第27讲 命题证明及平行线的判定定理培优课程讲义例题练习含答案.docx

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第27讲命题证明及平行线的判定定理培优课程讲义例题练习含答案

命题、证明及平行线的判定定理（提高）知识讲解

【学习目标】

1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论；

2.体会检验数学结论的常用方法：

实验验证、举出反例、推理；

4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式；

5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论.

【要点梳理】

要点一、定义与命题

1.定义：

一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.

要点诠释：

（1）定义实际上就是一种规定.

（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.

2.命题：

判断一件事情的句子叫做命题.

真命题：

正确的命题叫做真命题.

假命题：

不正确的命题叫做假命题.

要点诠释：

（1）命题的结构：

命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.

（2）命题的真假：

对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.

要点二、证明的必要性

要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.推理的过程叫做证明.

要点三、公理与定理

1.公理：

通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.

要点诠释：

欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.

2.定理：

通过推理得到证实的真命题叫做定理.

要点诠释：

证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.

要点四、平行公理及平行线的判定定理

1．平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

要点诠释：

（1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．

（2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．

（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.

2．平行线的判定定理

判定方法1：

同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠3＝∠2

∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

判定方法2：

内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠1＝∠2

∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法3：

同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠4＋∠2＝180°

∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

要点诠释：

平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.

【典型例题】

类型一、定义与命题

1．说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题：

（1）在同一个三角形中，等角对等边；

（2）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；

（3）有两边对应成比例,且有任意一角对应相等的两个三角形相似.

【答案与解析】

解：

（1）先把这个命题写成“如果……那么……”的形式：

如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.

条件：

同一个三角形中的两个角相等；结论：

这两个角所对的两条边相等.它是真命题.

（2）原命题可以写成：

如果两个三角形有两个角和其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等.

条件：

两个三角形有两个角和其中一角的对边对应相等；结论：

这两个三角形全等.它是真命题.

（3）原命题可以写成：

如果两个三角形两边对应成比例，且有任意一角对应相等，那么这两个三角形相似.

条件：

两个三角形两边对应成比例，且有任意一角对应相等；结论：

这两个三角形相似.

它是假命题，反例：

如下图：

【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例.

举一反三：

【变式】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题的话，请指出是真命题还是假命题?

（1）三角形的三条高交于一点；

（2）解方程

；（3）1＋2≠3.

【答案】

（2）不是命题；

（1）（3）是命题，其中

（1）是真命题，（3）是假命题.

【变式2】下列真命题的个数是（）

（1）直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则a∥d.

（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.

（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.

（4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行．

A．1个B.2个C．3个D．4个

【答案】B

类型二、公理、定理及证明

2．证明：

对顶角相等.

【思路点拨】如果题目中没有明确出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如果需要的话并画出图形，再证明.

【答案与解析】

已知：

如图，直线AB，CD相交于点O，∠1和∠2是对顶角.

求证：

∠1＝∠2.

证明：

∵∠1和∠2是对顶角（已知），

∴OA与OB互为反向延长线（对顶角的意义）.

∴∠AOB是平角（平角的定义）.

同理，∠COD也是平角.

∴∠1和∠2都是∠AOC的补角（补角的定义）.

∴∠1＝∠2（等角的补角相等）.

【总结升华】“对顶角相等”是一个定理,而不是公理.

举一反三：

【变式】证明：

相似三角形的周长比等于相似比．

【答案】

已知：

如图，△ADE∽△ABC,AE∶AC=k

求证：

C△ADE:

C△ABC＝k

证明：

∵△ADE∽△ABC

∴AE:

AC＝AD:

AB＝DE:

BC＝k

∴（AE+AD+DE）:

（AC+AB+BC）＝k

∴C△ADE:

C△ABC＝k

类型三、平行公理及平行线的判定

3.（春•无锡）一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α（α=∠BAD且0°＜α＜180°），使两块三角板至少有一组边平行．

