菱形的性质及判定知识点及典型例题.docx
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菱形的性质及判定知识点及典型例题
菱形的性质
及判定
1.菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，？
还具有自己独特的性质:
1边的性质：
对边平行且四边相等.
2角的性质：
邻角互补，对角相等.
3对角线性质：
对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角.
4对称性：
菱形是中心对称图形，也是轴对称图形.
菱形的面积等于底乘以咼，等于对角线乘积的一半.
点评：
其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半.3.菱形的判定
判定①：
一组邻边相等的平行四边形是菱形.
判定②：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
判定③：
四边相等的四边形是菱形.
4.三角形的中位线
中位线：
连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线.
也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线.
以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质.
定理：
三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半.
重点是菱形的性质和判定定理。
菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边
形的判定方法。
菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。
难点是菱形性质的灵活应用。
由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。
如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程中应给予足够重视。
【例2】
在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是
【例7】如图，已知菱形ABCD的对角线AC8cm,BD4cm,DEBC于点E，则DE的长为
【例8】菱形周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为
【例9】菱形的周长为20cm,两邻角度数之比为2:
1，则菱形较短的对角线的长度为
【例10】如图2，在菱形
ABCD中，
AC6,BD
8，则菱形的边长为（
）
A.5
B.10
C.6
D.8
AD
B图2C
FPC（）
【例12】如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60的菱形，剪口
与折痕所成的角的度数应为（）
A.15或30B.30或45C.45或60D.30或60
【例13】
菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，且AEBC，AFCD，那么EAF等于
【例14】
已知菱形的一个内角为60，一条对角线的长为23，则另一条对角线的长为
【例16】
【例17】
已知菱形ABCD的两条对角线AC,BD的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是
如图，菱形花坛ABCD的周长为20m,ABC60,?
沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和
BD，求两条小路的长和花坛的面积.
【例18】
如图，在菱形ABCD中，AB4a,E在BC上，BE2a，BAD120,P点在BD上，则PEPC
的最小值为
【例22】
如图，在ABC中，BD平分ABC,BD的中垂线交AB于点E，交BC于点F，求证：
四边形
BEDF是菱形
【例23】
如图，在ABC中，ABAC,D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE,CE•当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？
并说明理由.
【例24】已知：
如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F.求证：
四边形AFCE是菱形•
【例25】如图，在梯形纸片ABCD中，AD//BC，ADCD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结CE.求证：
四边形CDCE是菱形.
【例26】如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EFAC于H，交CB的延长线于F,交AB于P，证明：
AB与EF互相平分
证明你的结论.
【例28】如图，在ABC中，ABAC,M是BC的中点.分别作MDAB于D,MEAC于E,DFAC于F,EGAB于G.DF、EG相交于点P•求证：
四边形DMEP是菱形.
【例30】如图，M是矩形ABCD内的任意一点，将MAB沿AD方向平移，使AB与DC重合，点M移动到点M'的位置
⑴画出平移后的三角形；
⑵连结MD,MC,MM'，试说明四边形MDM'C的对角线互相垂直，且长度分别等于AB,AD的
长；
⑶当M在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形MDM'C是菱形？
为什么？
【例31】如图，ACD、ABE、BCF均为直线BC同侧的等边三角形•已知ABAC.
⑴顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？
直接写出构成图形的类型和相应的条件.
⑵当BAC为度时，四边形ADFE为正方形.
三、与菱形相关的几何综合题
【例32】已知等腰△ABC中，ABAC,AD平分BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EFIIAB，分别交AC、BC于E、F点，作PMIIAC，交AB于M点，连
结ME.
⑴求证四边形AEPM为菱形
⑵当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半?
【例33】问题：
如图1在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中
点，连结PG，PC•若ABCBEF60，探究PG与PC的位置关系及匹的值.PC
小聪同学的思路是：
延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
⑴写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及空的值；
PC
⑵将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）.你在⑴中得到的两个结论是否发
生变化？
写出你的猜想并加以证明.
⑶若图1中ABCBEF2090,将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问
四、中位线与平行四边形
【例34】顺次连结面积为20的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次连结新四边形四边中点得到一个，其面积为.
【例35】如图，在四边形ABCD中，ABCD,E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点,
要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还满足的一个条件是，并说明理由.
M,N分别是对角线AC,BD
【例36】在四边形ABCD中，ABCD,P,Q分别是AD、BC的中点,
中点，证明：
PQ与MN互相垂直.
【例37】四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）
A.线段EF的长逐渐增大
B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不变
D.线段EF的长与点P的位置有关
【例38】如图，ABC中，AD是BAC的平分线，CEAD于E,M为BC的中点，AB14cm,
AC10cm，贝UME的长为.
【例39】如图，四边形ABCD中，ABCD,E,F分别是BC,AD的中点，连结EF并延长，分别交BA,CD的延长线于点G,H，求证：
BGECHE
【例40】如图，已知BE、CF分别为ABC中B、证：
MN//BC.
【例41】如图，四边形ABCD中，
E,F分别是边AB,CD的中点，贝UAD,BC和EF的关系是（
）
A.ADBC2EF
B.ADBC>2EF
C.ADBC2EF
D.ADBC<2EF
FC.
A
【例42】已知如图所示，行四边形.
E、F、G、H分别是四边形ABCD的四边的中点，求证：
四边形
EFGH是平
D
C
厶
F
AE
B
【例43】如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，ADE和BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、
DA的中点分别为P、Q、M、N，证明四边形PQMN为平行四边形且PQPN.
【例44】如图，四边形ABCD中，ABCD,E,F,G,H分别是AD,BC,BD,AC的中点，求证：
EF,GH
相互垂直平分
1
【例46】在平行四边形ABCD的对角线BD上取一点E，使BE-DE，连接AE并延长与DC的延长线交
3
于F，贝VCF2AB.
【例47】如图，ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，G、H是AC的三等分点，连结并延长EG、
FH交于点D•求证：
四边形ABCD是平行四边形.
【例49】如图，线段AB,CD相交于点0，且ABCD，连结AD,BC,E,F分别是AD,BC的中点，EF
分别交AB,CD于M,N，求证：
OMON
【例50】
如图，梯形ABCD中，AD//BC,ABCD,对角线AC,BD相交于点分别是OA,OB,CD的中点，求证：
EFG是等边三角形
【例51】如图，求证：
四边形两组对边中点连线与两对角线中点连结这三条线共点.
A
E
N
OF
H
【例52】如图，0是平行四边形ABCD内任意一点，E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点.若
DE,CF交于P,DG,AF交于Q,AH,BG交于R,BE,CH交于S，求证：
PQSR.
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