人教版八年级上册知识点试题精选因式分解运用公式法.docx
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人教版八年级上册知识点试题精选因式分解运用公式法
因式分解-运用公式法
一.选择题(共20小题)
1.9(a﹣b)2+12(a2﹣b2)+4(a+b)2因式分解的结果是( )
A.(5a﹣b)2B.(5a+b)2C.(3a﹣2b)(3a+2b)D.(5a﹣2b)2
2.下列多项式中,能用公式法分解因式的是( )
A.﹣m2+n2B.a2﹣2ab﹣b2C.m2+n2D.﹣a2﹣b2
3.下列多项式中不能用完全平方公式因式分解的是( )
A.9a2﹣6a+1B.a2﹣6a+9C.a2﹣2a+4D.a2﹣2ab+b2
4.下列各式可以用平方差公式的是( )
A.(﹣a+4c)(a﹣4c)B.(x﹣2y)(2x+y)C.(﹣3a﹣1)(1﹣3a)D.
5.下列各式中,能运用平方差公式分解的多项式是( )
A.x2+y2B.1﹣x2C.﹣x2﹣y2D.x2﹣xy
6.下列多项式中,与﹣x﹣y相乘的结果是x2﹣y2的多项式是( )
A.y﹣xB.x﹣yC.x+yD.﹣x﹣y
7.若多项式(2x)n﹣81能分解成(4x2+9)(2x+3)(2x﹣3),那么n=( )
A.2B.4C.6D.8
8.下列各多项式:
①﹣x2﹣y2;②﹣y2+x2;③x2﹣2xy﹣y2;④x2﹣x+1;⑤﹣x2﹣2xy﹣y2;⑥1﹣
m+
m2,其中可运用公式法来因式分解的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.小明在抄分解因式的题目时,不小心漏抄了二项式x2﹣口y2(“口”表示漏抄的部分)中y2前的式子,若该二项式能因式分解,则“□”不可能是( )
A.xB.4C.﹣4D.9
10.下列因式分解正确的是( )
A.a(x+y)=ax+ayB.10t2﹣5t=5t(2t﹣1)
C.y2﹣4y+3=(y﹣2)2﹣1D.x2﹣16+3x=(x+4)(x﹣4)+3x
11.把多项式x2﹣6x+9分解因式,结果正确的是( )
A.(x+3)(x﹣3)B.(x﹣9)2C.(x﹣3)2D.(x+9)(x﹣9)
12.下列多项式中,不能运用公式进行分解因式的是( )
A.a2+b2B.x2﹣9C.m2﹣n2D.x2+2xy+y2
13.有一个式子为x2+6x+△=(x+Ω)2,则( )
A.△=9,Ω=3B.△=6,Ω=3C.△=3,Ω=9D.△=3,Ω=6
14.下列各多项式中,能用公式法因式分解的是( )
A.﹣b2+2abB.25n2+10nC.9﹣6a+a2D.a2+b2+2a
15.下列多项式,能用平方差公式分解的是( )
A.﹣x2﹣4y2B.9x2+4y2C.﹣x2+4y2D.x2+(﹣2y)2
16.下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是( )
A.x2+y2B.﹣x2﹣y2C.x2﹣(y﹣2)2D.x2﹣y2﹣2xy
17.如果a+b=2,那么a2+2ab+b2的值是( )
A.2B.4C.﹣2D.﹣4
18.下列各式中不能用公式法分解因式的是( )
A.x2﹣6x+9B.﹣x2+y2C.x2+2x+4D.﹣x2+2xy﹣y2
19.多项式x2﹣4分解因式的结果是( )
A.(x+2)(x﹣2)B.(x﹣2)2C.(x+4)(x﹣4)D.x(x﹣4)
20.把多项式分解因式,正确的结果是( )
A.4a2+4a+1=(2a+1)2B.a2﹣4b2=(a﹣4b)(a+b)
C.a2﹣2a﹣1=(a﹣1)2D.(a﹣b)(a+b)=a2﹣b2
二.填空题(共15小题)
21.分解因式:
a2+6ab+9b2= .
22.分解因式:
x2﹣1= .
23.因式分解:
9x2﹣4= .
24.分解因式:
m2﹣2m+1= .
25.分解因式:
x2﹣4= .
26.把9m2﹣36n2分解因式的结果是 .
27.因式分解:
m2﹣4mn+4n2= .
28.因式分解:
(a+b)2﹣4b2= .
29.分解因式:
a2+2ab+b2= .
