版高中物理必修2《优化设计》第五章曲线运动第6节22280.docx

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版高中物理必修2《优化设计》第五章曲线运动第6节22280

第6节

向心力

学习目标

核心提炼

1.了解向心力的概念，知道它是根据力

的效果命名的。

体验向心力的存在，会分析向心力的

1个概念——向心力

2.

来源。

v

2

2

4个常用表达式——Fn＝m

r

Fn＝mωr

3.掌握向心力的表达式，并能用来进行

4π2

计算。

Fn＝mωv

Fn＝m

T

2

r

4.知道变速圆周运动中向心力是合力

的一个分力，知道合力的作用效果。

一、向心力

阅读教材第23～24页“向心力”部分，知道向心力的概念，知道向心力的表达

式，并会简单应用。

1.定义：

做匀速圆周运动的物体产生向心加速度的原因是它受到了指向圆心的合

力，这个力叫做向心力。

2.方向：

始终沿着半径指向圆心。

3.表达式

v2

（1）Fn＝mr。

（2）Fn＝mω2r。

4.效果力：

向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不

管属于哪种性质，都是向心力。

思考判断

（1）匀速圆周运动是匀变速曲线运动。

（×）

（2）匀速圆周运动加速度恒定不变。

（×）

（3）做匀速圆周运动的物体所受合力大小保持不变。

（√）

（4）比较物体沿圆周运动的快慢看线速度，比较物体绕圆心转动的快慢看周期或

角速度。

（√）

（5）随水平圆盘一起匀速转动的物体A受重力、支持力和向心力作

用。

（×）

（6）汽车转弯时速度过大就会向外发生侧滑，这是汽车轮胎受沿转弯半径向内的

静摩擦力不足以提供汽车转弯所需向心力的缘故。

（√）

二、变速圆周运动和一般的曲线运动

阅读教材第24页“变速圆周运动和一般的曲线运动”部分，知道变速圆周运动

中合力的两个分力的作用，了解对一般曲线运动的处理方法。

1.变速圆周运动的合力：

变速圆周运动的合力产生两个方向的效果。

（1）跟圆周相切的分力Ft：

产生切向加速度，此加速度改变线速度的大小。

（2）指向圆心的分力Fn：

产生向心加速度，此加速度改变速度的方向。

图1

2.一般的曲线运动的处理方法

（1）定义：

运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。

（2）处理方法：

一般的曲线运动中，可以把曲线分割成许多很短的小段，质点在

每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。

思维拓展

深圳欢乐谷“全球至尊弹射式过山车”堪称中国最大的过山车，轨道全长887m，

垂直落差67m，乘坐过后给人一种“刺激、惊奇、爽快”的感觉。

图2

（1）当过山车向下运动到如图2位置时，过山车所受合力的方向还指向圆心吗？

（2）对于一般的曲线运动，能否采用圆周运动的分析方法处理？

答案

（1）过山车在题图位置受重力和轨道的支持力，其合力方向并不指向圆心。

（2）可以。

把物体运动的曲线分割成很短的小段，物体在每一小段上的运动都可

看作是圆周运动的一部分，确定出每一部分的半径r，就可以根据向心力公式进

行处理，如图。

预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中

问题1

问题2

问题3

对匀速圆周运动向心力的理解与应用

[要点归纳]

1.向心力的特点

（1）方向：

方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直。

大小：

＝mv

2

4π2

。

在匀速圆周运动中，向心力大小不变；

＝mrω2＝mωv＝m2

r

（2）Fn

r

T

在非匀速圆周运动中，其大小随速率

v的变化而变化。

2.向心力的作用效果：

由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不

改变线速度的大小，只改变线速度的方向。

3.向心力的来源

常见几个实例分析：

实例

向心力

用细线拴住的小球在竖直

绳子的拉力和小球的重

力的合力提供向心力，F

面内转动至最高点时

＝FT＋G

用细线拴住小球在光滑水

线的拉力提供向心力，F

平面内做匀速圆周运动

＝FT

示意图

向

向

物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止

转盘对物体的静摩擦力

提供向心力，F向＝Ff

小球的重力和细线的拉

小球在细线作用下，在水平

力的合力提供向心力，F向

面内做圆周运动

＝F合

木块随圆桶绕轴线做圆周运动

圆桶侧壁对木块的弹力

提供向心力，F向＝FN

[精典示例]

