等差数列学案.docx

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等差数列学案

等差数列学案

§2等差数列

第1课时等差数列的概念及通项公式

知能目标解读

1.通过实例，理解等差数列的概念，并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列.

2.探索并掌握等差数列的通项公式的求法.

3.体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的观点解决等差数列问题.

4.掌握等差中项的定义，并能运用它们解决问题.

5.能用等差数列的知识解决一些实际应用问题.

重点难点点拨

重点：

等差数列的概念.

难点：

等差数列的通项公式及其运用.

学习方法指导

1.等差数列的定义

（1）关于等差数列定义的理解，关键注意以下几个方面：

①如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列.

②一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列.

③求公差时，要注意相邻两项相减的顺序.d=an+1-an（n∈N+）或者d=an-an-1（n∈N+且n≥2）.

（2）如何证明一个数列是等差数列?

要证明一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只需证明对任意正整数n,an+1-an是同

一个常数（或an-an-1（n>1）是同一个常数）.这里所说的常数是指一个与n无关的常数.

注意:

判断一个数列是等差数列的定义式：

an+1-an=d（d为常数）.若证明一个数列不是等差数列，可举一个特例进行否定，也可以证明an+1-an或an-an-1（n>1）不是常数，而是一个与n有关的变数即可.

2.等差数列的通项公式

（1）通项公式的推导常用方法：

方法一（叠加法）：

∵{an}是等差数列，

∴an-an-1=d,an-1-an-2=d,

an-2-an-3=d,…,

a3-a2=d,a2-a1=d.

将以上各式相加得：

an-a1=（n-1）d,

∴an=a1+（n-1）d.

方法二（迭代法）：

∵{an}是等差数列，

∴an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…=a1+（n-1）d.

即an=a1+（n-1）d.

方法三（逐差法）：

∵{an}是等差数列，则有

an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）+…+（a2-a1）+a1=a1+（n-1）d.

注意：

等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法，应注意体会并应用.

（2）通项公式的变形公式

在等差数列{an}中，若m，n∈N+，则an=am+（n-m）d.推导如下：

∵对任意的m,n∈N+，在等差数列中，有

am=a1+（m-1）d①

an=a1+（n-1）d②

由②-①得an-am=（n-m）d,

∴an=am+（n-m）d.

注意：

将等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d变形整理可得an=dn+a1-d，从函数角度来看，an=dn+（a1-d）是关于n的一次函数（d≠0时）或常数函数（d=0时），其图像是一条射线上一些间距相等的点，其中公差d是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知道，d=（n≠m）.

（3）通项公式的应用

①利用通项公式可以求出首项与公差;

②可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项;

③若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数.

3.从函数角度研究等差数列的性质与图像

由an=f（n）=a1+（n-1）d=dn+（a1-d），可知其图像是直线y=dx+（a1-d）上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是些正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.

当d>0时，{an}为递增数列，如图（甲）所示.

当d当d=0时，{an}为常数列，如图（丙）所示.

4.等差中项

如果在数a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，

那么A叫做数a与b的等差中项.

注意:

（1）等差中项A=a,A,b成等差数列；

（2）若a,b,c成等差数列，那么b=，2b=a+c,b-a=c-b,a-b=b-c都是等价的；

（3）用递推关系an+1=（an+an+2）给出的数列是等差数列，an+1是它的前一项an与后一项an+2的等差中项.

知能自主梳理

1.等差数列

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的是，我们称这样的数列为等差数列.

2.等差中项

如果在a与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，那么A叫做.

3.等差数列的判断方法

（1）要证明数列{an}是等差数列，只要证明：

当n≥2时，.

（2）如果an+1=对任意的正整数n都成立，那么数列{an}是.

（3）若a,A,b成等差数列，则A＝.

4.等差数列的通项公式

等差数列的通项公式为，它的推广通项公式为.

5.等差数列的单调性

当d>0时，{an}是数列；当d=0时，{an}是数列；当d［答案］1.差同一个常数

2.a与b的等差中项

3.

（1）an-an-1=d（常数）

（2）等差数列（3）

4.an=a1+（n-1）dan=am+（n-m）d

5.递增常递减

思路方法技巧

命题方向等差数列的定义及应用

［例1］判断下列数列是否为等差数列.

（1）an=3n+2；

（2）an=n2+n.

