海南中考数学专题训练3锐角三角函数的实际应用10道.docx

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海南中考数学专题训练3锐角三角函数的实际应用10道

锐角三角函数的实际应用

1.如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC、OB与水平面所形成的夹角∠OCA、∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC.（结果精确到1cm，参考数据：

sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，

≈1.73）．

第1题图

解：

∵tan∠OBC＝tan30°＝

∴OC＝

BC，

∵sin∠OAC＝sin75°＝

≈0.97，

∴

≈0.97,

∴BC≈67（cm）．

答：

该台灯照亮水平面的宽度BC约为67cm.

2.某种三角形台历放置在水平桌面上，其左视图如图②所示，点O是台历支架OA，OB的交点，同时又是台历顶端连接日历的螺旋线圈所在圆的圆心，现测得OA＝OB＝14cm，CA＝CB＝4cm，∠ACB＝120°，台历顶端螺旋连接线圈所在圆的半径为0.6cm.求点O到直线AB的距离．（结果保留根号）

第2题图

解：

如解图，连接AB、OC，并延长OC交AB于点D，

第2题解图

∵OA＝OB，AC＝BC，

∴OC垂直平分AB，即AD＝BD，∠CDA＝90°，

又∠ACB＝120°，∠ACD＝60°，

∴在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，

∴AD＝AC·sin60°＝4×＝2cm，

∵在Rt△AOD中，AD＝2cm，AO＝14cm，

∴OD＝＝＝2cm，

∴点O到直线AB的距离为2cm.

3.如图①是一台仰卧起坐健身器，它主要由支架、坐垫、靠背和档位调节器组成，靠背的角度α可以用档位调节器调节，将图①仰卧起坐板的主体部分抽象成图②，已知OA＝OD＝81cm，OC＝43cm，∠C＝90°，∠A＝20°.求BC的长和点O到地面的距离．（结果保留整数）（参考数据：

sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，tan20°≈0.3640；sin80°≈0.9848，cos80°≈0.1736，tan80°≈5.6713）

第3题图

解：

根据题意可知AC＝OA＋OC＝81＋43＝124（cm），

在Rt△ABC中，tanA＝，

∴BC＝AC·tanA≈124×0.3640≈45（cm），

如解图，过点O作OE⊥AB于点E，

在Rt△AOE中，sinA＝，

∴OE＝OA·sinA≈81×0.3420≈28（cm），

第3题解图

答：

BC的长和点O到地面的距离分别约为45cm和28cm.

4.为了给人们的出行带来方便，某市准备在部分城区实施公共自行车免费服务，如图①是公共自行车的实物图，如图②是公共自行车的车架示意图，点A，D，C，E在同一条直线上，点F在AM上，FD⊥AC于点D，AF＝30cm，DF＝24cm，CD＝35cm，∠EAB＝71°.若∠B＝49°，求AB的长．（结果保留整数，参考数据：

sin71°≈0.9，cos71°≈0.3，tan71°≈2.9，sin49°≈0.8，cos49°≈0.7，tan49°≈1.2，≈1.7）

第4题图

解：

如解图，过点A作AG⊥BC于点G，

第4题解图

∵∠CAB＝71°，∠B＝49°，

∴∠ACB＝60°，

∵FD⊥AC，AF＝30cm，DF＝24cm，

∴AD＝18cm.

在Rt△AGC中，

sin∠ACG＝，cos∠ACG＝，

∴sin60°＝，

∴AG＝53×＝cm.

在Rt△ABG中，

AB＝≈≈56cm，

答：

AB的长约为56cm.

5.“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．

如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°，求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm.参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.986，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）

第5题图

解：

在Rt△CAE中，

AE＝＝≈≈20.7，

在Rt△DBF中，

BF＝＝≈＝40，

∴EF＝AE＋AB＋BF≈20.7＋90＋40＝150.7≈151.

∵四边形CEFH为矩形，

∴CH＝EF≈151.

即高、低杠间的水平距离CH的长约为151cm.

6.图①是一商场的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图②，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：

sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）

第6题图

解：

如解图，连接BC，过点B作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，过点C作CG⊥BE，交BE的延长线于点G，

在Rt△ABE中，∵AB＝AD＝1米，∠A＝37°，

∴BE＝AB·sin37°≈0.6米，AE＝AB·cos37°≈0.8米，

第6题解图

在Rt△CDF中，CD＝AD＝1米，∠D＝45°，

∴CF＝AB·sin45°＝≈0.7米，DF＝CD·cos45°≈0.7米，

∴EG＝CF≈0.7米，GC＝EF＝AD－AE－DF≈2－0.8－0.7＝0.5米，∴BC＝＝≈1.4米．

答：

B、C之间的距离约为1.4米．

7.西成高铁自2017年12月6日正式开通运营，标志着华北地区至西南地区又增加一条大能力、高密度的旅客运输主通道．如图，西成高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离AO＝75cm，展开小桌板使桌面保持水平时，有CB⊥AO，∠AOB＝∠ACB＝37°，且支架长OB与桌面宽BC的长度之和等于OA的长度．求小桌板桌面的宽度BC（结果精确到1cm）．（参考数据sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）

第7题图

解：

如解图，延长CB交OA于点E，延长OB交AC于点F.

