三角形内角和综合习题精选含答案.docx
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三角形内角和综合习题精选含答案
二角形内角和综合习题精选
一.解答题（共12小题）
1.如图
（1）,△ABC中，AD是角平分线，AE丄BC于点E.
（1）.若/C=80°/B=50°求/DAE的度数.
（2）.若/C>ZB，试说明/DAE=1（/C-ZB）.
n
乙
（3）.如图
（2）若将点A在AD上移动到A处，A'E丄BC于点E.此时ZDAE变成ZDA'E,
（2）中的结论还正确吗？
为什么？
（1）ZABE=15°ZBAD=35°求ZBED的度数；
（2）在厶BED中作BD边上的高；
（3）若厶ABC的面积为60,BD=5，则点E到BC边的距离为多少?
图⑴
4.如图，在△ABC中，AD平分ZBAC,P为线段AD上的一个动点，PE丄AD交直线BC于点E.
（1）若ZB=35°ZACB=85°求ZE的度数；
（2）当P点在线段AD上运动时，猜想ZE与ZB、ZACB的数量关系，写出结论无需证明.
DB是厶ABC的高，AE是角平分线，Z
BAE=26°求ZBFE的度数.
2.如图,
5.
（1）如图1,有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C.△ABC中，ZA=30°,则ZABC+ZACB=,ZXBC+ZXCB=
（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C,
ABX+ZACX的大小.
3.如图，ADABC的中线，BE为三角形ABD中线,
D
C
那么ZABX+ZACX的大小是否变化？
若变化，请举例说明；若不变化，请求出Z
6.如图1,△ABC中，ZA=50°点P是ZABC与ZACB平分线的交点.
（1）求/P的度数；
（2）猜想/P与/A有怎样的大小关系？
（3）若点P是/CBD与/BCE平分线的交点，/P与/A又有怎样的大小关系?
（4）若点P是/ABC与/ACF平分线的交点，/P与/A又有怎样的大小关系?
【
（2）、（3）、（4）小题只需写出结论，不需要证明】
（1）若|x+2y-5|+|2x-y|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标;
（2）设/BAO的邻补角和/ABO的邻补角的平分线相交于点P,
问：
点A、B在运动的过程中，/P的大小是否会发生变化？
若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；
（3）如图，延长BA至E，在/ABO的内部作射线BF交x轴于点C,若/EAC、/FCA、/ABC的平分线相交于点G,过点G作BE的垂线，垂足为H，试问/AGH和/BGC的大小关系如何？
请写出你的结论并说明理由.
（3）
0x*
&如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒9.如图所示，点E在AB上，CE,DE分别平分/BCD,/ADC,/1+/2=90°/B=75°求/A的度数.
y个单位长度沿y轴的正方向运动.
10.如图，/AOB=90°点C、D分别在射线OA、OB上，CE是/ACD的平分线，CE的反向延长线与/CDO的平分线交于点F.
（1）当/OCD=50。
（图1）,试求/F.
（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2）,/F的大小是否变化？
若变化，
12.已知△ABC中，/BAC=100°
（1）若/ABC和/ACB的角平分线交于点O,如图1所示，试求/BOC的大小;
（2）若/ABC和/ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O,O1，如图2所示,试求/BOC的大小;
（3）如此类推，若/ABC和/ACB的n等分线自下而上依次相交于O,O1,O2…，如图3所示，试探求/BOC的大小与n的关系，并判断当/BOC=170。
时，是几等分线的交线所成的角.
11.如图,
△ABC中，AE、
BF是角平分线，它们相交于点
O.（/ABC>ZC）,
门）试说明/BOA=90C;
答案与评分标准
一.解答题（共12小题）
1.如图
（1）,△ABC中，AD是角平分线，AE丄BC于点E.
（1）.若/C=80°/B=50°求/DAE的度数.
（2）.若/C>ZB，试说明/DAE=2（/C-ZB）.
n
乙
（3）.如图
（2）若将点A在AD上移动到A处，A'E丄BC于点E.此时ZDAE变成ZDA'E,
（2）中
的结论还正确吗？
为什么？
.田:
Ij逻：
2'；
考点：
三角形的角平分线、中线和高；角平分线的定义；垂线；三角形内角和定理。
专题：
动点型。
分析：
（1）先根据三角形内角和定理求出ZBAC的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，在厶ADC
中，利用三角形内角和求出ZADC的度数，从而可得ZDAE的度数.
（2）结合第
（1）小题的计算过程进行证明即可.
（3）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和先用ZB和ZC表示出ZADE，再根据三角形
的内角和定理可证明ZDA'E=（ZC-ZB）.