［分析］利用等差数列定义，看an+1-an是否为常数即可.

［解析］

（1）an+1-an=3（n+1）+2-（3n+2）=3（n∈N+）.由n的任意性知，这个数列为等差数列.

（2）an+1-an=（n+1）2+（n+1）-（n2+n）=2n+2,不是常数，所以这个数列不是等差数列.

［说明］利用定义法判断等差数列的关键是看an+1-an得到的结论是否是一个与n无关的常数，若是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列.至于它到底是一个什么样的数列，这些不再是我们研究的范畴.

1n=1

变式应用1试判断数列｛cn｝，cn=是否为等差数列.

2n-5n≥2

［解析］∵c2-c1=-1-1=-2,

cn+1-cn=2（n+1）-5-2n+5=2（n≥2）.

∴cn+1-cn（n≥1）不等于同一个常数，不符合等差数列定义.

∴{cn}不是等差数列.

命题方向等差数列通项公式的应用

［例2］已知数列{an}为等差数列，且a5=11,a8=5,求a11.

［分析］利用通项公式先求出a1和d，再求a11，也可以利用通项公式的变形形式an=am+（n-m）d求解.

［解析］解法一：

设数列{an}的首项为a1,公差为d，由等差数列的通项公式及已知，得

a1+4d=11a1=19

解得.

a1+7d=5d=-2

∴a11=19+（11-1）×（-2）=-1.

解法二：

∵a8=a5+（8-5）d,

∴d===-2.

∴a11=a8+（11-8）d=5+3×（-2）=-1.

［说明］

（1）对于解法一，根据方程的思想，应用等差数列的通项公式先求出a1和d，确定通项，此法也称为基本量法.

（2）对于解法二，根据通项公式的变形公式为：

am=an+（m-n）d,m,n∈N+，进一步变形为d=，应注意掌握对它的灵活应用.

变式应用2已知等差数列{an}中，a10=29,a21=62,试判断91是否为此数列中的项.

a10=a1+9d=29

［解析］设等差数列的公差为d,则有，

a21=a1+20d=62

解得a1=2,d=3.

∴an=2+（n-1）×3＝3n-1.

令an＝3n-1=91,得n=N+.

∴91不是此数列中的项.

命题方向等差中项的应用

［例3］已知a,b,c成等差数列，那么a2（b+c）,b2（c+a）,c2（a+b）是否成等差数列？

［分析］已知a,b,c成等差数列，由等差中项的定义，可知a+c=2b,然后要证其他三项a2（b+c）,b2（c+a）,c2（a+b）是否成等差数列，同样考虑等差中项.当然需用到已知条件a+c=2b.

［解析］因为a,b,c成等差数列，所以a+c=2b,

又a2（b+c）+c2（a+b）-2b2（c+a）

=a2c+c2a+ab（a-2b）+bc（c-2b）

=a2c+c2a-2abc=ac（a+c-2b）=0,

所以a2（b+c）+c2（a+b）=2b2（c+a）,

所以a2（a+c）,b2（c+a）,c2（a+b）成等差数列.

［说明］本题主要考查等差中项的应用，如果a,b,c成等差数列，则有a+c=2b;反之，若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.

变式应用3已知数列｛xn｝的首项x1=3,通项xn=2np+nq（n∈N＋,p,q为常数），且x1、x4、x5成等差数列.求：

p,q的值.

［分析］由x1、x4、x5成等差数列得出一个关于p,q的等式，结合x1=3推出2p+q=3,从而得到p,q.

［解析］由x1=3,得2p+q=3,①

又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得

3＋25p+5q=25p+8q,②

由①②得q=1,∴p=1.

［说明］若三数a,b,c成等差数列，则a+c=2b,即b为a,c的等差中项，这个结论在已知等差数列的题中经常用到.

探索延拓创新

命题方向等差数列的实际应用

［例4］某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？

［解析］由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an,则an-an-1=-20,（n≥2,n∈N＋）,每年获利构成等差数列｛an｝,且首项a1=200,公差d=-20,

所以an=a1+（n-1）d

=200+（n-1）×（-20）=-20n+220.

若an由an＝-20n＋22011,

即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.

［说明］关于数列的应用题，首先要建立数列模型将实际问题数列化.

