三维设计二轮复习教师用书第四板块.docx
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三维设计二轮复习教师用书第四板块
第一讲 创新应用问题
一、实际应用问题
（1）应用性问题叙述中往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化.
（2）建立数学模型后，运用恰当的数学方法解模（如借助不等式、导数等工具加以解决）.
[典例]
（1）一个边长为6的正方形铁片，铁片的四角分别截去边长为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，当无盖方盒的容积最大时，x的值应为（ ）
A．6 B．3
C．1D.
[解析] 无盖方盒的底面边长为6－2x，高为x，其容积V（x）＝（6－2x）2x＝4x3－24x2＋36x（0＜x＜3），则V′（x）＝12x2－48x＋36＝12（x－1）（x－3），
当x∈（0,1）时，V′（x）＞0，函数V（x）单调递增；当x∈（1,3）时，V′（x）＜0，函数V（x）单调递减．
故当x＝1时，无盖方盒的容积最大．
[答案] C
（2）（2016·四川高考）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据：
lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）
A．2018年B．2019年
C．2020年D．2021年
[解析] 设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130（1＋12%）n＞200，得1.12n＞，两边取常用对数，得n＞≈＝，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．
[答案] B
[反思领悟] 解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解．其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型．
[创新预测]
为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人的交通违规行为进行处罚教育．为了更加详细地研究处罚金额对闯红灯人数的作用，在某一个路口进行了五天试验，得到当天的处罚金额与闯红灯人数的统计数据如下表：
当天处罚金额x（单位：
元）
0
5
10
15
20
当天闯红灯人数y
80
50
40
20
10
（1）根据以上数据，建立当天闯红灯人数y关于当天处罚金额x的回归直线方程；
（2）根据统计数据，上述路口每天经过的行人约为320人，每人闯红灯的可能性相同，且相互独立，在处罚金额为0元的情况下，记甲、乙、丙三人中闯红灯的人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式：
＝，＝－.
解：
（1）由题意得＝（0＋5＋10＋15＋20）＝10，
＝（80＋50＋40＋20＋10）＝40，
iyi＝0×80＋5×50＋10×40＋15×20＋20×10＝1150，
＝0＋25＋100＋225＋400＝750，
所以＝＝＝－3.4，
＝－＝40＋3.4×10＝74，
所以当天闯红灯人数y关于当天处罚金额x的回归直线方程为＝－3.4x＋74.
（2）上述路口每天经过的行人约为320人，在处罚金额为0元的情况下，闯红灯的人数为80，故每人闯红灯的概率为.
易知X的所有可能取值为0,1,2,3，
其中P（X＝0）＝C3＝，
P（X＝1）＝C··2＝，
P（X＝2）＝C2＝，
P（X＝3）＝C3＝，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
故E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
二、创新性问题
（1）以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键.
（2）以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力.
（3）以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.
[典例] 设D是函数y＝f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使得f（x0）＝－x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在“次不动点”．若函数f（x）＝ax2－3x－a＋在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，0] B.
C.D.
[解析] 由题意，方程ax2－3x－a＋＝－x在区间[1,4]上有解，显然x≠1，所以方程ax2－3x－a＋＝－x在区间（1,4]上有解，即求函数a＝在区间（1,4]上的值域，
令t＝4x－5，则t∈（－1,11]，a＝，当t∈（－1,0]时，a≤0；
当t∈（0,11]时，0＜a＝≤＝，当且仅当t＝3时取等号．
综上，实数a的取值范围是.
[答案] C
[反思领悟] 高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新性问题应注意三点：
认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合理推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略．
[创新预测]
1．定义：
如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常，那么这个列叫作等差列，这个常叫作等差列的公差．已知向量列{an}是以a1＝（1,3）为首项，公差为d＝（1,0）的等差向量列，若向量an与非零向量bn＝（xn，xn＋1）（n∈N*）垂直，则＝________.
解析：
易知an＝（1,3）＋（n－1,0）＝（n,3），因为向量an与非零向量bn＝（xn，xn＋1）（n∈N*）垂直，所以＝－，所以＝········＝××××××××＝－.
