一次函数的图像和画法一.docx

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一次函数的图像和画法一

一次函数的图像和画法一 教学目标

1.掌握一次函数图象及其画法，理解一次函数的性质；

2.体会数形结合思想、分类讨论思想在分析问题和解决问题中的作用；

3.体会从特殊到一般的研究问题的方法；

4.提高学生动手实践的能力和与他人交流合作的意识．

二 目标解析

1.使学生理解函数与函数图象之间的关系，会利用两个合适的点画出一次函数的图象，掌握的正负对图象变化趋势和函数性质的影响．

2.通过描点法来研究一次函数图象，在动手绘制一次函数的图象的过程中，让学生经历“动手----比较----讨论---归纳”的数学活动，通过对一次函数图象的分析，归纳的正负对函数图象变化趋势和函数性质的影响，让学生经历知识的探究、归纳的过程，体会数形结合思想方法和分类讨论思想方法的应用，同时培养学生的观察能力和抽象概括能力．

3.通过从具体一次函数的图象特征抽象得到一般形式一次函数的图象特征，进而得到函数的性质，使学生经历从特殊到一般的研究问题的过程，体会从特殊到一般的研究问题的方法．

4.在探究一次函数的图象和性质的活动中，通过动手实践，互相交流，使学生在探究的过程中，提高与他人交流合作的意识，提高学生的动手实践的能力和探究精神．

三、教学问题诊断分析

   学生对于通过具体函数图象猜想一次函数图象的形状和的正负对于函数图象的变化趋势和函数性质的影响并不困难，但是学生容易停留在只从“形”的角度认识一次函数的图象和性质，不会用函数和变量去思考问题，即从“数”——解析式的角度加深理解．所以，我们在进行教学时，有意识地加强对一次函数与正比例函数解析式的分析与比较，突出数学知识所蕴涵的数学思想和数学方法，以此加深学生对数形结合思想的体会，使学生逐步地增强应用数形结合思想解决问题的意识和能力．

教学难点

理解一次函数的图象和性质，并能灵活应用．

 四、教学支持条件分析

根据本节课的教材内容特点，为了更直观、形象地突出重点、突破难点，提高课堂效率，采用以实践探索为主、多媒体演示为辅的教学组织形式．在教学过程中，通过设置带有探究性的问题，创设问题情境，引导学生动手实践探索，发现归纳结论．利用计算机的《几何画板》软件，并结合学生亲自动手绘制函数图象，让学生亲身体验知识的产生、发展和形成的过程．

五、教学过程设计

学生活动一：

1．用60cm长的绳子围城长方形，如设长方形的一边长为xcm，另一边长为 ycm,你们能写出y与x之间的关系吗？

学生1：

y=30-x.

教师：

y与x之间是函数关系吗？

学生2：

是的，因为当x取一个值时，y就有唯一的值与之对应。

教师:

它是什么函数?

学生3：

是一次函数。

教师：

这里用什么方式表示这个函数的？

学生其回答;用关系式。

教师：

用现有的知识，还能用什么方式便是这个函数呢？

学生4：

用表格。

师生共同根据表格中的数据，在方格纸上分别以每对x,y的值为边长画一系列的长方形。

第二步，操作观察，升化感知。

教师：

将这一系列长方形左下角顶点重合，以其为坐标原点，建立直角坐标系，如图一，按这样的方式摆放的一系列长方形有什么特点？

你看到了什么？

学生5:

这一系列长方形右上角的定点们都在同意直线上。

教师：

观察得很仔细，那这一现象是巧合呢，还是必然呢？

学生活动二：

教师：

怎样画一次函数y=2x+1的图像呢？

学生6：

函数图像的定义告诉我们就必须先给x赋值。

教师：

太棒了，那你准备怎样赋值呢？

用什么方法将这些值呈现出来呢？

学生6:

用表格。

教师：

所以我们先要列表

教师：

这样，我们找到这些有序实数对，在直角坐标系中，有了这些有序实数对，我们就可以.........

