第四章第3讲圆周运动的描述圆锥摆模型.docx

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第四章第3讲圆周运动的描述圆锥摆模型

第3讲圆周运动的描述圆锥摆模型

【目标要求］1•熟练掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系2掌握匀速圆周运动由周期性

引起的多解问题的分析方法.3•会分析圆周运动的向心力来源，掌握圆周运动的动力学问题的分析方法，掌握圆锥摆模型.

考点一描述圆周运动的物理量

［基础回扣】

1.描述圆周运动的物理量

定义、意义

公式、单位

线速度（V）

1描述圆周运动的物体运动快慢的物理量

2是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切

1v=页（定义式）=〒（与周期的关系）

2单位：

m/s

角速度（3）

1描述物体绕圆心转动快慢的物理量

2是矢量，但不研究其方向

13=~（定义式）=罕与周期的关系）

2单位：

rad/s

33与v的关系：

v=3r

周期（T）

转速（n）

频率（f）

1周期是物体沿圆周运动一周所用的

时间，周期的倒数为频率

2转速是单位时间内物体转过的圈数

2n1

1T—v—f（与频率的关系）

2T的单位：

n的单位：

r/s、r/min

f的单位：

向心加速

度（an）

1描述线速度方向变化快慢的物理量

2方向指向圆心

巾v224n

1an——3r—丁2r—3v

2单位：

m/s2

2.匀速圆周运动

⑴定义：

如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，所做的运动就是匀速圆周运动.

（2）特点：

加速度大小不变」向始终指向圆心丄变加速运动.

（3）条件：

合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心.

技巧点拨】

1.对an=与=w2r的理解

在v一定时，an与r成反比；在w—定时，an与r成正比.

2.常见的传动方式及特点

（1）皮带传动：

如图1甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等,

即Va=VB.

屮

图1

（2）摩擦传动和齿轮传动：

如图2甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边

缘线速度大小相等，即Va=vb.

屮

图2

3A=WB,由v=wr

描述圆周运动物理量的关系

【例1A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动,

在相同时间内，它们通过的路程之比是4:

运动方向改变的角度之比是3:

2,则它们（

A.线速度大小之比为4:

B.角速度大小之比为3:

C.圆周运动的半径之比为

D.向心加速度大小之比为

答案A

解析时间相同，路程之比即线速度大小之比,

A项正确；运动方向改变的角度之比即对应

得半径之比，为8:

9,C项错误；由向心加速度an=半知线速度平方比除以半径比即向心加

速度大小之比，为2：

1,D项错误.

Z厂＞圆周运动的多解问题

f例2】（2021湖南长沙市雅礼中学高三月考）如图4所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴00'匀速转动，规定经过圆心0水平向右为x轴的正方向.在圆

心0正上方距盘面高为h处有一个正在间断滴水的容器，从t=0时刻开始该容器从0点正

上方随传送带沿与x轴平行的方向做匀速直线运动，速度大小为v.已知容器在t=0时刻滴下

（重力加速度为g）

图4

第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面上时再滴一滴水，求:

（1）每一滴水经多长时间落到盘面上；

⑵要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘转动的角速度3应为多大;

（3）第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的最大距离x.

解析

（1）水滴在竖直方向上做自由落体运动，有

（2）分析题意可知，在相邻两滴水的下落时间内，圆盘转过的角度应为

nMn=1,2,3,…）,

n=1,2,3,…）.