2
解答：
解：
（1）在厶ABC中，ZBAC=180°-ZB-ZC=180。
-50°-80°=50°
•••AD是角平分线，
•••ZDAC=ZBAC=25°
2
在厶ADC中，ZADC=180°-ZC-ZDAC=75°
在厶ADE中，ZDAE=180。
-ZADC-AED=15°
（2）ZDAE=180°-ZADC-AED=180°-ZADC-90°=90°-ZADC=90°-（180°-ZC-ZDAC）=90
-（180°-ZC-ZBAC）=90。
-[180。
-ZC-—（180。
-ZB-ZC）]=（ZC-ZB）.
222
（3）
（2）中的结论仍正确.
ZADE=ZB+ZBAD=ZB+ZBAC=ZB+（180°-ZB-ZC）=90°ZB-ZC;
2222
2.如图，ADABC的中线，BE为三角形ABD中线，
（1）ZABE=15°ZBAD=35°求ZBED的度数；
（2）在厶BED中作BD边上的高；
（3）若厶ABC的面积为60,BD=5，则点E到BC边的距离为多少?
考点：
三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形内角和定理。
分析：
（1）禾U用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求ZBED的度数；
（2）△BED是钝角三角形，所以BD边上的高在BD的延长线上；
（3）先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形，结合题意可求得△BED的面积，再直接求点E到BC边的距离即可.
解答：
解：
（1）•.•/BED是厶ABE的一个外角，
•ZBED=ZABE+ZBAD=15°35°50°
（2）如图所示，EF即是△BED中BD边上的高.
（3）vADABC的中线，BE为三角形ABD中线，
二bed=Saabc=>60=15；
44
•/BD=5,
•EF=2S^bed曲D=2X15^5=6,即点E到BC边的距离为6.
点评：
本题主要考查了三角形的高、中线、角平分线，三角形的面积和三角形的内角和等知识，注意全面考虑问题，熟记三角形的中线把三角形分成的两个小三角形面积一定相等.
3.如图，DB是厶ABC的高，AE是角平分线，ZBAE=26°求ZBFE的度数.
（ZC-ZB）.
心DA'E中，ZDA'E=180-A'ED-ZADE=180-90-（90°：
ZB/C）=：
点评：
本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，垂线等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键.
考点：
三角形内角和定理；角平分线的定义。
分析：
由角平分线的性质知，/FAD=/BAE=26°而/AFD与/FAD互余，与/BFE是对顶角，故可求得/BFE的度数.
解答：
解：
TAE是角平分线，/BAE=26°
•••/FAD=/BAE=26°
•/DB是厶ABC的高，
•••/AFD=90°-ZFAD=90°-26°64°,
•••/BFE=/AFD=64°
点评：
本题利用了角平分线的性质和直角三角形的性质求解.
2）小题，由于/B和/ACB的
5.
（1）如图1,有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C.△ABC中，/A=30°则/ABC+/ACB=150°，/XBC+/XCB=90°.
4.如图，在△ABC中，AD平分/BAC,P为线段AD上的一个动点，PE丄AD交直线BC于点E.
（1）若/B=35°/ACB=85°求/E的度数；
（2）当P点在线段AD上运动时，猜想/E与/B、/ACB的数量关系，写出结论无需证明.
考点：
三角形内角和定理；角平分线的定义。
专题：
动点型。
分析：
（1）中，首先根据三角形的内角和定理求得/BAC的度数，再根据角平分线的定义求得/DAC
的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出/ADC的度数，进一步求得/E的度数；
（2）中，根据第
（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系.
解答：
解：
（1）vZB=35°/ACB=85°
•••/BAC=60°
•/AD平分/BAC,
•••/DAC=30°°
•••/ADC=65°
•••/E=25°
（2I-或J—l二
点评：
运用了三角形的内角和定理以及角平分线的定义•特别注意第（大小不确定，故表达式应写为两种情况.
（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C,那么/ABX+/ACX的大小是否变化？
若变化，请举例说明；若不变化，请求出/ABX+/ACX的大小.
考点：
三角形内角和定理。
分析：
本题考查的是三角形内角和定理.已知/A=30。
易求/ABC+/ACB的度数.又因为x为90°所以
易求/XBC+/XCB.
解答：
解：
（1）•••/A=30°
•••/ABC+/ACB=150°
•••/X=90°
•••/XBC+/XCB=90°,
•••/ABC+/ACB=150°/XBC+/XCB=90°
（2）不变化.
•••/A=30°
•••/ABC+/ACB=150°,
•••/X=90°,
•••/XBC+/XCB=90°,
•••/ABX+/ACX=（/ABC-/XBC）+（/ACB-/XCB）
=（/ABC+/ACB）-（/XBC+/XCB）=150°-90°60°点评：
此题注意运用整体法计算.关键是求出/ABC+/ACB.