学生7：

在直角坐标系中把这些有序数对画出来。

教师：

我们把这一过程叫做描点。

（板书：

描点）

第二步，问题引导，理性思辨。

教师：

（教师展示课件）在自变量1和2之间，我们还可以取值吗？

学生8:

取x为1.5，1.25，1.258.........

教师：

随着点的加密，你看到了什么？

众生：

这些点都在同一条直线上。

教师：

我们再来看一下描出的点，函数图像上的所有的点能秒的清，描得完吗?

学生10：

不能，因为有无数个点。

教师：

那怎么办呢？

你有什么办法在平面直角坐标系中来体现所有的点呢？

学生10：

可以用线来表示，因为这无数个点构成了一条直线。

我们把这些点连起来，就构成了一条直线。

（板书：

连线）

学生总结后，教师展示课件（画函数图像的一般步骤：

1列表；2描点；3画线）

学生活动三：

   当大部分学生还在画一次函数y=-3x+3图像时，有几个学生已经完成了，教师请其中一位学生来解说。

学生11：

列表，取x=1时y=0,再取x=2 时y=-3,然后就可以画线了。

教师：

为什么？

学生11：

因为y=-3x+3是一次函数，一次函数的图像是一条直线，而两点就能确定一条直线。

教师：

学生11事半功倍呀，还有没有同学用两点來画一次函数的图像的，你们说一说看，去了哪两个点？

学生12：

取x=0时y=3,取y=0 时x=1.

教师：

你也是用两点来画一次函数的，那你取得点与学生11有什么不同，为什么会选取x=0和y=0呢？

学生11：

学生12选取的点在坐标轴上，而我选取的两点只有一个在坐标轴上。

教师:

从计算的角度来看都比较方便，但从形的角度来看，学生12的方法比较简便。

挑战自我：

我们知道一次函数的一般式为y=kx+b（k不能为0），能否用含k和b的代数式把同学们所渴望出现的一次函数与坐标轴的交点坐标表示出来吗？

学生13：

与x轴的交点坐标为（-b/k,0）与y轴的交点坐标为（0，b）.

师生共同总结：

在做一次函数y=kx+b（k不能为0）的图像时，一般找直线与坐标轴的两个交点，即（-b/k,0）、（0，b）. 

师生行为：

        学生通过观察、比较得到函数y=-3x与y=-3x+3的图象之间的关系．

    学生讨论函数y=kx+b与y=kx图象的关系并发表自己的看法．

    教师利用《几何画板》进行演示．

    师生一起总结得到：

（1）一次函数y=kx+b的图象是一条直线；

（2）由直线y=kx平移|b|个单位长度得到直线y=kx+b（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）．

    学生画图，交流画法，并总结画一次函数y=kx+b的图象的方法．

    在本次活动中教师应重点关注：

（1）学生在描点画图的过程中，是否注意两个函数图象的关系；

（2）学生能否通过函数解析式（数）对“平移”（形）作出解释；

 设计意图：

    通过参与数学活动，初步感知一次函数的图象，并积累数学活动经验．

（1）从列表、描点、连线开始，让学生在动手操作的过程中从“形”的角度感知一次函数的图象的形状．让学生在描点的过程中感受正比例函数与一次函数图象之间的位置关系．

（2）引导学生通过比较解析式，发现两个解析式仅在常数项上有区别，其他部分完全相同，因此，对于自变量的任一值，这两个函数相应的值总差同一个常数．这反映在图象上，就是在横坐标相同的情况下，两个函数图象上对应的纵坐标总差同一个值，

      即将正比例函数的图象经过向上或向下的平移得到相应的一次函数的图象．由此，引导学生从“数”的角度认识一次函数图象，进而在理解正比例函数图象的基础上来认识一般的一次函数的图象．