变式应用42012年将在伦敦举办奥运会，伦敦将会有很多的体育场，为了实际效果，体育场的看台一般呈“辐射状”.例如，某体育场一角的看台座位是这样排列的：

第一排有150个座位，从第二排起每一排都比前一排多20个座位，你能用an表示第n排的座位数吗？

第10排可坐多少人？

［分析］分析题意知，看台上的每一排的座位数组成了一个等差数列.

［解析］由题意知，每排的座位数组成了一个首项为a1=150,公差为d=20的等差数列，

∴an=a1+（n-1）d=150+（n-1）×20=20n+130,

则a10=330,即第10排可坐330人.

名师辨误做答

［例5］已知数列｛an｝,a1=a2=1,an=an-1+2（n≥3）.

（1）判断数列｛an｝是否为等差数列？

说明理由；

（2）求｛an｝的通项公式.

［误解］

（1）∵an=an-1+2,

∴an-an-1=2（为常数），

∴｛an｝是等差数列.

（2）由上述可知，an=1+2（n-1）=2n-1.

［辨析］忽视首项与所有项之间的整体关系，而判断特殊数列的类型是初学者易犯的错误.事实上，数列｛an｝从第2项起，以后各项组成等差数列，而｛an｝不是等差数列，an=f（n）应该表示为“分段函数”型.

［正解］

（1）当n≥3时，an=an-1+2,

即an-an-1=2.

当n=2时，a2-a1=0不满足上式.

∴｛an｝不是等差数列.

（2）∵a2=1,an=an-1+2（n≥3），

∴a3=a2+2=3.

∴a3-a2=2.

当n≥3时，an-an-1=2.

∴an=a2+（n-2）d=1+2（n-2）=2n-3,

又a1=1不满足此式.

1（n=1）

∴an=.

2n-3（n≥2）

课堂巩固训练

一、选择题

1.（2011•重庆文，1）在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则a10=（）

A.12B.14C.16D.18

［答案］D

［解析］该题考查等差数列的通项公式，由其两项求公差d.

由a2=2,a3=4知d==2.

∴a10=a2+8d=2+8×2=18.

2.已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为（）

A.2B.3C.－2D.－3

［答案］C

［解析］∵an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d）,

∴公差为－2，故选C.

3.方程x2-6x+1=0的两根的等差中项为（）

A.1B.2C.3D.4

［答案］C

［解析］设方程x2-6x+1=0的两根为x1、x2,则x1+x2=6.

∴其等差中项为=3.

二、填空题

4.在等差数列{an}中，a2=3,a4=a2+8,则a6=.

［答案］19

［解析］∵a2=3,a4=a2+8,

a1+d=3a1=-1

∴,解得.

a1+3d=a1+d+8d=4

∴a6=a1+5d=-1+20=19.

5.已知a、b、c成等差数列，那么二次函数y=ax2+2bx+c（a≠0）的图像与x轴的交点有个.［答案］1或2

［解析］∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c,

又Δ=4b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0.

三、解答题

6.在等差数列｛an｝中，已知a5=10,a12=31,求通项公式an.

a1+4d=10a1=－2

［解析］由题意得,解得.

a1+11d=31d=3

∴an=-2+（n-1）×3＝3n-5.

课后强化作业

一、选择题

1.等差数列1，-1，-3，-5，…，-89，它的项数为（）

A.92B.47C.46D.45

［答案］C

［解析］∵a1=1，d=-1-1=-2,

∴an=1+（n-1）•（-2）=-2n+3,

由-89=-2n+3，得n=46.

2.如果数列{an}是等差数列，则（）

A.a1+a8a4+a5D.a1a8=a4a5

［答案］B

［解析］设公差为d,则a1+a8-a4-a5=a1+a1+7d-a1-3d-a1-4d=0,

∴a1+a8=a4+a5.

3.已知数列3,9,15,…,3（2n-1）,…,那么81是它的第（）

A.12项B.13项C.14项D.15项

［答案］C

［解析］由3（2n-1）=81,解得n=14.

4.在等差数列{an}中，a2=-5,a6=a4+6,则a1等于（）

A.-9B.-8C.-7D.-4

［答案］B

a1+d=-5

［解析］由题意，得，

a1+5d=a1+3d+6

解得a1=-8.