6.如图1,△ABC中，/A=50°点P是/ABC与/ACB平分线的交点.
（1）求/P的度数；
（2）猜想/P与/A有怎样的大小关系？
（3）若点P是/CBD与/BCE平分线的交点，/P与/A又有怎样的大小关系?
（4）若点P是/ABC与/ACF平分线的交点，/P与/A又有怎样的大小关系?
【
（2）、（3）、（4）小题只需写出结论，不需要证明】
\c
-X
考点：
三角形内角和定理。
专题：
探究型。
分析：
根据三角形的外角等于与其不相邻的两内角和”和角平分线性质.
（1）禾9用角平分线的性质和三角形内角和是180度以及外角的性质求算即可；
（2）先列出/A、/ABC、/ACB的关系，再列出/BPC、/PBC、/PCB的关系，然后列出/ABC和/PBC、/ACB和/PCB的关系；
（3）利用PABC两外角平分线的交点，/DBC=「/A+'/ACB，同理可得：
222
/BCE=/A+/ABC，再利用三角形内角和定理以及外角和定理求出即可；
22:
（4）列出/A、/ABC、/ACF的关系，再列出/PBC、/P、/PCF的关系，然后列出/ABC和/PBC、/ACF和/PCF的关系.
解答：
解：
（1）v/A=50°
•••/ABC+/ACB=130°
•••/PBC+/PCB=2（/ABC+/ACB）丄XI30°=65°,
22
•••/BPC=180°-65°115°
（2）/BPC=/A+90.
2
•••在△ABC中，/A+/ABC+/ACB=180°在厶BOC中，/BPC+/PBC+/PCB=180°•/BP,CP分别是/ABC和/ACB的平分线，•••/ABC=2/PBC，/ACB=2/PCB,
•••/BPC+/ABC+/ACB=180°°
22
又•••在△ABC中，/A+/ABC+/ACB=180°
•••/BPC=/A+90°
2
（3）•••/DBC=/A+/ACB,
•••PABC两外角平分线的交点,
•/DBC=」/A+丄/ACB,
222
同理可得：
•/BCE=一/A+一/ABC,
222
•//A+/ACB+/ABC=180°,
•（/ACB+/ABC）=90。
-丄/A,
22
•••180°-/BPC=/DBC+/BCE=/A+/ACB+/A+/ABC,
222222
•••180°-/BPC=/A+/ACB+/ABC,
22
180°-/BOC=/A+90。
-/A,
2
•/BPC=90°-_/A;
2
（4）若P为/ABC和/ACB外角的平分线BP,CP的交点，则/BPC与/A的关系为：
/BPC=/A.
2
•/A+/ABC=/ACF，/PBC+/BPC=/PCF,BP,CP分别是/ABC和/ACF的平分线，
•/ABC=2/PBC，/ACF=2/PCF,
由以上各式可推得/BPC=/A.
2
点评：
此题主要考查了角平分线及三角形的内角和定理和三角形外角和等知识，熟练地应用其性质得出等量关系，再进行等量代换是解决问题的关键.
7.如图，已知△ABC中，/B=/E=40°/BAE=60°且AD平分/BAE.
（1）求证：
BD=DE;
（2）若AB=CD，求/ACD的大小.
考点：
三角形内角和定理；角平分线的定义。
专题：
计算题；证明题。
分析：
（1）要求证：
BD=DE可以证明△ABDAED，根据角角边定理就可以证出;
（2）求/ACD=/AFC-/DAF，本题可以转化为求/AFC，/DAF的度数.解答：
（1）证明：
•AD平分/BAE,
•••/BAD=/EAD=30°
•/AD=AD
•••/B=/E=40°
•△ABD◎△AED
•BD=ED;
（2）解：
•••/ADE=/ADB=180。
-/B-厶BAD=110°,
•••/ADC=70°
•••/EDC=110°-70°40°
•••/EDC=/E.
•FD=FE.
•/AE=AB=CD,
•CF=AF.
•••/AFC=100°
•••/ACD=40°
点评：
证明线段相等的问题比较常用的方法是证明所在的三角形全等.
&如图，A、B两点同时从原点0出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动.
