定积分典型例题.docx
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定积分典型例题
定积分典型例题
32
例1求lim
n
1（n2nn2
n）．
32
3
3
分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：
先对区间[0,1]n等分写出积分和，再与所求极限相比较来
找出被积函数与积分上下限．
解将区间[0,1]n等分，则每个小区间长为
1
x，然后把
1111
的一个因子乘
inn2nnn
入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即
2
lim
1（3n2
32n2
3n3）
=lim
1（313
3n）=13
xdx3．
nn2
．
例
222xx2dx=
0
nnnnn04
2222
解法1由定积分的几何意义知，
2xxdx等于上半圆周
0
（x1）
y1（y0）
与x轴所围成的图形的面积．故
22
0
2xxdx=．
2
例18计算
2
1
|x|dx．
分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．
202
x20
x225
解|x|dx＝（x）dxxdx＝[]1
[]0＝．
110
222
注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如
31
dx[
1]3
1，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数
1在x
0处间断且在被
2x2x26x2
积区间内无界.
例19计算
22
0
max{x
x}dx．
分析被积函数在积分区间上实际是分段函数
f（x）
x1x2
2
．
x0x1
212
x2x3
1717
2212
解max{x,x}dxxdxxdx
[]0[]1
001
23236
1
例20设
f（x）是连续函数，且
f（x）
x3f（t）dt，则
0
f（x）．
分析本题只需要注意到定积分
b
a
f（x）dx是常数（
a,b为常数）．
解因f（x）
连续，
f（x）
必可积，从而
1
0
f（t）dt是常数，记
1
0
f（t）dta，则
11
f（x）
x3a，且
（x3a）dxf（t）dta．
00
所以
[1x
2
23ax]1
1
a，即
2
3aa，
从而a
1，所以
4
0
f（x）
x3．
4
例21设
f（x）
3x2,0
52x,1
x1
，F（x）
x2
x
0
f（t）dt，0
x2，求F（x）,并讨论
F（x）
的连续性．
分析由于
f（x）
是分段函数,故对
F（x）也要分段讨论．
解
（1）求F（x）的表达式．
0
F（x）的定义域为[0,2]．当x[0,1]时，[0,x][0,1],因此
F（x）
xx
f（t）dt3t2dt
[t3]x
x3．
00
当x（1,2]时，[0,x][0,1][1,x],因此,则
F（x）
13t2dtx（52t）dt=312x2
[t
]0
01
[5tt
]1=
35xx，
故
F（x）
x3,0x1
2．
35xx,1x2
（2）
F（x）在[0,1）及（1,2]上连续,在x
1处，由于
lim
2
F（x）lim（35xx
）1,
lim
3
F（x）limx
1,F
（1）1．
x1x1x1x1
因此,
F（x）在x
1处连续,从而
F（x）在[0,2]上连xu
1
例22计算
2
2xxdx．
12
11x
分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．
2
2
2
12xx12x1x2x
解dx=
dxdx．由于
是偶函数，而
1212122
11x
11x
11x
11x
x1x
是奇函数，有dx
1
于是
212
21x
2
0
2
12xx
11x
2
1x
1x2（11x）11
2
1
2
0
2
dx=4
dx=4
dx=4dx41x2dx
11x
11xx00
1
由定积分的几何意义可知1
0
x2dx,故
4
12x
xdx
1
4dx44．
2
4
120
11x
例23计算
3
e4
1
e2x
dx．
lnx（1lnx）
分析被积函数中含有1
x
及lnx，考虑凑微分．
3
e4dx
解1
33
e4d（lnx）e4
==1
d（lnx）
3
e42d（lnx）
=1
e2x
lnx（1lnx）
elnx（1lnx）
e2
lnx
1（ln
x）2
e21（lnx）2
0
例24计算4
=[2arcsin（ln
sinxdx．
1sinx
3
1
x）]e4=．
e26
解4sinxdx=4sinx（1sinx）
dx=
4sinxdx42
2
01sinx
01sinx
2
0
2
=4dcosx
0
4（sec2x
cosx
1）dx
tan
xdx
0
cosx0
=[1]4[tanxx]4=22
例26计算
00
cosx4
adx
022
，其中a0．
xax
解法1令xasint，则
adx
2costdt
2
2
0
xax
0sintcost
12（sintcost）（cost
sint）dt
20sintcost
0
12[1
2
1
（sintsint
cost）cost
]dt
tln|sint
2
cost|2=．
0
4
注如果先计算不定积分
dx
xa2
，再利用牛顿莱布尼兹公式求解,则比较复杂，
x2
由此可看出定积分与不定积分的差别之一．
例27计算
ln50
xx
x
ee1dx．
e3
2