[例1]关于向心力的说法正确的是（）

A.物体由于做圆周运动还受到一个向心力

B.向心力可以是任何性质的力

C.做匀速圆周运动的物体其向心力是恒力

D.做圆周运动的物体所受各力的合力一定指向圆心

解析力是改变物体运动状态的原因，因为有向心力物体才做圆周运动，而不是

因为做圆周运动才产生向心力，也不能说物体还受一个向心力，故A错误；向心力是效果力，可以是任何一种性质的力，故B正确；物体做匀速圆周运动的向心力方向永远指向圆心，其大小不变，方向时刻改变，故C错误；只有匀速

圆周运动中，合外力提供向心力，而非匀速圆周运动中向心力并非物体所受的合

外力，而是合外力指向圆心的分力提供向心力，故D错误。

答案B

[例2]如图3所示，水平转盘上放有一质量为m的物体（可视为质点），连接物体

和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角

速度由零逐渐增大，求：

图3

（1）绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；

（2）当角速度为

3μg

2r

时，绳子对物体拉力的大小。

解析

（1）当绳子拉力为零，即恰由最大静摩擦力提供向心力时，转速达到最大，

设此时转盘转动的角速度为

2

r，得ω＝

μg

ω，有μmg＝mω

r。

0

0

0

3μg

（2）当ω＝

2r时，ω＞ω0，所以由绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心

力，此时，F＋μmg＝mω2r

3μg

即F＋μmg＝m··r，2r

1

得F＝2μmg。

μg1

答案

（1）r

（2）2μmg

“一、二、三、四”求解圆周运动问题

[

针对训练

1]（2017

·株洲高一检测

）如图4

所示，有一质量为

1的小球A与质量

m

为m2的物块B通过轻绳相连，轻绳穿过光滑水平板中央的小孔

O。

当小球A在

水平板上绕O点做半径为r的圆周运动时，物块B刚好保持静止。

求：

（1）轻绳的拉力；

（2）小球A运动的线速度大小。

图4

解析

（1）物块B受力平衡，故轻绳拉力T＝m2g

（2）小球A做匀速圆周运动的向心力等于轻绳拉力T，根据牛顿第二定律得

2

v

m2g＝m1r

m2gr

解得v＝

m1

m2gr

答案

（1）m2g

（2）

m1

变速圆周运动及一般曲线运动的处理方法

[要点归纳]

1.匀速圆周运动与变速圆周运动的比较

线速度

特点

加速度

特点

受力

特点

周期性

性质

公式

匀速圆周运动变速圆周运动

线速度的方向不断改变、大小不变线速度的大小、方向都不断改变

既有向心加速度，又有切向加速

只有向心加速度，方向指向圆心，

度。

其中向心加速度指向圆心，大

不断改变，大小不变

小、方向都不断改变

合力可分解为与圆周相切的分力

合力方向一定指向圆心，充当向心

和指向圆心的分力，指向圆心的分

力

力充当向心力

有

不一定有

均是非匀变速曲线运动

v2

，n＝

v2

＝ω2

都适用

Fn＝m

＝mω2

r

r

a

r

r

2.用圆周运动规律处理一般曲线运动的思路

（1）化整为零：

根据微分思想，将曲线运动划分为很多很短的小段。

（2）建理想模型：

将曲线运动的某小段视为圆周运动，圆半径等于该小段曲线的

曲率半径。

（3）问题求解：

应用圆周运动规律求解一般曲线运动所给问题，此时向心力公式F

v2

2

＝m

r

＝mωr仍然适用。

[精典示例]

[例3]一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，

即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。

如图5甲所示，曲线上A点

的曲率圆定义为：

通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况

下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径。

现将一物体

沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示。

则在其轨迹最高点P处

的曲率半径是（）

图5

2

2

2

v0

v0sinα

A.g

B.

g

v02cos2α

v02cos2α

C.