⑶第二滴水落在圆盘上时到0点的距离为:

X2=v2t=

第三滴水落在圆盘上时到0点的距离为:

X3=v3t=3v"2h，

两点间的距离最大，则:

当第二滴水与第三滴水在盘面上的落点位于同一直径上圆心两侧时,

X=X2+X3=

跟进岁1练

1.（传动装置中各物理量的关系）如图5所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径之比为

1：

16，在用力蹬脚踏板前进的过程中，下列说法正确的是（）

图5

A.小齿轮和后轮的角速度大小之比为16:

B.大齿轮和小齿轮的角速度大小之比为1:

C.大齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为1:

D.大齿轮和小齿轮轮缘的向心加速度大小之比为4：

答案B

解析小齿轮和后轮是同轴转动装置，角速度大小相等，即32=33,大齿轮与小齿轮是皮带

传动装置，线速度大小相等，即V1=V2,根据v=3r得出空=12=£v^=v^=“=2，向心

32r14v3v3r316

va1「21

加速度a=—,则一=一=；,故A、C、D错误，B正确.

ra2r14

2.（圆周运动的多解问题）（2021广东肇庆中学月考）如图6所示为一个半径为5m的圆盘，正绕其圆心做匀速转动，当圆盘边缘上的一点A处在如图所示位置的时候，在其圆心正上方20m

的高度有一个小球正在向边缘的

好落在A点，则（）

A点以一定的速度水平抛出，取g=10m/s2，要使得小球正

■

图6

A.小球平抛的初速度一定是2.5m/sB.小球平抛的初速度可能是2.5m/sC.圆盘转动的角速度一定是冗rad/s

D.圆盘转动的角速度可能是nrad/s

答案A

解析

根据h=2gt2可得

=2s,则小球平抛的初速度

vo=-=2.5m/s,A正确，B错

误；根据3=2nnn=1、2、3、…），解得圆盘转动的角速度w=~~n~=nnn=1、2、3、…）,

圆盘转动的加速度为a=32r=n2nr=5n2,（n=1、2、3、…），C、D错误.

考点二圆周运动的动力学问题

［基础回扣】

1.匀速圆周运动的向心力

（1）作用效果

向心力产生向心加速度，只改变速度的方向丄改变速度的大小.

（2）大小

Fn=

m「32=

mwv.

（3）方向

始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力.

（4）来源

向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供.

2.离心运动和近心运动

（1）离心运动：

做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动.

⑵受力特点（如图7）

1当F=0时，物体沿切线方向飞岀，做匀速直线运动.

2当0

3当F>mrw2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动.

⑶本质：

离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力.

［技巧点拨】

1.匀速圆周运动的实例分析

圆锥摆模型

飞机水平转弯

Ff呗nnfl

火车转弯

P,=W」.UI；I」Iif

圆锥摆

rihinH

飞车走壁

Fn=rprjfLiJil（f

汽车在水平路面转弯

/汽车

F启料

水平转台（光滑）

2.圆周运动动力学问题的分析思路

［例3公路急转弯处通常是交通事故多发地带•如图8，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车

行驶的速率为vo时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势.则在该弯道处

A•路面外侧低内侧高

B.车速只要低于vo,车辆便会向内侧滑动

C•车速虽然高于vo,但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动

D•当路面结冰时，与未结冰时相比，vo的值变小

答案C

解析路面应建成外高内低，此时重力和支持力的合力指向内侧，可以提供圆周运动的向心

力，A错误；车速低于vo,所需的向心力减小，此时可以产生指向外侧的摩擦力，减小提供

的力，车辆不会向内侧滑动，B错误；当车速为vo时，静摩擦力为零，靠重力和支持力的合

力提供向心力，速度高于vo时，摩擦力指向内侧，只要速度不超过最高限度，车辆不会向外

侧滑动，C正确；当路面结冰时，与未结冰时相比，由于支持力和重力不变，故vo不变，D

错误.

［例4如图9所示，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水平面上，圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°,有A、B两个质量相同的小球在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动，下列说法正确的是（）

图9

A.A、B球受到的支持力之比为3:

B.A、B球的向心力之比为.'3:

C.A、B球运动的角速度之比为3:

D.A、B球运动的线速度之比为1:

答案C

解析设小球受到的支持力为Fn，向心力为F，则有FNSin0=mg,Fna:

Fnb=：

1，选项

A错误；F=to%，Fa:

Fb=3:

1,选项B错误；小球运动轨道高度相同，则半径R=htan0

Ra:

Rb=1:

3,由F=m®2R得wa:

wb=3:

1,选项C正确；由v=wR得va:

vb=1:

选项D错误.