30.分解因式:
9﹣b2= .
31.若多项式x2+mx+4在整数范围内可分解因式,则m的值是 .
32.分解因式:
9x2﹣(x+2y)2= .
33.多项式x2+mx+25能用完全平方公式分解因式,则m= .
34.当整数a为 时(只写一个),多项式x2+a能用平方差公式分解因式.
35.分解因式:
27x2+18x+3
2x2﹣8=
9a﹣a3=
2x2﹣12x+18=
2m2﹣8n2= .
三.解答题(共15小题)
36.因式分解:
25﹣16x2.
37.分解因式:
(1)2a3﹣4a2b+2ab2;
(2)x4﹣y4
38.下面是某同学对多项式(x2﹣4x+2)(x2﹣4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:
设x2﹣4x=y,
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2﹣4x+4)2(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 .
A.提取公因式
B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式
D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底?
.(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果 .
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1进行因式分解.
39.分解因式:
(x﹣1)(x﹣3)+1.
40.因式分解:
(x2+4)2﹣16x2.
41.分解因式:
(a2+1)2﹣4a2.
42.因式分解:
(1)4x2﹣9y2;
(2)x(a﹣b)﹣y(b﹣a)
43.
(1)因式分解:
(x2+1)2﹣4x2
(2)解方程组
.
44.因式分解:
(1)6xy2﹣9x2y﹣y3
(2)(p﹣4)(p+1)+3p.
45.因式分解:
(1)4(a﹣b)2﹣16(a+b)2
(2)81a4﹣b4.
46.因式分解:
16﹣a4.
47.把两个多项式:
x2+2x﹣1,
x2+4x+1进行加法运算,并把结果分解因式.
48.分解因式:
a4﹣(2a﹣1)2.
49.因式分解:
m4﹣2m2+1.
50.因式分解:
25(m+n)2﹣(m﹣n)2.
因式分解-运用公式法
参考答案与试题解析
一.选择题(共20小题)
1.9(a﹣b)2+12(a2﹣b2)+4(a+b)2因式分解的结果是( )
A.(5a﹣b)2B.(5a+b)2C.(3a﹣2b)(3a+2b)D.(5a﹣2b)2
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出即可.
【解答】解:
9(a﹣b)2+12(a2﹣b2)+4(a+b)2
=[3(a﹣b)+2(a+b)]2
=(5a﹣b)2.
故选:
A.
【点评】此题主要考查了利用完全平方公式分解因式,熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键.
2.下列多项式中,能用公式法分解因式的是( )
A.﹣m2+n2B.a2﹣2ab﹣b2C.m2+n2D.﹣a2﹣b2
【分析】利用平方差公式及完全平方公式的结构特征判断即可.
【解答】解:
﹣m2+n2=(n+m)(n﹣m),
故选A.
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
3.下列多项式中不能用完全平方公式因式分解的是( )
A.9a2﹣6a+1B.a2﹣6a+9C.a2﹣2a+4D.a2﹣2ab+b2
【分析】其中两项能够写成两个数或式平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍;完全平方公式:
a2±2ab+b2=(a±b)2,判断即可.
【解答】解:
A、9a2﹣6a+1=(3a﹣1)2,能用完全平方公式分解因式,不合题意;
B、a2﹣6a+9=(a﹣3)2,能用完全平方公式分解因式,不合题意;
C、a2﹣2a+4,不能用完全平方公式因式分,符合题意;
D、a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2,能用完全平方公式分解因式,不合题意;
故选:
C.
【点评】本题主要考查了完全平方公式,能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍.
4.下列各式可以用平方差公式的是( )
A.(﹣a+4c)(a﹣4c)B.(x﹣2y)(2x+y)C.(﹣3a﹣1)(1﹣3a)D.
【分析】平方差公式是:
(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2,因此符合(a+b)(a﹣b)结构,才能运用平方差公式计算.
【解答】解:
(﹣3a﹣1)(1﹣3a)=(﹣3a﹣1)(﹣3a+1)=(﹣3a)2﹣1=9a2﹣1.
故选C.
【点评】本题考查了公式法分解因式,熟记平方差公式的结构是解题的关键.
5.下列各式中,能运用平方差公式分解的多项式是( )
A.x2+y2B.1﹣x2C.﹣x2﹣y2D.x2﹣xy
【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式,两项都能写成平方的形式,且符号相反进行分析即可.