g

D.gsinα

解析

物体做斜上抛运动，最高点速度即为斜上抛的水平速度

vP＝v0cosα，最

2

2

2

2

vP

vP

v0

cosα

高点重力提供向心力

mg＝m，由两式得ρ＝g＝

g

。

ρ

答案C

[针对训练2]如图6，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速

达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。

现测得转台半径R＝0.5m，

离水平地面的高度H＝0.8m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4m。

设

物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10m/s2。

求：

图6

（1）物块做平抛运动的初速度大小v0；

（2）物块与转台间的动摩擦因数μ。

解析

（1）物块做平抛运动，竖直方向有H＝12gt2①

水平方向有s＝v0t②

联立①②两式得v0＝s

g

＝1m/s③

2H

（2）物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，

2

v0

有μmg＝mR④

2

v0

联立③④得μ＝gR＝0.2

答案

（1）1m/s

（2）0.2

1.（对向心力的理解）（2017·泰州高一检测）关于做匀速圆周运动的物体所受的向

心力，下列说法正确的是（）

A.物体除受其他的力外还要受到一个向心力的作用

B.物体所受的合力提供向心力

C.向心力是一个恒力

D.向心力是根据性质命名的一种力

答案B

2.（向心力的来源）如图7所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直

轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起运动——做匀速圆周运动，则关

于木块A的受力，下列说法正确的是（）

图7

A.木块A受重力、支持力和向心力

B.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反

C.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心

D.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同

解析由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以，它在竖直方向上

受重力和支持力的作用而平衡。

而木块在水平面内做匀速圆周运动，其所需向心

力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心O。

答案C

3.（向心力的分析）如图8所示，天车下吊着两个质量都是m的工件A和B，系A

的吊绳较短，系B的吊绳较长。

若天车运动到P处突然停止，则两吊绳所受的

拉力FA和FB的大小关系为（）

图8

A.FA＞FBB.FA＜FB

C.FA＝FB＝mgD.FA＝FB＞mg

解析

设天车原来的速度大小为

v，天车突然停止运动，

A、B

工件都处于圆周

运动的最低点，线速度均为

v。

由于

v2

F－mg＝mr，故拉力

v2

F＝mg＋mr

，又由于

rA＜rB，所以FA＞FB，A正确。

答案A

4.（圆锥摆问题）当圆锥摆的摆长L一定时，圆锥摆运动的周期T与摆线和竖直线

之间夹角θ的关系是（）

图9

A.角θ越小，周期T越长

B.角θ越小，周期T越短

C.周期T的长短与角θ的大小无关

D.条件不足，无法确定

解析

设小球的质量为m，小球做圆周运动的向心力

Fn＝mgtanθ，半径r＝Lsin

2

Lcosθ

4π

θ，又由于Fn＝mT2r，故周期T＝2π

g

，所以角θ越小，周期T越长，

A正确。

答案A

5.（圆周运动的图象问题）（2017·徐州高一检测）链球运动员在将链球抛掷出去之

前，总要双手抓住链条，加速转动几圈，如图10所示，这样可以使链球的速度

尽量增大，抛出去后飞行更远，在运动员加速转动的过程中，能发现他手中与链

球相连的链条与竖直方向的夹角θ将随链球转速的增大而增大，则以下几个图象

中能描述ω与θ的关系的是（）

图10

解析

设链条长为L，链球质量为m，则链球做圆周运动的半径

r＝Lsin

θ

，向

心力F＝mgtan

θ

2

2g

1

2

1

，D正

，而F＝mωr。

由以上三式得ω＝·

，即ω∝

Lcosθ

cosθ

确。

答案

D

基础过关

1.物体做匀速圆周运动的条件是（）

A.有一定的初速度，且受到一个始终与初速度垂直的恒力作用

B.有一定的初速度，且受到一个大小不变、方向变化的力的作用

C.有一定的初速度，且受到一个方向始终指向圆心的力的作用

D.有一定的初速度，且受到一个大小不变、方向始终和速度垂直的合力作用

解析做匀速圆周运动的物体，必须受到一个大小不变、方向时刻指向圆心的合

力的作用，且向心力等于合力，故只有D正确。

答案D

2.在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，

到的牵引力F及摩擦力Ff的图是（）

O点为圆心。

能正确表示雪橇受

解析由于雪橇在冰面上滑动，其滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即沿圆的

切线方向；因雪橇做匀速圆周运动，合力一定指向圆心。

由此可知C正确。

答案

C

3.如图

1所示，A、B

随水平圆盘绕轴匀速转动，物体

B在水平方向所受的作用

力有（

）

图1

A.圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心

B.圆盘对B的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心

C.圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力

D.圆盘对B的摩擦力和向心力

解析

A随

B做匀速圆周运动，它所需的向心力由

B对

A的静摩擦力来提供，

因此

B对

A的摩擦力指向圆心，

A对

B的摩擦力背离圆心，圆盘对

B的摩擦力

指向圆心，才能使

B受到指向圆心的合力，所以正确选项为

B。

答案

B

4.质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一个质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，且角速度为ω，如图

