大一上学期高数期末考试题.docx
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大一上学期高数期末考试题
大一上学期高数期末考试题
大一上学期高数期末考试题
大一上学期高数期末考试卷
一、单项选择题（本大题有4小题,每小题4分,共16分）1.设f（x）cosx（xsinx）,则在x0处有（）.
（A）f（0）2（B）f（0）1（C）f（0）0（D）f（x）不可导.
2.设（x）1x1x，（x）333x，则当x1时（）.
（A）（x）与（x）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）（x）与（x）是等价无穷小；
（C）（x）是比（x）高阶的无穷小；（D）（x）是比（x）高阶的无穷小.
x3.若
F（x）0（2tx）f（t）dt，其中f（x）在区间上（1,1）二阶可导且
f（x）0，则（）.
（A）函数F（x）必在x0处取得极大值；（B）函数F（x）必在x0处取得极小值；
（C）函数F（x）在x0处没有极值，但点（0,F（0））为曲线yF（x）的拐点；（D）函数F（x）在x0处没有极值，点（0,F（0））也不是曲线yF（x）的拐点。
4.
设f（x）是连续函数，且f（x）x210f（t）dt,则f（x）（x2x2（A）2（B）22（C）x1（D）x2.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）25.lim（13x）sinxx0.
6.已知cosxx是f（x）的一个原函数,则f（x）cosx.xdx7.
nlimn（cos2ncos22ncos2n1n）.
12x2arcsinx1－11x2dx8.2.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9.设函数yy（x）由方程
exysin（xy）1确定，求y（x）以及y（0）.
）
1x7求dx.7x（1x）10.
xxe，x01设f（x）求f（x）dx．322xx，0x111.
1012.设函数f（x）连续，，且x0g（x）并讨论g（x）在x0处的连续性.
g（x）f（xt）dtlimf（x）Ax，A为常数.求
1y
（1）xy2yxlnx9的解.13.求微分方程满足
四、解答题（本大题10分）
14.已知上半平面内一曲线yy（x）（x0），过点（0,1），且曲线上任一点
M（x0,y0）处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）
15.过坐标原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x轴围
成平面图形D.
（1）求D的面积A；
（2）求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积
V.六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16.设函数f（x）在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q[0,1]，
q1f（x）dxqf（x）dx00.
17.设函数f（x）在0,上连续，且0xf（x）dx0，0f（x）cosxdx0.
证明：
在0,内至少存在两个不同的点1,2，使f
（1）f
（2）0.（提
F（x）示：
设
0f（x）dx）
解答
一、单项选择题（本大题有4小题,每小题4分,共16分）1、D2、A3、C4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
1cosx2（）c6e35..6.2x.7.2.8..
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：
方程两边求导
xy）coxys（xy）（y）e（1yexyycos（xy）y（x）xyexcos（xy）
x0,y0，y（0）177x6dxdu10.解：
ux1（1u）112原式du（）du7u（1u）7uu11（ln|u|2ln|u1|）c712ln|x7|ln|1x7|C77
11.解：
130f（x）dxxedx3x100x102xx2dx
xd（e）3031（x1）2dx02xx2（令x1sin）xeecosd
412.解：
由f（0）0，知g（0）0。
x1xtu2e31
g（x）f（xt）dt0xf（u）du0x（x0）
g（x）xf（x）f（u）duxx002（x0）
g（0）limx0f（u）dux2limx0xf（x）A2x2
AAA22，g（x）在x0处连续。
limg（x）limx0x0xf（x）f（u）dux02dy2ylnx13.解：
dxx
yexdx2（exdx2lnxdxC）
11xlnxxCx293
111y
（1）C,0yxlnxx399，
四、解答题（本大题10分）
14.解：
由已知且，
将此方程关于x求导得y2yy
02特征方程：
rr20
y2ydxyx
解出特征根：
r11,r22.
其通解为
yC1exC2e2x
代入初始条件y（0）y（0）1，得
21yexe2x33故所求曲线方程为：
五、解答题（本大题10分）
C121,C233
1ylnx0（xx0）x015.解：
（1）根据题意，先设切点为（x0,lnx0），切线方程：
1yxxe0e由于切线过原点，解出，从而切线方程为：
1则平面图形面积
A（eyey）dy01e12
（2）三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V1，则
曲线ylnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V2
1V11e23
V2（eey）2dy0
6D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
q1qqVV1V2（5e212e3）
116.证明：
0qf（x）dxqf（x）dxf（x）dxq（f（x）dxf（x）dx）000q1q
（1q）f（x）dxqf（x）dx0
f
（1）f
（2）1[0,q]2[q,1]q（1q）f
（1）q（1q）f
（2）1故有：
q0f（x）dxqf（x）dx00证毕。
x17.
F（x）f（t）dt,0x0证：
构造辅助函数：
。
其满足在[0,]上连续，在（0,）上可导。
F（x）f（x），且F（0）F（）0
0由题设，有
f（x）cosxdxcosxdF（x）F（x）cosx|sinxF（x）dx0000，
有0，由积分中值定理，存在（0,），使F（）sin0即F（）0
综上可知F（0）F（）F（）0,（0,）.在区间[0,],[,]上分别应用罗尔定理，知存在
1（0,）和2（,），使F
（1）0及F
（2）0，即f
（1）f
（2）0.
