对勾函数.docx
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对勾函数
对勾函数图象性质
对勾函数:
数学中一种常见而又特殊的函数。
如图
一、对勾函数f（x）=ax+的图象与性质
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
（一）对勾函数的图像
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f（x）=ax+（接下来写作f（x）=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f（x）=ax+b/x是正比例函数f（x）=ax与反比例函数f（x）=b/x叠“加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f（x）=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y=b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函
数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：
a>0b>0a<0b<0
对勾函数的图像（ab同号）
当a，b异号时，f（x）=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：
他是如何叠加而成的。
）
对勾函数的图像（ab异号）
一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
1
（二）对勾函数的顶点
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：
当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：
（三）对勾函数的定义域、值域
由
（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
（四）对勾函数的单调性
y
（五）对勾函数的渐进线
OX
y=ax
由图像我们不难得到：
（六）对勾函数的奇偶性：
对勾函数在定义域内是奇函数，二、类耐克函数性质探讨
函数y
ax
b
，在a
0或b
0时为简单的单调函数，不予讨论。
x
在a
0且b
0时有如下几种情况：
（1）
a
0,b0
（2）a
0,b0
（3）a0,b0
（4）a0,b0
设y1
ax，y2
b，则y
y1
y2
ax
b，其定义域为
x|x
R,且x
0
x
b在（
x
（1）a
0,b
0时，y
ax，
y2
0）,（0,
）上分别单调递增。
1
x
故y
y1
y2
ax
b在（
0）,（0,
）为单调递增函数。
b在（
x
（2）a
0,b
0时，y1
ax，y2
0）,（0,
）上分别单调递减。
x
b在（
故y
y1
y2
ax
0）,（0,
）为单调递减函数
x
（3）a0,b0图像略
1当x
0时，y1
ax
0，y2
b
0yy1
b
2axb
ab。
当且仅当
ax
b
b
x
y2
ax
2
，即x
取等号。
x
x
x
a
2当x
0时y
ax
0，y
b
0
b
b
b
b
，即
b
yy1
y2
ax
）
，当且仅当ax
x
1
2
x
x
（ax
2ax2ab
x
a
x
x
（因为x
0，故舍掉x
b）取等号。
a
2
4）
a0,b
0
1
当x
0
时，y1
ax
0
，y
2
b
0y
yy
2
ax
b
（ax
b）
2
axb
2ab。
当且仅当ax
b，即
b
取等号。
x
1
x
x
x
x
x
a
2
当x
0
时y1
ax
0，y2
b
0y
b
axb
b
，即x
b
x
y1
y2
ax
2
2
ab
，当且仅当
ax
a
取等号。
x
x
x
三、关于求函数yx1x0最小值的十种解法
x
1.均值不等式
x0，
y
1
2，当且仅当x
1
1的时候不等式取到“
=”。
当x
1的时候，ymin2
x
，即x
x
x
2.
法
y
x
1
x2
yx
1
0
x
若y的最小值存在，则
y2
4
0必需存在，即
y
2或y
2（舍）
找到使y
2
时，存在相应的
x即可。
通过观察当
x
的时候，
ymin
2
1
3.
单调性定义
设0x1x
fx1
fx2
1
1
x21
1
x1
x2
x1x21
2
x1x2
x1
x1x2
x1x2
x1
x2
当对于任意的
x1,x2，只有x1,x2
0,1时，fx1
f
x2
0，
此时fx
单调递增；
当对于任意的
x1,x2，只有x1,x2
1,
时，fx1
f
x20，
此时f
x单调递减。
当x
1取到最小值，
ymin
f1
2
4.复合函数的单调性
1
1
2
y
x
x
2
x
x
t
x
1
在0,
单调递增，y
t2
2在
0单调递减；在0,
单调递增
x
又
x
0,1
t
0
x
1,
t0,
原函数在
0,1上单调递减；在1,
上单调递增
即当x
1取到最小值，ymin
f
1
2
5.求一阶导
yx
1
y'
1
1
当x
0,1时，y'
0，函数单调递减；当x1,
时，y'
0，函数单调递增。
x
x2
当x
1
取到最小值，
ymin
f1
2
6.三角代换
令x
tan，
0,
，则1
cot
2
x
yx
1
cot
2
0,
20,
tan
sin2
x
2
当
，即2
时，sin2max
1，ymin
2，显然此时x1
4
2
3
7.
向量
yx
1
x1
11
ab，
a
x,1
b
1,1
x
x
x
ab
a
bcos
2acos
根据图象，a为起点在原点，终点在
y
1
x
0图象上的一个向量，
acos的几何意义为a在b上的投影，
x
显然当a
b时，acos
取得最小值。
此时，
x
1，ymin22
2
8．图象相减
y
x
1
x
1
，即y表示函数y
x和y
1
两者之间的距离
x
x
x
求ymin，即为求两曲线竖直距离的最小值
平移直线y
x，显然当y
x与y
1
相切时，两曲线竖直距离最小。
x
1
1
y
关于直线
y
x轴对称，若y
x与y
x
在x1处有一交点，根据对称性，
x
在0
x
1
处也必有一个交点，即此时
y
x与y
1
相交。
显然不是距离最小的情况。
x
所以，切点一定为
1,
1点。
此时，x
1，ymin
2
9.平面几何
依据直角三角形射影定理，设
AE
x,EB
1
AB
1
，则
ADx
x
x
1
显然，x为菱形的一条边，只用当ADAB，即AD为直线AB和CD之间x
的距离时，x
1
ABCD为矩形。
取得最小值。
即四边形
x
1
此时，x，即x1，ymin2
x
10.对应法则
设f
xmint
f
x2
x2
1
x2
x
0,
，x2
0,
，对应法则也相同
f
x2
min
t
fx
x
1
f2x
x2
1
2
x
x2
左边的最小值
右边的最小值
t2
t
2
t
1（舍）或t2
当xP
x2，即x
1时取到最小值，且ymin2
4
四、对勾函数练习：
1．若
x>1.求y
x
1
的最小值
x
1
2.
若
x>1.求y
x2
2x
2
x
的最小值
1
3.
若
x>1.求y
x2
x
1
x
1
的最小值
4.
若
x>0.求y
3x
2
的最小值
x
5.已知函数y
x2
2x
a（x[1,））
x
（1）求a
1时，求f（x）的最小值
2
（2）若对任意x∈[1,+∞],f（x）>0恒成立,求a范围
5
6.:
方程sin2x－asinx+4=0在[0,
2]内有解，则a的取值范围是__________
7.函数y
x
102
x
7
的最小值为____________；函数y
x102
x7的最大值为_________。
x
x
8.函数y
2
3x
4
。
的最大值为
x
9、若4
x
1，则y
x2
2x
2
2x2
的最值是
。
10.函数y
9
4sin2
x的最小值是
。
sin2
x
11.若不等式
t
t
a
t
2
在t
0,2
上恒成立，则a的取值范围是
。
2
9
t2
12.求函数f
x
x
1
16x
1的最值。
x
x2
x
1
2x
13.当x（0，1）时，求f（x）4x1的值域
14.求f（x）x2
x
2
1
的值域
x
x
3
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