2所示，则杆的上端受到球对其作用力的大小为（）

图2

2

2

4

2

A.mωR

B.mg－ω

R

C.mg2＋ω4R2D.不能确定

解析

对小球进行受力分析，小球受两个力：

一个是重力

mg，另一个是杆对小

球的作用力

F，两个力的合力提供向心力。

由平行四边形定则可得：

F＝

2

4

2

，再根据牛顿第三定律，可知杆受到球对其作用力的大小为

F′＝

mg

＋ωR

2

4

2

。

故选项C正确。

mg

＋ωR

答案C

5.如图3所示，在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动。

若

圆筒和物体以更大的角速度做匀速转动，下列说法正确的是（）

图3

A.物体所受弹力增大，摩擦力增大

B.物体所受弹力增大，摩擦力减小

C.物体所受弹力减小，摩擦力减小

D.物体所受弹力增大，摩擦力不变

解析物体在竖直方向上受重力G与摩擦力f，是一对平衡力，在水平方向上受

弹力FN，根据向心力公式，可知FN＝mω2r，当ω增大时，FN增大，所以应选

D。

答案D

1

6.（2017·天水高一检测）如图4所示，某物体沿4光滑圆弧轨道由最高点滑到最低

点的过程中，物体的速率逐渐增大，则（）

图4

A.物体的合力为零

B.物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O

C.物体的合力就是向心力

D.物体的合力方向始终与其运动方向不垂直（最低点除外）

解析物体做加速曲线运动，合力不为零，A错；物体做速度大小变化的圆周运

动，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分

力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向间的夹角为锐

角，合力方向与速度方向不垂直，B、C错，D对。

答案D

能力提升

7.未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图5所示。

当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地

球表面时相同大小的支持力。

为达到上述目的，下列说法正确的是（）

图5

A.旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大

B.旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小

C.宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大

D.宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小

解析宇航员站在地球表面时有FN＝

，要使宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁

mg

上，受到与他站在地球表面时相同大小的支持力，

则F

2

g

＝mrω，解得ω＝

r，

N

所以旋转舱的半径越大，转动的角速度应越小，并且与宇航员的质量无关，故选

项B正确，选项A、C、D错误。

答案B

8.（多选）（2017·淮安高一检测）如图6所示，一物块放在水平木板上，用手托住木板使两者一起在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，ac为圆轨道的水平直

径，bd为圆轨道的竖直直径。

运动中木板始终保持水平且物块相对木板静止，

则（）

图6

A.在b点时，物块所受摩擦力为零

B.在a点时，物块所受摩擦力为零

C.在d点时，物块对木板的压力大于其受到的重力

D.在c点时，物块对木板的压力小于其受到的重力

解析在b点，物块靠合力提供向心力，重力和支持力的合力提供向心力，摩擦

力为零，A正确；在a点，物块所受的重力和支持力合力为零，静摩擦力水平向

右并提供向心力，所以摩擦力不为零，B错误；在d点，物块靠重力和支持力的

合力提供向心力，向心力向上，则合力向上，所以支持力大于重力，物块对木板

的压力大于受到的重力，C正确；在c点，物块向心力水平向左，竖直方向上重

力和支持力平衡，即压力与重力相等，D错误。

答案AC

9.（多选）（2017·太原高一检测）如图7所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，

静摩擦因数均为μ。

已知A的质量为2m，B、C的质量均为m，A、B离轴的距

离均为r，C离轴的距离为2r，则当圆台旋转时（设A、B、C都没有滑动，如图

所示），则（）

图7

A.C的向心加速度最大

B.B的静摩擦力最小

C.当圆台转速增加时，C比B先滑动

D.当圆台转速增加时，B比A先滑动

解析三个物体都做匀速圆周运动时，合力指向圆心，对任意

一个物体受力分析，如图，支持力与重力平衡，Ff＝F向，由于