F（x）sinxdx0
扩展阅读：
大一上学期高数期末考试题
高数期末考试
一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
已知cosxx是f（x）的一个原函数,则f（x）cosxxdx1.
.212.
limnn（cosncos22ncos2nn）.
122xarcsinx1dx3.－11x22.
二、单项选择题（本大题有4小题,每小题4分,共16分）4.
设（x）1x1x，（x）333x，则当x1时（）.
（A）（x）与（x）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）（x）与（x）是等价无穷小；
（C）（x）是比（x）高阶的无穷小；（D）（x）是比（x）高阶的无穷小.
5.设f（x）cosx（xsinx）,则在x0处有（）.
（A）f（0）2（B）f（0）1（C）f（0）0（D）f（x）不可导.
6.若
F（x）x0（2tx）f（t）dt，其中f（x）在区间上（1,1）二阶可导且
f（x）0，则（）.
（A）函数F（x）必在x0处取得极大值；（B）函数F（x）必在x0处取得极小值；
（C）函数F（x）在x0处没有极值，但点（0,F（0））为曲线yF（x）的拐点；（D）函数F（x）在x0处没有极值，点（0,F（0））也不是曲线yF（x）的拐点。
f（x）是连续函数，且f（x）x217.
设0f（t）dt,则f（x）（x2x2（A）2（B）22（C）x1（D）x2.
8.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.设函数yy（x）由方程exysin（xy）1确定，求y（x）以及y（0）.
求x710.
1x（1x7）dx.
）11.12.
xxe，x0设f（x）求22xx，0x113f（x）dx．
xA10设函数f（x）连续，，且x0g（x）并讨论g（x）在x0处的连续性.
g（x）f（xt）dtlimf（x），A为常数.求
13.求微分方程xy2yxlnx满足14.已知上半平面内一曲线yy（x）9的解.
四、解答题（本大题10分）
（x0），过点（0,1）y
（1）1，且曲线上任一点
M（x0,y0）处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成
面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）
15.过坐标原点作曲线
ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x轴围
成平面图形D.
（1）求D的面积A；
（2）求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积
V.六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16.设函数
qf（x）在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q[0,1]，
10f（x）dxqf（x）dx0.
17.设函数
f（x）在0,上连续，且
0f（x）dx0，0f（x）cosxdx0.
证明：
在0,内至少存在两个不同的点1,2，使f
（1）f
（2）0.（提
xF（x）示：
设
0f（x）dx）
解答
一、单项选择题（本大题有4小题,每小题4分,共16分）
1、D2、A3、C4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
e35.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：
方程两边求导
xy）e（1y61cosx2（）cx.6.2.7.2.8.
.coxys（xy）（y）xcos（xy）
x0,y0，y（0）1
767xdxdu10.解：
uxy（x）eexyxyycos（xy）原式17u（1u）（1u）du17（1u2u1）du
17171（ln|u|2ln|u1|）cln|x|7
2xxdx2227ln|1x|C711.解：
3f（x）dxxd（ex03xe10xdx10
03）01（x1）dx
xxxee302cosd（令x1sin）2
12.解：
由f（0）0，知g（0）0。
4x1xtu2e130f（u）duxg（x）
g（x）0f（xt）dtx（x0）
xf（x）x02f（u）du（x0）
xg（0）lim0x0f（u）dux2limxf（x）2xx0A2
A2xf（x）x02f（u）duA
limg（x）limx0A2x0，g（x）在x0处连续。
dy13.解：
dx
2x2ylnx2
lnxdxC）2yexdx（exdx
13xlnx19C,19xCx1
xlnx19x3，
四、解答题（本大题10分）
y
（1）0y14.解：
由已知且
y2ydxy0x，
23,将此方程关于x求导得y2yy
2特征方程：
rr20
解出特征根：
r11,r22.
2x其通解为
yC1exC2e
C213
代入初始条件y（0）y（0）1，得
3故所求曲线方程为：
五、解答题（本大题10分）
y2exC1e2x13
1x015.解：
（1）根据题意，先设切点为（x0,lnx0），切线方程：
由于切线过原点，解出x0e1ylnx0（xx0）
，从而切线方程为：
12e1y1ex
A则平面图形面积
（e0yey）dy
V113
（2）三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V1，则
e2曲线ylnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V2
1V2（ee0y）dy2
VV1V26D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
q1qq（5e12e3）2
116.证明：
0qf（x）dxqf（x）dx010f（x）dxq（f（x）dx0qf（x）dx）
（1q）f（x）dxqf（x）dx0q
f
（1）f
（2）1[0,q]2[q,1]q（1q）f
（1）q（1q）f
（2）1故有：
q00f（x）dxqf（x）dx0证毕。
x17.
F（x）证：
构造辅助函数：
0f（t）dt,0x。
其满足在[0,]上连续，在（0,）上可导。
F（x）f（x），且F（0）F（）0由题设，有
0f（x）cosxdxcosxdF（x）F（x）cosx|00sin0xF（x）dx，
有F（x）sin0xdx0，由积分中值定理，存在（0,），使F（）sin0即
F（）0
综上可知F（0）F（）F（）0,（0,）.在区间[0,],[,]上分别应用罗尔定理，知存在
1（0,）和2（,），使F
（1）0及F
（2）0，即f
（1）f
（2）0.
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