分析被积函数中含有根式，不易直接求原函数，考虑作适当变换去掉根式．
解设uex
1，x
ln（u
1）
，dx
2udu，则
2
u1
x
ln5exe1
2（u2
1）u2u
2u2
2u244
x
0e3
dx=
0u
du
2
2
4u1
20u2
du2du
2
40u4
2214．
8
0
2
2dudu
0u4
例29计算
3xsinxdx．
0
分析被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．
0
解3xsinxdx3xd（cosx）[x（cosx）]33（cosx）dx
000
3cosxdx3．
例30计算
6026
1ln（1x）
2
dx．
0（3x）
分析被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．
0
解
1ln（1x）1
111
111
0（3
dx=
2
x）
ln（1
x）d（
3
）=[
x3
ln（1
x
x）]0
0（3
dx
x）（1x）
=1ln2
11（11
）dx
2401x3x
1ln21ln3．
例31计算
24
2exsinxdx．
0
分析被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．
解由于2exsinxdx2sinxdex[exsinx]22excosxdx
0000
e22excosxdx，
（1）
0
而
2excosxdx2cosxdex[excosx]22ex
（sinx）dx
0000
2exsinxdx
0
1，
（2）
将
（2）式代入
（1）式可得
2exsinxdx
0
e2[
2exsinxdx
0
1],
故
例32计算
1
xarcsinxdx．
0
2exsinxdx
0
1（e2
2
1）．
分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．
1
11x2x21x2
解
xarcsinxdx
0
arcsinxd（）
02
[arcsinx]02
d（arcsinx）
02
11
420
2
2
xdx．
（1）
1x
令xsint，则
2
x
1
dx2
sin2t
dsint
2
2sint
costdt
2sin2tdt
2
01x01sin2t
0cost0
0
21cos2tdt[tsin2t]2
．
（2）
02244
将
（2）式代入
（1）式中得
1
xarcsinxdx．
08
例33设
f（x）在[0,]上具有二阶连续导数，
f（）3且[f（x）
f（x）]cosxdx2，
0
求f（0）．
分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．
0
解由于[f（x）
f（x）]cosxdx
0
f（x）dsinx
cosxdf
0
（x）
{f（x）sin
x00
f（x）sin
xdx}{[
f（x）cosx]0
f（x）sin
0
xdx}
f（）f（0）2．
故f（0）2f（）235．
，
例35（00研）设函数
f（x）
在[0,]上连续，且
0
0
f（x）dx0，f（x）cosxdx0．
试证在（0,）内至少存在两个不同的点1,
2使得
f
（1）
f
（2）0．
分析本题有两种证法：
一是运用罗尔定理，需要构造函数
F（x）
x
f（t）dt，找出
0
F（x）
的三个零点，由已知条件易知
F（0）
F（）0，x
0，x为
F（x）的两个零点，第三个
零点的存在性是本题的难点．另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证明
之间存在两个零点．
f（x）在（0,）
证法1令
F（x）
x
0
f（t）dt,0
x，则有
F（0）0,
F（）0．又
0
0
f（x）cosxdx
cosxdF（x）[cosxF（x）]0
F（x）sin
xdx
0
0
F（x）sinxdx0，
由积分中值定理知，必有（0,），使得
F（x）sinxdx=F（）sin（0）．
0
故F（）sin0．又当（0,）,sin0，故必有F（）0．
于是在区间[0,],[,]上对
使得
F（x）分别应用罗尔定理，知至少存在
1（0,），2（,），
F
（1）F
（2）0，即
dx
f
（1）
f
（2）0．
例36计算2
0x
．
4x3
分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．
解dx
t
=lim
dx=
lim1t（11
）dx
0x2
4x3t
0x2
4x3t
20x1x3
=lim
t
1[lnx
2x
1lim
t=
]0
3t
1
（lnt
2t
11
ln）
33
例37计算
=ln3．
2
．
dx
322
（x1）x2x
解dx
dxx
1sec
2sectand
322
3（x
1）2（x1）21
sec2tan
（x1）x2x3
2cosd13．
32
例38计算
4
2（x
dx．
2）（4x）
分析该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当
3
2（x
dx
2）（4x
4
和
）3（x
dx2）（4
均收敛时，原反常积分才是收敛的．
x）
解由于
3dx
3dx
=lim
3
=lim
d（x3）
2（x
2）（4x）
a2a
（x2）（4x）
a2a
1（x
3）2
3
=lim[arcsin（x3）]a=．
4dx
a2
b
=lim
2
dx=
b
lim
2
d（x3）
3（x2）（4x）
b43
（x2）（4x）