（1）若|x+2y-5|+|2x-y|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标；
（2）设/BAO的邻补角和/ABO的邻补角的平分线相交于点P,
问：
点A、B在运动的过程中，/P的大小是否会发生变化？
若不发生变化，请求出其值；若发生变化,请说明理由；
（2）1
（3）如图，延长BA至E，在/ABO的内部作射线BF交x轴于点C,若/EAC、/FCA、/ABC的平分线相交于点G,过点G作BE的垂线，垂足为H，试问/AGH和/BGC的大小关系如何？
请写出你的结论并说明理由.
d
B
//I
X/\
*
e/V/GF
0X
考点：
三角形内角和定理；非负数的性质：
绝对值；角平分线的定义。
专题：
动点型。
分析：
（1）|x+2y-5|+|2x-y|=0，非负数的性质得，x+2y-5%,2x-y为；由此解不等式即可求得，A、B两点同时从原点0出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动，•A（-1,0）,B（0,2）；
（2）不发生变化.要求/P的度数，只要求出/PAB+/PBA的度数.利用三角形内角和定理得，/P=180°
-ZPAB-ZPBA；角平分线性质得，/PAB=/EAB,/PBA=_/FBA,外角性质得，/EAB=/ABO+90°22
ZFBA=ZBAO+90°则可求ZP的度数；
（3）试求ZAGH和ZBGC的大小关系，找到与它们有关的角.如ZBAC，作GM丄BF于点M，由已知有可得ZAGH与ZBGC的关系.
解答：
解：
[x+2y-5=0
（1）解方程组：
（2x~y=0
得：
（3分）
\y=2
•A（-1,0）,B（0,2）；
（2）不发生变化，
ZP=180°-ZPAB-ZPBA
=180°-匚（ZEAB+ZFBA）
=180°-（ZABO+90°+ZBAO+90°2
=180°-（180°+180°-90°
2
=180°-135°
=45°
（3）作GM丄BF于点M.
由已知有：
/AGH=90°-/EAC
n
乙
=90°-（180°-ZBAC）
2
=ZBAC,
2
ZBGC=ZBGM-ZCGM
=90。
-ZABC-（90°-2
ZACF）
=（ZACF-ZABC）
2
=—ZBAC
2
•••ZAGH=ZBGC.
注：
不同于此标答的解法请比照此标答给分.
考点：
三角形内角和定理；平行线的性质。
专题：
计算题。
分析：
延长DE交CB延长线于F，根据已知条件，证得AD//FC;根据两直线平行，内错角相等求得ZA
的邻补角；再求出ZA的度数即可.
解答：
解：
延长DE交CB延长线于F,vZ1+Z2=90°
•ZDEC=90°即CE丄ED,
•ZECB+ZF=90°
•Z2+ZF=90°.
•/Z1=ZADE,•••/ADF=ZF,
•AD//FC,「.ZA=ZEBF,
vZB=75°•••/A=180。
-75°=105°.
AD
/1\
欧I
占.一"C
点评：
本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到AD//FC,这是解题的关键.
10.如图，ZAOB=90。
，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是ZACD的平分线，CE的反向延长线与ZCDO
的平分线交于点F.
（1）当ZOCD=50°（图1）,试求ZF.
J
/
J
B
/
A0
X
（1）
点评：
考查角平分线性质，三角形内角和定理，非负数的性质等知识.
9.如图所示，点E在AB上，CE,DE分别平分ZBCD,ZADC,Z1+Z2=90°ZB=75°求ZA的度数.
（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）
（图2）,ZF的大小是否变化？
若变化，请
考点：
三角形内角和定理。
说明理由；若不变化，求出Z
分析：
（1）根据三角形的内角和是
180°可求ZCDO=40。
，所以ZCDF=20。
，又由平角定义，可求ZACD=130°
所以ZECD=65°又根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，可求Z
ECD=ZF+ZCDF,ZF=45
度.
•/BOA=180。
-丄（/CAB+/CBA）,2
•••/CAB+/CBA=180。
-/C,
•••/BOA=180°-_（180°-/C）2
=90°/C;
2
（2）同理可证，/F=45度.
解答：
解：
（1）-/AOB=90°OCD=50°
•••/CDO=40°
•/CE是/ACD的平分线DF是/CDO的平分线,
•••/ECD=65°CDF=20°
ECD=/F+/CDF,
•••/F=45°
180°的定理.题
（2）不变化，/F=45°.
AOB=90°
•••/CDO=90°-ZOCD/ACD=180°-/OCD.
•/CE是/ACD的平分线DF是/CDO的平分线，
•••/ECD=90。
-丄/OCD/CDF=45。
-丄/OCD.
22
ECD=/F+/CDF,
•/F=45°
点评：
本题考查了三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，以及三角形的内角和是目难度由浅入深，由特例到一般，是学生练习提高的必备题.
11.如图，△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O.（/ABC>/C）,
（1）试说明/BOA=90°/C;
n
2
（2）当AD是高，判断/DAE与/C、/ABC的关系，并说明理由.
（2）关系：
/DAE=_（/ABC-/C）.
2
理由：
T/CAB=180。
-/C-/ABC,
•/AE是角平分线，
•/CAE=/BAE=（180。
-/C-/ABC）,
2
•/AD丄BC,
•/ADB=/DAE+/AED=90°
/C+/CAE=/AED,
•/DAE=
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