5.数列{an}中，a1=2,2an+1=2an+1,则a101的值是（）

A.49B.50C.51D.52

［答案］D

［解析］由2an+1=2an+1得an+1-an=，

∴{an}是等差数列,首项a1=2,公差d=,

∴an=2+（n-1）=,

∴a101==52.

6.已知a=,b=,则a,b的等差中项为（）

A.B.C.D.

［答案］A

［解析］===.

7.设数列{an}是递增等差数列，前三项和为12，前三项积为48，则它的首项为（）

A.1B.2C.4D.3

［答案］B

a1+a2+a3=12a1+a3=8

［解析］由题设，,∴a2=4,∴

a1a2a3=48a1a3=12

∴a1,a3是一元二次方程x2-8x+12=0的两根，

又a3＞a1,∴a1=2.

8.{an}是首项为a1=4,公差d=2的等差数列，如果an=2012,则序号n等于（）

A.1003B.1004C.1005D.1006

［答案］C

［解析］∵a1=4,d=2,

∴an=a1+（n-1）d=4+2（n-1）=2n+2,

∴2n+2=2012,

∴n=1005.

二、填空题

9.三个数lg（-）,x,lg（+）成等差数列，则x=.

［答案］0

［解析］由等差中项的运算式得

x==＝0.

10.一个等差数列的第5项a2=10,且a1+a2+a3=3,则a1=,d=.

［答案］-2,3

a5=a1+4d=10a1+4d=10a1=-2

［解析］由题意得,即，∴.

a1+a1+d+a1+2d=3a1+d=1d=3

11.等差数列{an}的前三项依次为x，2x+1，4x+2，则它的第5项为.

［答案］4

［解析］∵2（2x+1）=x+（4x+2）,∴x=0,则a1=0,a2=1,d=a2-a1=1,∴a5=a1+4d=4.

12.在数列{an}中，a1=3，且对于任意大于1的正整数n，点（,）在直线x-y-=0上，则an=.

［答案］3n2

［解析］由题意得-=,

∴数列{}是首项为，公差为的等差数列，

∴=n,∴an=3n2.

三、解答题

13.在等差数列{an}中：

（1）已知a5=-1,a8=2,求a1与d;

（2）已知a1+a6=12,a4=7,求a9.

a1+（5-1）d=-1a1=-5

［解析］

（1）由题意知，解得.

a1+（8-1）d=2d=1

a1+a1+（6-1）d=12a1=1

（2）由题意知，解得，

a1+（4-1）d=7，d=2

∴a9=a1+（9-1）d=1+8×2=17.

14.已知函数f（x）=，数列{xn}的通项由xn=f（xn-1）（n≥2,且n∈N+）确定.

（1）求证：

｛｝是等差数列；

（2）当x1=时，求x100.

［解析］

（1）xn=f（xn-1）=（n≥2,n∈N+），

所以==+，

-=（n≥2,n∈N+）.

所以｛｝是等差数列；

（2）由

（1）知{}的公差为.

又因为x1=,即＝2.

所以=2+（n-1）×，

=2+（100-1）×=35.

所以x100=.

15.已知等差数列｛an｝中，a5+a6+a7=15,a5•a6•a7=45,求数列｛an｝的通项公式.

［分析］显然a6是a5和a7的等差中项，可利用等差中项的定义求解a5和a7，进而求an.［解析］设a5=a6-d,a7=a6+d,

则由a5+a6+a7=15,得3a6=15,

∴a6=5.

a5+a7=10a5=1a5＝9

由已知可得，解得或

a5•a7=9a7=9a7=1

当a5=1时，d=4,

从而a1=-15,an=-15+（n-1）×4=4n-19.

当a5=9时，d=-4,从而a1=25.

∴an=25+（n-1）×（-4）＝－4n+29.

所以数列｛an｝的通项公式为an=4n－19或an=-4n+29.

16.第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算.

（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；

（2）2008年北京奥运会是第几届？

2050年举行奥运会吗？

［解析］

（1）由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列，这个数列的通项公式为

an=1896+4（n-1）=1892+4n（n∈N+）.

（2）假设an=2008，由2008=1892+4n,得n=29.

假设an=2050,2050=1892+4n无正整数解.

所以2008年北京奥运会是第29届，2050年不举行奥运会.

第2课时等差数列的性质

知能目标解读

1.掌握等差数列的项与序号的性质.

2.理解等差数列的项的对称性.