（1）如图①，α=　　°时，BC∥DE；

（2）请你分别在图②、图③的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出α，并完成各项填空：

图②中α=　　°时，　　∥　　；图③中α=　　°时，　　∥　　．

【思路点拨】

（1）利用两直线平行同位角相等，并求得α=45°﹣30°=15°；

（2）利用平行线的性质及旋转不变量求得旋转角即可．

【答案与解析】解：

（1）图①中α=15°时，BC∥DE，

∵BC∥DE，

∴∠1=∠B=60°，

∵∠1=∠D+∠α，∠D=45°，

∴∠α=15°

α=∠CAD﹣∠CAB=45°﹣30°=15°．

（2）图②中α=60°时，BC∥DA，

∵∠BAC=30°，∠α=60°，

∴∠DAC=90°=∠C，

∴∠DAC+∠C=180°，

∴BC∥DA；

图③中α=105°时，BC∥EA．

∵∠α=105°，∠DAE=45°，

∴∠EAB=60°，

∵∠B=60°，

∴∠EAB=∠B，

∴BC∥EA．

故答案为：

（1）15；

（2）60；BC；DA；105；BC；AE．

【总结升华】本题考查了图形的旋转变化，学生主要看清是顺时针还是逆时针旋转，并判断旋转角为多少度，难度不大，但易错．

举一反三：

【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）．

A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°

B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°

C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°

D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°

【答案】A

提示：

“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图．

图B显然不同向，因为路线不平行．

图C中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．

图D中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．

只有图A路线平行且同向，故应选A．

4.（春•太仓市期末）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？

试说明理由．

【思路点拨】根据四边形的内角和定理和∠A=∠C=90°，得∠ABC+∠ADC=180°；根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条直线平行．

【答案与解析】

解：

BE∥DF．理由如下：

∵∠A=∠C=90°，

∴∠ABC+∠ADC=180°

∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，

∴∠1=∠2=

∠ABC，∠3=∠4=

∠ADC，

∴∠1+∠3=

（∠ABC+∠ADC）=

×180°=90°，

又∠1+∠AEB=90°，

∴∠3=∠AEB

∴BE∥DF

【总结升华】此题运用了四边形的内角和是360°、角平分线定义、等角的余角相等和平行线的判定，考察的知识点较多，只有熟练掌握，才能运用自如.

举一反三：

【变式1】已知，如图，BE平分ABD，DE平分CDB，且1与2互余，试判断直线AB、CD的位置关系，请说明理由．

【答案】

解：

AB∥CD，理由如下：

∵BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，

∴∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2．

又∵∠1+∠2＝90°，

∴∠ABD+∠CDB＝180°．

∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．

【变式2】（•长春一模）如图，直线a与直线b被直线c所截，b⊥c，垂足为点A，∠1=70°．若使直线b与直线a平行，则可将直线b绕着点A顺时针旋转（　　）

A．70°B．50°C．30°D．20°

【答案】

解：

∵b⊥c，

∴∠2=90°．

∵∠1=70°，a∥b，

∴直线b绕着点A顺时针旋转的度数=90°﹣70°=20°．

故选D．

命题、证明及平行线的判定定理（提高）巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1.下列说法中是真命题的有（）．

①一条直线的平行线只有一条．

②过一点与已知直线平行的直线只有一条．

③因为a∥b，c∥d，所以a∥d．

④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角（）．

A．相等B．互补C．互余D．相等或互补

3．（•黔南州）如图，下列说法错误的是（　　）

A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．若∠1=∠2，则a∥c

C．若∠3=∠2，则b∥cD．若∠3+∠5=180°，则a∥c

4．一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是（）．

A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°．

B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°．

C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°．

D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°．

5．（春•莒县期末）如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（）．

A．∠3＝∠4B．∠1＝∠5C．∠1+∠4=180°D．∠3＝∠5

6.（绍兴）学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图，

（1）—（4））:

从图中可知，小敏画平行线的依据有（）．

①两直线平行，同位角相等．②两直线平行，内错角相等．③同位角相等，两直线平行．

④内错角相等，两直线平行．

A.①②B.②③C.③④D.④①

二、填空题

7.在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是________．

8．（春•高密市）如图，在下列条件中：

①∠DAC=∠ACB；②∠BAC=∠ACD；③∠BAD+∠ADC=180°；④∠BAD+∠ABC=180°．其中能使直线AB∥CD成立的是　．（填序号）

9．规律探究：

同一平面内有直线a1，a2，a3…，a100，若a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4…，按此规律，a1和a100的位置是________．

10．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，则另一个角的度数是．

11．（春•吴兴区期末）如图，EF⊥AB于点F，CD⊥AB于点D,E是AC上一点，∠1=∠2，则图中互相平行的直线有对．

12.如图，AB⊥EF于点G，CD⊥EF于点H，GP平分∠EGB，HQ平分∠CHF，则图中互相平行的直线有．

三、解答题

13.如图，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使AB∥EF，∠4应为多少度?

