1.集合关系及运算
典例
(1)已知集合A={1,3,
},B={1,m},A∪B=A,则m=____________.
(2)设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若B⊆A,则实数a的取值范围是________.
错解展示
解析
(1)由A∪B=A得B⊆A,∴m=3或m=
,
故m=3或m=0或m=1.
(2)∵B⊆A,讨论如下:
①当B=A={0,-4}时,
解得a=1.
②当BA时,由Δ=0得a=-1,
此时B={0}满足题意,
综上,实数a的取值范围是{1,-1}.
答案
(1)1或3或0
(2){1,-1}
现场纠错
解析
(1)A={1,3,
},B={1,m},A∪B=A,故B⊆A,所以m=3或m=
,即m=3或m=0或m=1,其中m=1不符合题意,所以m=0或m=3.
(2)因为A={0,-4},所以B⊆A分以下三种情况:
①当B=A时,B={0,-4},由此知0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,由根与系数的关系,得
解得a=1;
②当B≠∅且BA时,B={0}或B={-4},
并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,
解得a=-1,此时B={0}满足题意;
③当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,
解得a<-1.
综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,-1]∪{1}.
答案
(1)0或3
(2)(-∞,-1]∪{1}
纠错心得
(1)集合的元素具有互异性,参数的取值要代入检验.
(2)当两个集合之间具有包含关系时,不要忽略空集的情况.
1.(2016·江苏苏州暑期检测)已知集合A={0,1},B={-1,0},则A∪B=________.
答案 {0,-1,1}
解析 由集合并集的定义可得A∪B={0,-1,1}.
2.(2017·扬州月考)已知集合A={x|x2-2x<0},B={0,1,2},则A∩B=__________.
答案 {1}
解析 因为A={x|03.(2016·盐城模拟)已知集合A={1,2,3,4,5},B={1,3,5,7,9},C=A∩B,则集合C的子集的个数为________.
答案 8
解析 因为A∩B={1,3,5},所以C={1,3,5},故集合C的子集的个数为23=8.
4.已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则下图中阴影部分所表示的集合为__________.
答案 {1}
解析 因为A∩B={2,3,4,5},而图中阴影部分为A去掉A∩B,所以阴影部分所表示的集合为{1}.
5.已知集合A={x|-1答案 [0,+∞)
解析 用数轴表示集合A,B(如图),
由A⊆B,得a≥0.
6.(2016·无锡模拟)已知U为全集,集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|2答案 {x|2解析 ∵A={x<-1或x>3},
∴∁UA={x|-1≤x≤3},B={x|2∴B∩(∁UA)={x|27.已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若A⊆B,则实数c的取值范围是__________.
答案 [1,+∞)
解析 由题意知,A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c).由A⊆B,画出数轴,如图所示,得c≥1.
8.(2015·浙江改编)已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁RP)∩Q=__________.
答案 {x|1解析 ∵P={x|x≥2或x≤0},∁RP={x|0<x<2},
∴(∁RP)∩Q={x|1<x<2}.
9.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0答案 4
解析 由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,∴A={1,2}.
由题意知B={1,2,3,4}.
∴满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.
*10.设集合M=
,N=
,且M,N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的“长度”的最小值是________.
答案
解析 由已知,可得
即0≤m≤
;
即
≤n≤1,取m的最小值0,n的最大值1,可得M=
,N=
,所以M∩N=
∩
=
,此时集合M∩N的“长度”的最小值为
-
=
.
11.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为__________.
答案 -
解析 ∵3∈A,∴m+2=3或2m2+m=3.
当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3,此时集合A中有重复元素3,不符合集合的互异性,舍去;
当2m2+m=3时,解得m=-
或m=1(舍去),
当m=-
时,m+2=
≠3,符合题意,
∴m=-
.
12.(2016·南通模拟)设全集U=R,集合A={x|y=
},B={y|y=ex+1},则A∪B=__________.
答案 (-∞,-1]∪(1,+∞)
解析 因为A={x|x≥3或x≤-1},B={y|y>1},
所以A∪B={x|x>1或x≤-1}.
13.(2016·江苏无锡新区期中)设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P*Q={z|z=ab,a∈P,b∈Q},若P={-1,0,1},Q={-2,2},则集合P*Q中元素的个数是________.
答案 3
解析 按P*Q的定义,P*Q中元素为2,-2,0,共3个.
*14.设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A,且k+1∉A,那么称k是A的一个“孤立元”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个.
答案 6
解析 依题意可知,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”时,这三个元素一定是连续的三个自然数.故这样的集合共有6个.
*15.已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________.
答案 -1 1
解析 A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5由A∩B=(-1,n),可知m<1,
则B={x|m