【解答】解:
A、x2+y2不能运用平方差公式分解,故此选项错误;
B、1﹣x2能运用平方差公式分解,故此选项正确;
C、﹣x2﹣y2不能运用平方差公式分解,故此选项错误;
D、x2﹣xy不能运用平方差公式分解,故此选项错误;
故选:
B.
【点评】此题考查了平方差公式,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.
6.下列多项式中,与﹣x﹣y相乘的结果是x2﹣y2的多项式是( )
A.y﹣xB.x﹣yC.x+yD.﹣x﹣y
【分析】根据平方差公式分解因式即可得出.
【解答】解:
x2﹣y2,
=(x+y)(x﹣y),
=(﹣x﹣y)(y﹣x).
故选A.
【点评】本题主要考查平方差公式分解因式,熟记公式结构是解题的关键.平方差公式:
x2﹣y2=(x+y)(x﹣y).
7.若多项式(2x)n﹣81能分解成(4x2+9)(2x+3)(2x﹣3),那么n=( )
A.2B.4C.6D.8
【分析】分解因式得结果利用平方差公式化简,即可确定出n的值.
【解答】解:
∵(4x2+9)(2x+3)(2x﹣3)=(4x2+9)(4x2﹣9)=16x4﹣81=(2x)n﹣81,
∴n=4.
故选B.
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.
8.下列各多项式:
①﹣x2﹣y2;②﹣y2+x2;③x2﹣2xy﹣y2;④x2﹣x+1;⑤﹣x2﹣2xy﹣y2;⑥1﹣
m+
m2,其中可运用公式法来因式分解的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】分别利用平方差公式以及完全平方公式分解因式得出答案.
【解答】解:
①﹣x2﹣y2=﹣(x2+y2),不能进行因式分解;
②﹣y2+x2=(x+y)(x﹣y);
③x2﹣2xy﹣y2,不能进行因式分解;
④x2﹣x+1,不能进行因式分解;
⑤﹣x2﹣2xy﹣y2=﹣(x+y)2;
⑥1﹣
m+
m2=(1﹣
m)2.
综上所述,其中可运用公式法来因式分解的有3个.
故选:
C.
【点评】此题主要考查了公式法分解因式,正确应用公式是解题关键.
9.小明在抄分解因式的题目时,不小心漏抄了二项式x2﹣口y2(“口”表示漏抄的部分)中y2前的式子,若该二项式能因式分解,则“□”不可能是( )
A.xB.4C.﹣4D.9
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案.
【解答】解:
A、x2﹣xy2=x(x﹣y2),故此选项不合题意;
B、x2﹣4y2=(x+2y)(x﹣2y),故此选项不合题意;
C、x2+4y2,无法分解因式,故此选项符合题意;
D、x2﹣9y2=(x+3y)(x﹣3y),故此选项不合题意.
故选:
C.
【点评】此题主要考查了公式法分解因式,正确应用公式是解题关键.
10.下列因式分解正确的是( )
A.a(x+y)=ax+ayB.10t2﹣5t=5t(2t﹣1)
C.y2﹣4y+3=(y﹣2)2﹣1D.x2﹣16+3x=(x+4)(x﹣4)+3x
【分析】分别利用因式分解的定义以及整式的乘法运算法则分别判断得出即可.
【解答】解:
A、a(x+y)=ax+ay,是整式的乘法运算,故此选项错误;
B、10t2﹣5t=5t(2t﹣1),是因式分解,符合题意;
C、y2﹣4y+3=(y﹣2)2﹣1,不是因式分解,故此选项错误;
D、x2﹣16+3x=(x+4)(x﹣4)+3x,不是因式分解,故此选项错误;
故选:
B.
【点评】此题主要考查了因式分解以及整式的乘法运算,正确掌握相关概念是解题关键.
11.把多项式x2﹣6x+9分解因式,结果正确的是( )
A.(x+3)(x﹣3)B.(x﹣9)2C.(x﹣3)2D.(x+9)(x﹣9)
【分析】原式利用完全平方公式分解即可.
【解答】解:
原式=(x﹣3)2,
故选C
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
12.下列多项式中,不能运用公式进行分解因式的是( )
A.a2+b2B.x2﹣9C.m2﹣n2D.x2+2xy+y2
【分析】利用平方差公式及完全平方公式判断即可.
【解答】解:
A、原式不能运用公式分解,错误;
B、原式=(x+3)(x﹣3);
C、原式=(m+n)(m﹣n);
D、原式=(x+y)2,
故选A
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键.