3.能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题.

重点难点点拨

重点：

等差数列的性质.

难点：

应用等差数列的性质解决一些实际问题.

学习方法指导

1.等差数列的公差与斜率的关系

（1）一次函数f（x）=kx+b（k≠0）的图像是一条直线，斜率k=（x1≠x2）.

当k=0时，对于常数函数f（x）=b,上式仍然成立.

（2）等差数列｛an｝的公差本质上是相应直线的斜率.

特别地，如果已知等差数列｛an｝的任意两项an,am,由an=am+（n-m）d,类比直线方程的斜率公式得d=（m≠n）.

2.等差数列的“子数列”的性质

若数列｛an｝是公差为d的等差数列，则

（1）｛an｝去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；

（2）奇数项数列｛a2n-1｝是公差为2d的等差数列；偶数项数列｛a2n｝是公差为2d的等差数列；

（3）若｛kn｝是等差数列，则｛akn｝也是等差数列.

知能自主梳理

1.等差数列的项与序号的性质

（1）两项关系

通项公式的推广：

an=am+（m、n∈N+）.

（2）多项关系

项的运算性质：

若m+n=p+q（m、n、p、q∈N+），则=ap+aq.

特别地，若m+n=2p（m、n、p∈N+），则am+an=.

2.等差数列的项的对称性

有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和（若有中间项则等于中间项的2倍），即a1+an=a2+=ak+=2a（其中n为奇数且n≥3）.

3.等差数列的性质

（1）若｛an｝是公差为d的等差数列，则下列数列：

①｛c+an｝（c为任一常数）是公差为的等差数列；

②｛c•an｝（c为任一常数）是公差为的等差数列；

③｛ank｝（k∈N+）是公差为的等差数列.

（2）若｛an｝、｛bn｝分别是公差为d1、d2的等差数列，则数列｛pan+qbn｝（p、q是常数）是公差为的等差数列.

［答案］1.（n-m）dam+an2ap

2.an-1an-k+1

3.dcdkdpd1+qd2

思路方法技巧

命题方向运用等差数列性质an=am+（n-m）d（m、n∈N+）解题

［例1］若数列{an}为等差数列，ap=q,aq=p（p≠q），则ap+q为（）

A.p+qB.0C.-（p+q）D.

［分析］本题可用通项公式求解.

利用关系式an=am+（n-m）d求解.

利用一次函数图像求解.

［答案］B

［解析］解法一：

∵ap=a1+（p-1）d,

aq=a1+（q-1）d,

a1+（p-1）d=q①

∴

a1+（q-1）d=p②

①-②，得（p-q）d=q-p.∵p≠q,∴d=-1.

代入①，有a1+（p-1）（-1）=q,∴a1=p+q-1.

故ap+q=a1+（p+q-1）d=p+q-1+（p+q-1）（-1）=0.∴应选B.

解法二：

∵ap=aq+（p-q）d,∴q=p+（p-q）d,即q-p=（p-q）d.

∵p≠q,∴d=-1.

故ap+q=ap+［（p+q-p）］d=q+q（-1）=0.∴应选B.

解法三：

不妨设p由△ABE∽△BCF，

得=.

∴=.

∴1=.

得m=0，即ap+q=0.∴应选B.

［说明］本题采用了三种方法，第一种方法使用的是方程思想，由已知建立了两个关于首项a1和公差d的等式，通过解方程组，达到解题目的.第二种方法使用的是通项公式的推广形式an=am+（n-m）d.第三种方法使用的是函数的思想，通过点（p,ap）,（q,aq）,（p+q,ap+q）共线求得其解，这也是解决本类问题较简便的方法.

变式应用1已知｛an｝为等差数列，a15=8,a60=20,求a75.

［解析］解法一：

∵a15=a1+14d,a60=a1+59d,

a1+14d=8

∴，

a1+59d=20

a1=

解得

d=

∴a75=a1+74d=+74×＝24.

解法二：

∵a60=a15+45d,

∴45d=a60-a15=20-8=12,

∴d=.

∴a75=a60+15d=20+15×＝24.

命题方向运用等差数列性质am+an=ap+aq（m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q）解题

［例2］在等差数列{an}中，已知a2+a5+a8=9，a3a5a7=-21，求数列的通项公式.

［分析］要求通项公式，