南京市玄武区中考一模数学试题及答案.docx
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南京市玄武区中考一模数学试题及答案
2019年第二学期九年级数学
注意事项：
1．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．计算1－（－2）2÷4的结果为
A．2
B．
C．0
D．－
2．南京规划地铁6号线由栖霞山站开往南京南站，全长32100米，这个数据用科学计数法表示为
A．321×102
B．32.1×103
C．3.21×104
D．3.21×105
3．一元二次方程2x2＋3x＋1＝0的根的情况是
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
4．下列运算结果正确的是
A．a2＋a3＝a5
B．a2·a3＝a6
C．a3÷a2＝a
D．（a2）3＝a5
5．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为
，若AB＝1，BC＝2，则阴影部分的面积为
A．
＋
B．1＋
C．
D．
＋1
6．如图，将正六边形ABCDEF放入平面直角坐标系后，若点A、B、E的坐标分别为
（a，b）、（3，1）、（－a，b），则点D的坐标为
A．（1，3）
B．（3，－1）
C．（－1，－3）
D．（－3，1）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．分解因式2x2＋4x＋2＝▲．
8．满足不等式组
的整数解为▲．
9．已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是▲．
10．计算
＝▲．
11．若关于x的方程x2＋mx＋5＝0有一个根为1，则该方程的另一根为▲．
12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O直径，若∠ABC＝50°，
则∠CAD＝▲°．
13．如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点，EF与BD相交于点M，若△DEM的面积为1，则□ABCD的面积为▲．
14．如图，A（a，b）、B（1，4）（a＞1）是反比例函数y＝
（x＞0）图像上两点，过A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E、F，AE、BD交于点G．则四边形ACDG的面积随着a的增大而▲．（填“减小”、“不变”或“增大”）
15．二次函数y＝a（x－b）2＋c（a＜0）的图像经过点（1，1）和（3，3），则b的取值范围是▲．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠PAB＝∠PBC，则CP的最小值为▲．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）
（1）解方程组
（2）解方程
＝
．
18．（6分）计算
÷
．
19．（7分）一个不透明的袋子中，装有2个红球，1个白球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．求下列事件的概率：
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；
（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是红球．
20．（8分）某公司在某市五个区投放共享单车供市民使用，投放量的分布及投放后的使用情况统计如下．
（1）该公司在全市一共投放了▲万辆共享单车；
（2）在扇形统计图中，B区所对应扇形的圆心角为▲°；
（3）该公司在全市投放的共享单车的使用量占投放量的85%，请计算C区共享单车的使用量并补全条形统计图．
21．（8分）如图，在□ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．
（1）求证：
△AEH≌△CGF；
（2）求证：
四边形EFGH是菱形．
22．（7分）用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．
求证：
CD＝
AB．
证法1：
如图，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，
CE与AB相交于点E．
∵∠BCE＝∠B，
∴①▲．
∵∠BCE＋∠ACE＝90°，
∴∠B＋∠ACE＝90°．
又∵②▲，
∴∠ACE＝∠A．
∴EA＝EC．
∴EA＝EB＝EC，
即CE是斜边AB上的中线，且CE＝
AB．
又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，
∴CD＝
AB．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
23．（9分）同时点燃甲乙两根蜡烛，蜡烛燃烧剩下的长度y（cm）与燃烧时间x（min）的关系如图所示．
（1）求乙蜡烛剩下的长度y与燃烧时间x的函数表达式；
（2）求点P的坐标，并说明其实际意义；
（3）求点燃多长时间，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍．
24．（8分）定义：
在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thiA，即thiA＝
＝
．请解答下列问题：
已知：
在△ABC中，∠C＝30°．
（1）若∠A＝45°，求thiA的值；
（2）若thiA＝
，则∠A＝▲°；
（3）若∠A是锐角，探究thiA与sinA的数量关系．
25．（8分）A厂一月份产值为16万元，因管理不善，二、三月份产值的月平均下降率为x（0＜x＜1）．B厂一月份产值为12万元，二月份产值下降率为x，经过技术革新，三月份产值增长，增长率为2x．三月份A、B两厂产值分别为yA、yB（单位：
万元）．
（1）分别写出yA、yB与x的函数表达式；
（2）当yA＝yB时，求x的值；
（3）当x为何值时，三月份A、B两厂产值的差距最大？
最大值是多少万元？
26．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC上，且CD·BC＝AC·CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB、BC分别交于点F、G．
（1）求证：
AC是⊙E的切线；
（2）若AF＝4，CG＝5，
①求⊙E的半径；
②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝▲．
27．（9分）在△ABC中，D为BC边上一点．