设BC＝x，则OB＝OA－BC＝75－x，

第7题解图

∵∠AOB＝∠ACB，∠OBE＝∠CBF，∠AOB＋∠OBE＝90°，

∴∠ACB＋∠CBF＝90°，∴∠BFC＝90°.

在Rt△BFC中，∵sin37°＝，

∴BF＝BC·sin37°＝sin37°·x，

在Rt△OAF中，cos37°＝，

即cos37°＝，

∴x＝≈＝37.5≈38（cm），

∴小桌板桌面的宽度BC约为38cm.

8.为促进农业发展，加快农村建设，某地政府计划扶持兴建一批新型钢管装配式大棚，如图①.线段AB，BD分别表示大棚的墙高和跨度，AC表示保温板的长．已知墙高AB为2米，墙面与保温板所成的角∠BAC＝150°，在点D处测得A点、C点的仰角分别为9°，15.6°，如图②.求保温板AC的长是多少米．（精确到0.1米）（参考数据：

≈0.86，sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16，sin15.6°≈0.27，cos15.6°≈0.96，tan15.6°≈0.28）

图①图②

第8题图

解：

如解图，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E，过点C作CF⊥BD于点F，

第8题解图

∵∠BAC＝150°，

∴在Rt△ACE中，∠EAC＝30°，

设EC＝x，则AE＝x，AC＝2x，

∵EC⊥AB，BD⊥AB，CF⊥BD，

∴四边形ECFB是矩形，

∴CF＝AB＋AE＝2＋x（米），

在Rt△ABD中，AB＝2，∠ADB＝9°，

∴BD＝≈＝（米），

∴DF＝BD－CE＝12.5－x（米），

在Rt△CDF中，CF＝2＋x（米），DF＝12.5－x（米），

∴tan∠CDF＝＝≈0.28，

解得x＝0.75米，

∴AC＝2x＝1.5米．

答：

保温板AC的长约为1.5米．

9.某数码产品专卖店的一块摄像机支架如图所示，将该支架打开立于地面MN上，主杆AC与地面垂直，调节支架使得脚架BE与主杆AC的夹角∠CBE＝45°，这时支架CD与主杆AC的夹角∠BCD恰好等于56°，若主杆最高点A到调节旋钮B的距离为40cm，支架CD的长度为30cm，旋转钮D是脚架BE的中点，求支架最高点A到地面的距离．（结果精确到0.1cm.参考数据：

sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48，≈1.41）

第9题图

解：

如解图，过点D作DG⊥BC于点G，延长AC交MN于点H，则AH⊥MN,

第9题解图

在Rt△DCG中，根据sin∠GCD＝，

得DG＝CD·sin∠GCD＝30×sin56°≈30×0.83＝24.9（cm），

在Rt△BDG中，根据sin∠GBD＝，

得BD＝＝≈≈35.3（cm）．

∵D为BE的中点，

∴BE＝2BD＝70.6cm，

在Rt△BHE中，根据cos∠HBE＝，

得BH＝BE·cos∠HBE＝70.6×≈70.6×≈49.8（cm），

∴AH＝AB＋BH＝40＋49.8＝89.8（cm）．

答：

支架最高点A到地面的距离约为89.8cm.

10.某款折叠床其配套的折叠床板的实物图如图①所示，图②为其抽象的几何图形．将床板折叠到如图②所示位置，点A、B、C在同一条直线上，AG＝BG＝BD＝CD，CD∥BG，BD∥AG，∠DCB＝70°，BC＝0.34米，四边形CDEF为矩形．

（1）求床板完全展开后的总长度；

（2）若∠DCB＝80°时，该床板折叠后具有最好的稳定性，当折叠该床板使其最稳定时，顶点D在垂直方向上有何变化，请说明理由．（结果精确到0.01米，参考数据：

sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75，sin80°≈0.98,cos80°≈0.17,tan80°≈5.67）

第10题图

解：

（1）如解图，过点D作DH⊥BC于点H，由题意可知，△BCD为等腰三角形，∠DCB＝70°，BC＝0.34米，

第10题解图

∴CH＝＝0.17米，

DC＝≈＝0.50米，

∴床板完全展开后的总长度约为0.50×4＝2.00米；

（2）顶点D会在垂直方向上升约0.02米．

理由；当∠DCB＝70°时，DH＝0.5×sin70°≈0.47米，

当∠DCB＝80°时，DH＝0.5×sin80°≈0.49米，

∴0.49－0.47＝0.02米，

∴当折叠该床板使其最稳定时，顶点D会在垂直方向上升约0.02米．