说明理由．

14．（春•泗阳）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC交CD于E，DF平分∠ADC交AB于F．

（1）若∠ABC=60°，则∠ADC=　　°，∠AFD=　　°；

（2）求证：

BE∥DF．

15．如图，把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝20°，那么∠BAF为多少度时，才能使AB′∥BD？

16．如图所示，由∠1＝∠2，BD平分∠ABC，可推出哪两条线段平行，写出推理过程，如果推出另两条线段平行，则应将以上两条件之一作如何改变?

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】A；

【解析】只有④是真命题，其它均是假命题．

2.【答案】D；

3.【答案】C；

【解析】A、若a∥b，b∥c，则a∥c，利用了平行公理，正确；

B、若∠1=∠2，则a∥c，利用了内错角相等，两直线平行，正确；

C、∠3=∠2，不能判断b∥c，错误；

D、若∠3+∠5=180°，则a∥c，利用同旁内角互补，两直线平行，正确；故选C．

4.【答案】B；

5.【答案】D；

【解析】∠3和∠5是同旁内角，同旁内角相等，不能判定两直线平行．

6.【答案】C；

【解析】解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，过点P的折痕与虚线垂直．

二、填空题

7.【答案】0或1或2或3个；

8.【答案】②③；

【解析】①∠DAC=∠ACB利用内错角相等两直线平行得到AD∥BC，错误；②∠BAC=∠ACD利用内错角相等两直线平行得到AB∥CD，正确；③∠BAD+∠ADC=180°利用同旁内角互补得到AB∥CD，正确；④∠BAD+∠ABC=180°利用同旁内角互补得到AD∥BC，错误；

故答案为：

②③

9.【答案】a1∥a100；

【解析】为了方便，我们可以记为a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100，因为a1⊥a2∥a3，所以a1⊥a3，而a3⊥a4，所以a1∥a4∥a5．同理得a5∥a8∥a9，a9∥a12∥a13，…，接着这样的规律可以得a1∥a97∥a100，所以a1∥a100．

10.【答案】40°或140°；

11.【答案】2；

【解析】EF∥CD,ED∥CB．

12.【答案】AB∥CD，GP∥HQ；

【解析】

理由：

∵AB⊥EF，CD⊥EF．∴∠AGE＝∠CHG＝90°．∴AB∥CD．

∵AB⊥EF．∴∠EGB＝∠2＝90°．∴GP平分∠EGB．

∴∠1＝

EGB＝45°．

∴∠PGH＝∠1+∠2＝135°．

同理∠GHQ＝135°，∴∠PGH＝∠GHQ．

∴GP∥HQ．

三、解答题

13.【解析】

解：

∠4＝100°．理由如下：

∵∠1＝60°，∠2＝60°，

∴∠1＝∠2，∴AB∥CD

又∵∠3＝∠4＝100°，

∴CD∥EF，∴AB∥EF．

14．【解析】

解：

（1）∵∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，

∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=120°，

∵DF平分∠ADC交AB于F，

∴∠FDA=

ADC=60°，

∴∠AFD=90°﹣∠ADF=30°；故答案为120，30；

（2）BE∥DF．理由如下：

∵BE平分∠ABC交CD于E，

∴∠ABE=

∠ABC=

×60°=30°，

∵∠AFD=30°；

∴∠ABE=∠AFD，

∴BE∥DF．

15.【解析】

解：

要使AB′∥BD，只要∠B′AD＝∠ADB＝20°，

∠B′AB＝∠BAD+∠B′AD＝90°+20°＝110°．

∴∠BAF＝

∠B′AB＝

×110°＝55°．

16．【解析】

解：

可推出AD∥BC．∵BD平分∠ABC（已知）．

∴∠1＝∠DBC（角平分线定义）．

又∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠DBC（等量代换）．

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．

把∠1＝∠2改成∠DBC＝∠BDC．