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿着AD折叠，点C落在AB边上．请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图②，将△ABC沿着过点D的直线折叠，点C落在AB边上的E处．
①若DE⊥AB，垂足为E，请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；
②若AB＝4
，BC＝6，∠B＝45°，则CD的取值范围是▲．
数学试题参考答案及评分标准
说明：
本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
C
B
C
A
D
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．2（x＋1）28．－29．410．2－
11．5
12．4013．1614．增大15．b＞216．
－1
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17．（本题10分）
（1）解方程组:
解：
由得y＝2x—1
将代入得：
x+2（2x－1）＝3
x＝1………2分
将x＝1代入得y＝1………4分
∴该方程组的解为：
……5分
（2）方程两边同乘（x－1）（x＋3）得：
x＋3＝2（x－1）………2分
解得x＝5………4分
检验：
当x＝5时，（x－1）（x＋3）≠0
所以x＝5是原方程的解……5分
18．（本题6分）
解：
÷
＝
÷
＝
÷
＝
·
＝
．……6分
19.（本题7分）
（1）解：
搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果共有4种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“恰好是红球”（记为事件A）的结果有2种，
所以P（A）＝
＝
．……3分
（2）解：
搅匀后从中任意摸出2个球，所有可能出现的结果有：
（红1，红2）、（红1，黄）、（红2，黄）、（红1，白）、（红2，白）、（白，黄），共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“2个都是红球”（记为事件B）的结果只有1种，所以P（B）＝
．……7分
20．（本题8分）
（1）4……2分
（2）36……4分
（3）图略4×85%－0.8－0.3－0.9－0.7＝0.7（万辆）
答：
C区共享单车的使用量为0.7万辆．……8分
21．（本题8分）
证明：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C．
又∵AE＝CG，AH＝CF，
∴△AEH≌△CGF．……3分
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D．
∵AE＝CG，AH＝CF，
∴EB＝DG，HD＝BF．
∴△BEF≌△DGH．
∴EF＝HG．
又∵△AEH≌△CGF，
∴EH＝GF．
∴四边形HEFG为平行四边形．……5分
∴EH∥FG，
∴∠HEG＝∠FGE．
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG＝∠FEG，
∴∠FGE＝∠FEG，
∴EF＝GF，
∴EFGH是菱形．……8分
22．（本题7分）①EC＝EB；②∠A＋∠B＝90°……2分
证法2：
延长CD至点E，使得DE＝CD，连接AE、BE．
∵AD＝DB，DE＝CD．
∴四边形ACBE是平行四边形．
又∵∠ACB＝90°，
∴□ACBE是矩形．
∴AB＝CE，
又∵CD＝
CE
∴CD＝
AB……7分
23．（本题9分）
解：
（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b．
根据题意，当x＝0时，y＝40；当x＝50时，y＝0．
所以
，解得
．
所以，y与x之间的函数表达式为y＝－0.8x＋40．……3分
（2）P（20，24）点燃20分钟，甲乙两根蜡烛剩下的长度都是24cm．……5分
（3）设甲蜡烛剩下的长度y甲与x之间的函数表达式为y甲＝mx＋n．
根据题意，当x＝0时，y甲＝48；当x＝20时，y甲＝24．
所以
，解得
．所以，y甲与x之间的函数表达式为y甲＝－1.2x＋48．
因为甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍，
所以－1.2x＋48＝1.1（－0.8x＋40）
解得x＝12.5
答：
点燃12.5分钟，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍．……9分
24．（本题8分）
解：
（1）如图，作BH⊥AC，垂足为H．
在Rt△BHC中，sinC＝
＝
，即BC＝2BH．
在Rt△BHA中，sinA＝
＝
，即AB＝
BH．
∴thiA＝
＝
．……3分
（2）60或120．……5分
（3）在Rt△ABC中，thiA＝
．
在Rt△BHA中，sinA＝
．
在Rt△BHC中，sinC＝
＝
，即BC＝2BH．
∴thiA＝2sinA．……8分
25．（本题8分）
（1）yA＝16（1－x）2，yB＝12（1－x）（1＋2x）．……2分
（2）由题意得16（1－x）2＝12（1－x）（1＋2x）
解得：
x1＝
，x2＝1．
∵0＜x＜1，∴x＝
．……4分
（3）当0＜x＜
时，yA＞yB，且0＜yA－yB＜4．
当
＜x＜1时，yB＞yA，
yB－yA＝12（1－x）（1＋2x）－16（1－x）2＝4（1－x）（10x－1）＝－40
2＋
．
∵－40＜0，
＜x＜1，
∴当x＝
时，yB－yA取最大值，最大值为8.1．……6分
∵8.1＞4
∴当x＝
时，三月份A、B两厂产值的差距最大，最大值是8.1万元．……8分
26．（本题8分）
（1）证明：
∵CD·BC＝AC·CE
∴
＝
∵∠DCE＝∠ACB．
∴△CDE∽△CAB
∴∠EDC＝∠A＝90°
∴ED⊥AC
又∵点D在⊙O上，
∴AC与⊙E相切于点D．………………3分
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，
∴BH＝FH．
在四边形AHED中，∠AHE＝∠A＝∠ADE＝90°，
∴四边形AHED为矩形，
∴ED＝HA，ED∥AB，
∴∠B＝∠DEC．
设⊙O的半径为r，则EB＝ED＝EG＝r，
∴BH＝FH＝r－4，EC＝r＋5．
在△BHE和△EDC中，
∵∠B＝∠DEC，∠BHE＝∠EDC，
∴△BHE∽△EDC．
∴
＝
，即
＝
．
∴r＝20．
即⊙E的半径为20……………………………………………………6分
（3）
……………………………………………………8分
27．
（本题9分）
（1）
（2）①
……2分……6分
②6
－6≤CD≤5．……9分
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