  （3）将以前学过的平移与现在讨论的函数图象联系起来，增强学生对函数y=kx+b与函数y=kx的认识，让学生体会数形结合思想的应用．

  （4）通过展示学生的不同画法，找到简便的画法，让学生感受到数学的简洁美．

学生活动4：

自主实践，深入研究

     在同一直角坐标系中画出以下函数的图象

     y=x-1,y=-x-1,y=0.5x-1,y=-2x-1

     观察上面四个一次函数的图象，探究一次函数y=kx+b中k的正负对函数图象有什么影响，并在此基础上表述函数的性质．

师生行为：

     一位学生利用实物投影仪展示，并谈谈自己的画法．分析每条直线的变化趋势，观察k的正负对函数图象变化趋势的影响，进而总结函数性质．

    当k>0时，直线y=kx+b从左向右上升，y随x的增大而增大；当k<0时，直线y=kx+b从左向右下降，y随x的增大而减小．

    在本次活动中教师应重点关注：

（1）学生在用两点法画图时是否能选择合适的点；

（2）学生是否注意到一次函数的性质与k有关，且与正比例函数的性质相同

   （3）学生从“数”与“形”两个方面去理解和掌握一次函数的性质．

 设计意图：

（1）通过动手实践，巩固两点法画图的方法，让学生通过观察直观地得到一次函数的y随x的变化而变化的情况以及k的正负对函数图象的影响，培养学生观察分析的能力和从图象中获取信息的能力．

（2）通过类比正比例函数的性质，加深对一次函数的y随x的变化而变化的情况的理解．

    （3）让学生经历画图——类比——归纳的数学活动过程．

问题与情境：

活动4：

反馈练习，夯实基础

    1．直线y=2x-3与轴x交点坐标为（      ）, 与y轴交点坐标为（       ），图象经过第

    （     ） 象限，y随x的增大而（          ）． 

    2．函数y=-3x-2随x的增大而（         ）．它的图象可由直线y=-3x向 （    ）平移（     ）个单位得到．

师生行为：

    学生独立完成，教师巡视，了解学生对知识的掌握情况．

    师生共评，及时纠正学生的错误．

    在本次活动中教师应重点关注：

（1）学生在练习中反映出的问题，有针对性地讲解；

（2）学生对数形结合思想和分类讨论思想的掌握与运用．

 设计意图：

     通过一系列的练习，可以实现知识向能力的转化．学生在尝试运用一次函数的图象和性质解决问题的过程中，进一步加深了对一次函数的图象和性质的理解．同时训练学生运用数形结合思想解决问题的意识和能力．

学生活动五：

小结评价，畅谈收获

    通过这节课的学习，你有什么收获？

师生行为：

     教师引导学生归纳总结本节课所学的知识．

      在本次活动中教师应重点关注：

（1）学生对本节课的知识结构是否清晰；

（2）学生是否通过数学活动体会到数形结合思想和分类讨论思想的运用；

     （3）学生的数学表达能力是否得到锻炼；

     （4）学生是否体会到类比正比例函数来研究一次函数的方法．

设计意图：

     课堂小结不仅可以使学生从总体上把握知识，强化对知识的理解和记忆，还可以培养学生的数学语言表达能力．引导学生积极地参与总结，提高独立分析和自主小结的能力，使学生在对一次函数的图象和性质有一个全面认识的基础上，提高对

     数学思想方法的认识和运用． 

问题与情境：

布置作业，学以致用

      1．阅读作业：

阅读课本，整理笔记，完成学案中的归纳表格．

      2．巩固作业：

教科书中的题．

      3．探究作业：

思考求一次函数的解析式需要几个条件，如何求？

师生行为：

     教师用课件展示作业内容

设计意图：

（1）阅读作业的目的为了培养学生的数学阅读能力，同时养成学生及时复习梳理知识的良好学习习惯．

（2）通过巩固性作业使学生巩固落实课堂所学的知识．

     （3）探究作业是为下节课学习利用待定系数法求一次函数解析式作铺垫．