13.有一个式子为x2+6x+△=(x+Ω)2,则( )
A.△=9,Ω=3B.△=6,Ω=3C.△=3,Ω=9D.△=3,Ω=6
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可.
【解答】解:
有一个式子为x2+6x+△=(x+Ω)2,则△=9,Ω=3,
故选A
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
14.下列各多项式中,能用公式法因式分解的是( )
A.﹣b2+2abB.25n2+10nC.9﹣6a+a2D.a2+b2+2a
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式得出答案.
【解答】解:
A、﹣b2+2ab=﹣b(b﹣2a),无法运用公式法分解因式,不合题意;
B、25n2+10n=5n(5n+2),无法运用公式法分解因式,不合题意;
C、9﹣6a+a2=(3﹣a)2,符合题意;
D、a2+b2+2a,无法运用公式法分解因式,不合题意;
故选:
C.
【点评】此题主要考查了公式法分解因式,正确应用公式法是解题关键.
15.下列多项式,能用平方差公式分解的是( )
A.﹣x2﹣4y2B.9x2+4y2C.﹣x2+4y2D.x2+(﹣2y)2
【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式,两项都能写成平方的形式,且符号相反进行分析即可.
【解答】解:
A、不能用平方差公式进行分解,故此选项错误;
B、不能用平方差公式进行分解,故此选项错误;
C、能用平方差公式进行分解,故此选项正确;
D、不能用平方差公式进行分解,故此选项错误;
故选:
C.
【点评】此题主要考查了公式法分解因式,关键是掌握能用平方差公式分解的多项式特点.
16.下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是( )
A.x2+y2B.﹣x2﹣y2C.x2﹣(y﹣2)2D.x2﹣y2﹣2xy
【分析】根据能用平方差公式的结构特点,对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解答】解:
A、x2+y2,两平方项的符号相同,故本选项错误;
B、﹣x2﹣y2,两平方项的符号相同,故本选项错误;
C、x2﹣(y﹣2)2=(x+y﹣2)(x﹣y+2),符合平方差公式,正确;
D、x2﹣y2﹣2xy,无法分解因式,故本选项错误.
故选:
C.
【点评】本题考查了公式法分解因式,有两项,都能写成完全平方数的形式,并且符号相反,可用平方差公式分解因式.
17.如果a+b=2,那么a2+2ab+b2的值是( )
A.2B.4C.﹣2D.﹣4
【分析】利用完全平方公式进行分解,然后可得答案.
【解答】解:
a2+2ab+b2=(a+b)2=22=4,
故选:
B.
【点评】此题主要考查了公式法分解因式,关键是掌握a2±2ab+b2=(a±b)2.
18.下列各式中不能用公式法分解因式的是( )
A.x2﹣6x+9B.﹣x2+y2C.x2+2x+4D.﹣x2+2xy﹣y2
【分析】利用平方差公式及完全平方公式分解即可.
【解答】解:
A、原式=(x﹣3)2,不符合题意;
B、原式=(y+x)(y﹣x),不符合题意;
C、原式不能用公式分解,符合题意;
D、原式=﹣(x﹣y)2,不符合题意,
故选C
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键.
19.多项式x2﹣4分解因式的结果是( )
A.(x+2)(x﹣2)B.(x﹣2)2C.(x+4)(x﹣4)D.x(x﹣4)
【分析】直接利用平方差公式进行分解即可.
【解答】解:
x2﹣4=(x+2)(x﹣2),
故选:
A.
【点评】此题主要考查了公式法分解因式,关键是掌握平方差公式:
a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).
20.把多项式分解因式,正确的结果是( )
A.4a2+4a+1=(2a+1)2B.a2﹣4b2=(a﹣4b)(a+b)
C.a2﹣2a﹣1=(a﹣1)2D.(a﹣b)(a+b)=a2﹣b2
【分析】直接利用乘法公式分解因式,进而判断得出答案.
【解答】解:
A、4a2+4a+1=(2a+1)2,正确;
B、a2﹣4b2=(a﹣2b)(a+2b),故此选项错误;
C、a2﹣2a﹣1无法运用公式分解因式,故此选项错误;
D、(a﹣b)(a+b)=a2﹣b2,是多项式乘法,故此选项错误;
故选:
A.
【点评】此题主要考查了公式法分解因式,正确应用乘法公式是解题关键.
二.填空题(共15小题)
21.分解因式:
a2+6ab+9b2= (a+3b)2 .
【分析】直接利用完全平方公式进行因式分解即可.完全平方公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2.
【解答】解:
∵a2+6ab+9b2=(a+3b)2,
故答案为(a+3b)2.