跟进训练

3.（圆周运动的动力学问题）（2O21海南海口一中高三月考）如图1O所示，内壁光滑的竖直圆桶,

绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则（）

图10

A•绳的张力可能为零

B.桶对物块的弹力不可能为零

C.随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变

D.随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大

答案C

解析当物块随圆桶做圆周运动时，绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡，因此绳的

张力为一定值，且不可能为零，故A、D错误，C正确；当绳的水平分力提供向心力的时候,

桶对物块的弹力恰好为零，故B错误.

4.（圆锥摆模型）如图11所示，长度不同的两根轻绳Li与L2,—端分别连接质量为mi和m2

的两个小球，另一端悬于天花板上的同一点0,两小球质量之比mi:

m2=1:

2,两小球在同

一水平面内做匀速圆周运动，绳L1、L2与竖直方向的夹角分别为30。

与60°下列说法中正确

的是（）

A.绳L1、L2的拉力大小之比为

B.小球m1、m2运动的向心力大小之比为1:

C.小球m1、m2运动的向心加速度大小之比为1:

D.小球m1、m2运动的线速度大小之比为1:

答案B

解析小球运动的轨迹圆在水平面内，运动形式为匀速圆周运动，在指向轨迹圆圆心方向列向心力表达式方程，在竖直方向列平衡方程，可得拉力大小ft1=cmgo,°ft2=comgo，。

则f

cos30cos60Ft2

3F11一

=g，A选项错误；向心力大小F1=m1gtan30°，F2=m2gtan60。

，贝U卩2=6，B选项正确；

FiF2ai1v

ai=m1，a2=m2,则3,c选项错误；由，因连接两小球的悬点距两小球运动平面

的距离相等可知,

viaitan30°1、丄十七“

荷a2tan60壬3，D选项错误.

12所示，当火车以规定的

（火车转弯）在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨.如图

行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v,重力加速度为g,

两轨所在面的倾角为0,则（

A.该弯道的半径r=g

图12

B•当火车质量改变时，规定的行驶速度随之改变

C•当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压

D•当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压

答案D

解析火车转弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二

222

定律有：

mgtan0=，解得：

r=諸赢，故A错误；根据牛顿第二定律有：

mgtanA士,

解得：

v=.grtan0可知火车规定的行驶速度与火车质量无关，故B错误；当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，

故C错误，D正确.

|拓展点非匀速圆周运动

物体所受合力不指向圆心，合力产生两个效果：

（1）沿半径方向的分力提供向心力，产生向心加速度an,改变速度的方向；

⑵沿切线方向的分力，产生切向加速度at，改变速度的大小，当at与v同向时，速度增大，

做加速圆周运动，反之，则做减速圆周运动.

［例5】（2019江苏南京市月考）如图13所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中

c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直.当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是（）

图13

A.当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为b

B.当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力

c.当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a

D.当转盘减速运动时，P所受摩擦力方向可能为d

答案D

解析转盘匀速转动时，重力和支持力平衡，合外力（摩擦力）提供物块做圆周运动的向心力,

则摩擦力方向为c,故A、B错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c

方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，两方向的合力即摩

擦力方向不可能指向a，故C错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿

c方向指向圆心的向心力，还有指向a的相反方向的切向力，使线速度大小减小，两方向的

合力即摩擦力的方向可能指向d，故D正确.

