52，52+122=132，
即AB2+BC2=AC2，故∠B=90°，
同理，∠ACD=90°
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=
×3×4+
×5×12
=6+30
=36．
【点评】熟练掌握勾股定理逆定理的运用，会求解三角形的面积问题．
16．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4
，CD=8．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】
（1）连接BD，首先证明△ABD是等边三角形，可得∠ADB=60°，DB=4，再利用勾股定理逆定理证明△BDC是直角三角形，进而可得答案；
（2）过B作BE⊥AD，利用三角形函数计算出BE长，再利用△ABD的面积加上△BDC的面积可得四边形ABCD的面积．
【解答】解：
（1）连接BD，
∵AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，DB=4，
∵42+82=（4）2，
∴DB2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=60°+90°=150°；
（2）过B作BE⊥AD，
∵∠A=60°，AB=4，
∴BE=AB•sin60°=4×
=2
，
∴四边形ABCD的面积为：
AD•EB+
DB•CD=
×4×
+
×4×8=4
+16．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及等边三角形的判定和性质，关键是掌握有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
17．已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2=AC2，
①求证：
∠A=90°．
②若DE=3，BD=4，求AE的长．
【分析】
（1）连接CE，由线段垂直平分线的性质可求得BE=CE，再结合条件可求得EA2+AC2=CE2，可证得结论；
（2）在Rt△BDE中可求得BE，则可求得CE，在Rt△ABC中，利用勾股定理结合已知条件可得到关于AE的方程，可求得AE．
【解答】
（1）证明：
连接CE，如图，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE=BE…（2分）
∵BE2﹣EA2=AC2，
∴CE2﹣EA2=AC2，
∴EA2+AC2=CE2，
∴△ACE是直角三角形，即∠A=90°；
（2）解：
∵DE=3，BD=4，
∴BE=
=5=CE，
∴AC2=EC2﹣AE2=25﹣EA2，
∵BC=2BD=8，
∴在Rt△BAC中由勾股定理可得：
BC2﹣BA2=64﹣（5+EA）2=AC2，
∴64﹣（5+AE）2=25﹣EA2，解得AE=
．
【点评】本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用．
18．能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．
（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；
（2）写出当a=17时，b，c的值．
3，4，5
32+42=52
5，12，13，
52+122=132
7，24，25
72+242=252
9，40，41
92+402=412
…
…
17，b，c
172+b2=c2
【分析】
（1）根据表格找出规律再证明其成立；
（2）把已知数据代入经过证明成立的规律即可．
【解答】解：
（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：
①以上各组数均满足a2+b2=c2；
②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；
③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，
如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…
由以上特点我们可猜想并
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