【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式,熟记公式结构是解题的关键.
22.分解因式:
x2﹣1= (x+1)(x﹣1) .
【分析】利用平方差公式分解即可求得答案.
【解答】解:
x2﹣1=(x+1)(x﹣1).
故答案为:
(x+1)(x﹣1).
【点评】此题考查了平方差公式分解因式的知识.题目比较简单,解题需细心.
23.因式分解:
9x2﹣4= (3x﹣2)(3x+2) .
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可.
【解答】解:
9x2﹣4=(3x﹣2)(3x+2).
故答案为:
(3x﹣2)(3x+2).
【点评】此题主要考查了公式法分解因式,熟练应乘法公式是解题关键.
24.分解因式:
m2﹣2m+1= (m﹣1)2 .
【分析】符合完全平方公式的结构形式,直接利用完全平方公式分解因式即可.完全平方公式:
a2±2ab+b2=(a±b)2.
【解答】解:
m2﹣2m+1=(m﹣1)2.
【点评】本题主要考查完全平方公式分解因式,熟记公式结构是解题的关键.
25.分解因式:
x2﹣4= (x+2)(x﹣2) .
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可.
【解答】解:
x2﹣4=(x+2)(x﹣2).
故答案为:
(x+2)(x﹣2).
【点评】本题考查了平方差公式因式分解.能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是:
两项平方项,符号相反.
26.把9m2﹣36n2分解因式的结果是 9(m﹣2n)((m+2n) .
【分析】首先提取公因式9,进而利用平方差公式分解因式得出答案.
【解答】解:
9m2﹣36n2
=9(m2﹣4n2)
=9(m﹣2n)((m+2n).
故答案为:
9(m﹣2n)((m+2n).
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正确应用平方差公式是解题关键.
27.因式分解:
m2﹣4mn+4n2= (m﹣2n)2 .
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案.
【解答】解:
m2﹣4mn+4n2=(m﹣2n)2.
故答案为:
(m﹣2n)2.
【点评】此题主要考查了公式法分解因式,正确应用完全平方公式是解题关键.
28.因式分解:
(a+b)2﹣4b2= (a+3b)(a﹣b) .
【分析】原式利用平方差公式分解即可.
【解答】解:
原式=(a+b+2b)(a+b﹣2b)=(a+3b)(a﹣b).
故答案为:
(a+3b)(a﹣b)
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.
29.分解因式:
a2+2ab+b2= (a+b)2 .
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案.
【解答】解:
a2+2ab+b2=(a+b)2.
故答案为:
(a+b)2.
【点评】此题主要考查了公式法分解因式,正确应用完全平方公式是解题关键.
30.分解因式:
9﹣b2= (3+b)(3﹣b) .
【分析】原式利用平方差公式分解即可.
【解答】解:
原式=(3+b)(3﹣b),
故答案为:
(3+b)(3﹣b)
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.
31.若多项式x2+mx+4在整数范围内可分解因式,则m的值是 4,5,﹣5,﹣4 .
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知:
m的值应该是4的两个因数的和,从而得出m的值.
【解答】解:
∵4=2×2=1×4=(﹣1)×(﹣4)=(﹣2)×(﹣2),
∴m的值可能为:
2+2=4,1+4=5,﹣1﹣4=﹣5,﹣2﹣2=﹣4,
故m的值可能为:
4,5,﹣5,﹣4.
故答案为:
4,5,﹣5,﹣4.
【点评】本题主要考查因式分解的意义和十字相乘法分解因式,对常数项的不同分解是解本题的关键.
32.分解因式:
9x2﹣(x+2y)2= 4(2x+y)(x﹣y) .
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案.
【解答】解:
原式=(3x+x+2y)[3x﹣(x+2y)]
=(4x+2y)(2x﹣2y)
=4(2x+y)(x﹣y).
故答案为:
4(2x+y)(x﹣y).
【点评】此题主要考查了公式法分解因式,正确应用平方差公式是解题关键.
33.多项式x2+mx+25能用完全平方公式分解因式,则m= ±10 .
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值.
【解答】解:
∵多项式x2+mx+25能用完全平方公式分解因式,
∴m=±10,
故答案为:
±10
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
34.当整数a为 ﹣4 时(只写一个),多项式x2+a能用平方差公式分解因式.
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案.
【解答】解:
当a=﹣4(答案不唯一)时,x2+a=x2﹣4=(x+2)(x﹣2).
故答案为:
﹣4