课时精练

双基巩固练

A绕O点旋转时,

1.（2019浙江嘉兴市期末）如图1所示是某品牌手动榨汁机，榨汁时手柄手柄上B、C两点的周期、角速度及线速度等物理量的关系是（）

图1

A.Tb=Tc,vb>vc

C.wb>wc,vb=vc

答案B

B.Tb=Tc,vb

D.wB

解析

由B、c共轴，故

wb=wc,即卩Tb=Tc,又rB

由v=wr知vb

2.（2019山西六校联考）如图2所示，小物块A与圆盘保持相对静止，随圆盘一起做匀速圆周

运动，则下列关于小物块A受力情况的说法中正确的是（）

A.受重力、支持力和向心力

B•受重力、支持力和指向圆心的摩擦力

C.受重力、支持力和与运动方向相反的摩擦力

D.受重力、支持力、指向圆心的摩擦力和指向圆心的向心力答案B

3.（2020浙江杭高5月测试）游乐园的小型“摩天轮”上对称站着质量相等的8位同学，如图3

所示，“摩天轮”在竖直平面内逆时针匀速转动，某时刻甲正好在最高点，乙处于最低点.则

此时甲与乙（）

图3

A•线速度相同

B.加速度相同

C.所受合外力大小相等

D•“摩天轮”对他们作用力大小相等

答案C

解析由于“摩天轮”在竖直平面内逆时针匀速转动，所以甲、乙线速度大小相等，甲线速

度方向向左，乙线速度方向向右，故

A错误；根据a可知，甲、乙加速度大小相等，甲

他们作用力大小不相等，故D错误.

三个齿轮的半径之比为

（2020辽宁丹东市质检）在如图4所示的齿轮传动中,

轮转动的时候，关于小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点，（）

图4

A.A点和B点的线速度大小之比为1:

B.A点和B点的角速度之比为1:

C.A点和B点的角速度之比为3:

D•以上三个选项只有一个是正确的

答案C

解析题图中三个齿轮边缘线速度大小相等，则A点和B点的线速度大小之比为1:

1,由v

=可知，线速度一定时，角速度与半径成反比，则A点和B点角速度之比为3:

1，故C

正确，A、B、D错误.

5.（2018浙江11月选考9）如图5所示，一质量为2.0X103kg的汽车在水平公路上行驶，路面

对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4X104N,当汽车经过半径为80m的弯道时，下列判断正确

的是（）

图5

A•汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力

B.汽车转弯的速度为20m/s时所需的向心力为1.4X104N

C.汽车转弯的速度为20m/s时汽车会发生侧滑

D.汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0m/s2

答案D

解析汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力，向心力是由摩擦力提供的，A错误；汽

v24

车转弯的速度为20m/s时，根据Fn=mR,得所需的向心力为1.0X104N，没有超过最大静摩擦力，所以汽车不会发生侧滑，B、C错误；汽车安全转弯时的最大向心加速度为am=三=

7.0m/s2,D正确.

6.（2021江苏无锡市期中）在空间站中，宇航员长期处于失重状态.为缓解这种状态带来的不

适，科学家设想建造一种环形空间站，如图6所示.圆环绕中心匀速旋转，宇航员站在旋转

舱内的侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力.已知地球表面的重力加速

度为g,圆环的半径为r，宇航员可视为质点.以下说法正确的是（）

图6

A•宇航员处于平衡状态

B.宇航员的向心加速度大小应为g

C.旋转舱绕其轴线转动的角速度大小应为gr

D•旋转舱绕其轴线转动的线速度大小应为

答案B

解析旋转舱中的宇航员做匀速圆周运动，圆环绕中心匀速旋转使宇航员受到与在地球表面

时相同大小的支持力作用，向心加速度大小应为g,合力指向圆心，宇航员处于非平衡状态.设

角速度为3,则w2r=g,3=:

g，设线速度为v,则*=g,v=.gr,B正确.

7.（2021江苏溧水二高、秦淮中学、天印中学期中联考）有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由

杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的内侧壁高速行驶，做匀速圆周运动•如图7所示，图

中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h,下列说法中正确的是（）

B.h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越小

C.h越高，摩托车做圆周运动的周期将越大

D.h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大答案C

解析摩托车做匀速圆周运动，合外力完全提供向心力，所以摩托车在竖直方向上受力平衡,

有Fncos0=mg,

可知侧壁对摩托车的支持力与高度h无关，根据牛顿第三定律可知摩托车对侧壁的压力不变，

A错误；根据牛顿第二定律可知mgtan0=m^,

解得v=.grtan0,

高度h越大，r越大，摩托车做圆周运动的线速度越大，B错误；根据牛顿第二定律可知mgtan

高度h越大，r越大，摩托车做圆周运动的周期越大,

C正确；摩托车做圆周运动的向心力

大小为mgtan0,大小不变，D错误.