b43
1（x3）
b
=lim[arcsin（x3）]=．
4
所以
2（x
b432
dx
．
2）（4x）22
例39计算
0
dxx（x
．
1）5
分析此题为混合型反常积分，积分上限为，下限0为被积函数的瑕点．
解令xt，则有
dx
＝
2tdt＝2dt，
2
2
050
505
x（x1）
t（t
1）2
（t1）2
再令t
tan
，于是可得
dt＝2
dtan
2
5
＝2sec
d＝2d
0
（t2
5
1）2
0
（tan
5
2
1）2
0sec
0sec3
＝2cos3
0
d＝2（1sin2
0
）cosd
＝2（1sin2
0
）dsin
＝[sin
1sin3
3
]/2＝2．
0
3
11
例40计算
21
x2
4dx．
x
解由于
11
2
4
2
11xdx
112
2
xdx
1d（x）x
，
2
x
1x21
2
2（x
1）2
xx
可令tx
1
，则当xx
2
时，t
2；当x
2
0时，t；当x
0时，t；
当x1时，t0；故有
xdx
11
112
4
0d（xx）1d（xx）
21x
2
2（x
1）2
0
2（x
1）2
xx
d（t）0dt
222
22t2t
2（1．
arctan）
22
注有些反常积分通过换元可以变成非反常积分，如例32、例37、例39；而有些非反常积分通过换元却会变成反常积分，如例40，因此在对积分换元时一定要注意此类情形．
例41求由曲线y
图形的面积．
1
x，y
2
3x，y
2，y
1所围成的
y
y3xyx
3y22
2
1y1
分析若选x为积分变量，需将图形分割成三部分去求，
如图5－1所示，此做法留给读者去完成．下面选取以y为积分
21o1
1
2
234x
变量．
解选取y为积分变量，其变化范围为
y[1,2]，则面积元
图5－1
3
素为
dA=|2y
1y|dy=（2y3
1y）dy．
3
于是所求面积为
．
A2（2y1y）dy=5
2
2
2
132
例42抛物线
y2x把圆x
y8分成两部分，求这
两部分面积之比．
2
解抛物线y
22
2x与圆xy
8的交点分别为（2,2）与
y
x2y28
2
A21A1
y22x
（2,2），如图所示5－2所示，抛物线将圆分成两个部分
A，A，
21o12x
记它们的面积分别为
S1，
S2，则有
12
1
2
（2,2）
图5－2
2
22y844
2
S=（8y
1
）dy=8
4cos2d=
2，S8
A=6
，于是
21
24333
42
S1=3
=32．
S26
492
3
例43求心形线1cos与圆3cos所围公共部分的面积．
分析心形线1cos与圆3cos的图形如图
y
2
1
1cos
1o
1
3cos
3
123x
5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可．
解求得心形线1cos与圆3cos的交点为
（,）=（3,），由图形的对称性得心形线1cos与
23
图5－3
圆3cos所围公共部分的面积为
A=2[
31（1cos）2d21（3cos）2d]=5．
2
0324
例44求曲线y
lnx在区间（2,6）内的一条切线，使得该切y
ylnx
线与直线x
2
，x
6和曲线y
lnx所围成平面图形的面积最
3
（c,lnc）
2
小（如图5－4所示）．
分析要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表达式．
1
o1234567x
1x2x6
解设所求切线与曲线
yln
x相切于点（c,lnc）
，则切线方
图5－4
程为y
lnc
1
（xc）c
．又切线与直线x
2，x
6和曲线
ylnx所围成的平面图形的面积为
614
A=[（xc）lnc
2c
lnx]dx=4
（1）4lncc
46ln62ln2．
由于
dA=
164=
4（4
c），
dcc2cc2
令dA
dc
0，解得驻点c
4．当c
4时dA
dc
0，而当c
4时dA
dc
0．故当c
4时，A取得
极小值．由于驻点唯一．故当c4时，A取得最小值．此时切线方程为：
y1x
4
1ln4．
222
例45求圆域x（yb）a（其中ba）绕x轴旋转而
成的立体的体积．
yx（yb）a（ba0）
2
2
2
（0,b）
ox
解如图5－5所示，选取x为积分变量，得上半圆周的方程
为图5－5
2
yba2
x2，
下半圆周的方程为
2
2
y1bax．
则体积元素为
2222
0
dV=（y2y1）dx=4baxdx．于是所求旋转体的体积为
a
V=4
baa2
x2dx=8
baa2
x2dx=8
a2
22
b=2
4
ab．
注可考虑选取y为积分变量，请读者自行完成．
例46过坐标原点作曲线
ylnx的切线，该切线与曲线y
lnx及x轴围成平面图形D．
yy1x
e
1
y
lnx
（1）求D的面积A；
o123
y
x
lnx
图5－6
计算，如图5－6所示．
解
（1）设切点横坐标为
x0，则曲线y
lnx在点
（x0,ln
x0）
处的切线方程是
ylnx
1（xx）．
由该切线过原点知
lnx0
1
0，从而
00
0
x0e，所以该切线的方程是
x
y1x．从而D的面积
e
A
1
（eyey）dye1．
02
例47有一立体以抛物线
y2x与直线x
z
2所围成的图形为
2
底，而垂直于抛物线的轴的截面都是等边三角形，如图5－7所示．求
其体积．oy
解选x为积分变量且
x[0,2]
．过x轴上坐标为x的点作垂直
xx2
y22
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