8.（2019天津市南开区下学期二模）飞机飞行时除受到发动机的推力和空气阻力外，还受到重力和机翼的升力，机翼的升力垂直于机翼所在平面向上，当飞机在空中盘旋时机翼倾斜（如图

8所示），以保证重力和机翼升力的合力提供向心力.设飞机以速率v在水平面内做半径为R

的匀速圆周运动时机翼与水平面成0角，飞行周期为T.则下列说法正确的是（）

周期T不一定增大，故D错误.

9•如图9所示，一根细线下端拴一个金属小球Q,细线穿过小孔（小孔光滑）另一端连接在金

属块P上，P始终静止在水平桌面上，若不计空气阻力，小球在某一水平面内做匀速圆周运

动（圆锥摆）•实际上，小球在运动过程中不可避免地受到空气阻力作用•设因阻力作用，小

球Q的运动轨道发生缓慢的变化

（可视为一系列半径不同的圆周运动）•下列判断正确的是

A.小球Q的位置越来越高

B.细线的拉力变小

C.小球Q运动的角速度变大

D.P受到桌面的静摩擦力变大答案B

解析由于小球受到空气阻力作用,

线速度减小，则所需要的向心力减小，小球做近心运动,

小球的位置越来越低，故A项错误；设细线与竖直方向的夹角为0,细线的拉力大小为Ft,

细线的长度为L,当小球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，如图

所示，则有

cos0，

mgtan0=m

Lsin0=

mw2Lsin

气阻力作用，线速度减小，0减小，cos0增大，因此，细线的拉力Ft减小，角速度3减小,

故B项正确，C项错误；对金属块P,由平衡条件知,

能力提升练

10.（2019四川成都七中5月测试）天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无

摩擦地旋转.一根轻绳穿过P,两端分别连接质量为m-i和m2的小球A、B（mi工m2）.设两球

同时做如图10所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则（）

A•两球运动的周期之比等于mi:

B.两球的向心加速度大小相等

C.球A、B到P的距离之比等于m2:

D.球A、B到P的距离之比等于mi:

答案C

解析对其中一个小球受力分析，其受到重力和绳的拉力Ft,绳的拉力在竖直方向的分力与

重力平衡，设轻绳与竖直方向的夹角为0,则有Ftcos0=mg,拉力在水平方向上的分力提供

、4n

向心力，设该小球到P的距离为I，则有FTSin0=mgtan0=m^rlsin0,解得周期为T=

因为任意时刻两球均在同一水平面内，故两球运动的周期相等，选项

A错误；连接两球的绳的张力Ft相等，由于向心力为Fn=FTSin0=mw2lsin0,故m与I成反

■

比，即~m，又小球的向心加速度a=32htan0=（^j^htan0,故向心加速度大小不相等，选

丨2miI

项C正确，B、D错误.

11•如图11所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动.一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为

h，重力加速度为g，则（）

A.子弹在圆筒中的水平速度为

B.子弹在圆筒中的水平速度为

C.圆筒转动的角速度可能为3=2

D•圆筒转动的角速度可能为3=3

答案

解析子弹在圆筒中运动的时间与自由下落高度

h的时间相同，即

，故A、B错误；在此段时间内圆筒转过的圈数为半圈的奇数倍，即

3=（2n+1）nn

=0,1,2,

…），所以

2n+1ng

3=t=（2n+1）2h（n=0,1,2，

…），故D正确,

C错误.

12.（2019江苏宿迁市2月调研）如图1

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