答案：
－
2．（2017·青岛一模）如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）＋x2f（x2）＞x1f（x2）＋x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”．
给出下列函数：
①y＝x2；②y＝ex＋1；③y＝2x－sinx；④f（x）＝以上函数是“H函数”的所有序号为________．
解析：
由不等式x1f（x1）＋x2f（x2）＞x1f（x2）＋x2f（x1），
得x1[f（x1）－f（x2）]＋x2[f（x2）－f（x1）]＞0，
即（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0.
所以函数f（x）为定义域R上的单调增函数．
①y＝x2在（－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞）上单调递增，不合题意；
②因为y＝ex＋1，所以y′＝ex＞0，故该函数在R上为单调增函数，满足题意；
③因为y＝2x－sinx，所以y′＝2－cosx＞0，故该函数在R上为单调增函数，满足题意；
④显然，函数f（x）为偶函数，而偶函数在y轴两侧的单调性相反，故不合题意．
综上，②③为“H函数”．
答案：
②③
3.如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝θ，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：
若＝xe1＋ye2（其中e1，e2分别是x轴，y轴正方向上的单位向量），则点P的斜坐标为（x，y），向量的斜坐标为（x，y）．给出以下结论：
①若θ＝60°，P（2，－1），则||＝；
②若P（x1，y1），Q（x2，y2），则＋＝（x1＋x2，y1＋y2）；
③若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则·＝x1x2＋y1y2；
④若θ＝60°，以O为圆心、1为半径的圆的斜坐标方程为x2＋y2＋xy－1＝0.
其中所有正确结论的序号是________．
解析：
对于①，OP是两邻边长分别为2,1，且一内角为60°的平行四边形较短的对角线，解三角形可知||＝，故①正确；对于②，若P（x1，y1），Q（x2，y2），则＋＝（x1＋x2，y1＋y2），故②正确；对于③，＝（x1，y1），＝（x2，y2），所以·＝（x1e1＋y1e2）·（x2e1＋y2e2），因为e1·e2≠0，所以·≠x1x2＋y1y2，故③错误；对于④，设圆O上任意一点为P（x，y），因为|OP|＝1，所以（xe1＋ye2）2＝1，所以x2＋y2＋xy－1＝0，故④正确．故填①②④.
答案：
①②④
三、数学文化问题
高考中数学文化问题，往往以古代数学名著如《九章算术》《数书九章》《算数书》等为背景，考查高中数学中的三角函数、数列、立体几何、算法等知识，体现数学的科学价值和人文价值.
1．三角函数中的数学文化
[典例]
第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan＝________.
[思路分析] 本题先根据题意确定大、小正方形的边长，再由直角三角形中锐角的三角函数值确定角θ满足的条件，由此依据相关的三角函数公式进行计算即可．
[解析] 依题意得大、小正方形的边长分别是1,5，
于是有5sinθ－5cosθ＝1，
即有sinθ－cosθ＝.
从而（sinθ＋cosθ）2＝2－（sinθ－cosθ）2＝，
则sinθ＋cosθ＝，
因此sinθ＝，cosθ＝，tanθ＝，
故tan＝＝－7.
[答案] －7
[相关链接] 1700多年前，赵爽绘制了极富创意的弦图，采用“出入相补”原理使得勾股定理的证明不证自明．该题取材于第24届国际数学家大会会标，题干大气，设问自然，流露出丰富的文化内涵．既巧妙地考查了三角函数的相关知识，又丰富了弦图的内涵，如正方形四边相等寓言各国及来宾地位平等，小正方形和三角形紧紧簇拥在一起，表明各国数学家要密切合作交流等等．
[创新预测]
欧拉公式eix＝cosx＋isinx是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，复数e
·e
＋（1＋i）2的虚部是（ ）
A．－1 B．1
C．－2D．2
解析：
选D 依题意得，e
·e
＋（1＋i）2＝＋2i＝－1＋2i，其虚部是2.
2．数列中的数学文化
[典例] （2017·全国卷Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：
“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
”意思是：
一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏B．3盏
C．5盏D．9盏
[思路分析] 此问题实质是等比数列问题，相当于已知S7，求a1.
[解析] 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝＝381，解得a1＝3.
[答案] B
[相关链接] 我国古代数学强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题可转化为等差（或等比）数列问题，因此，各级各类考试试卷中涉及等差（或等比）数列的数学文化题也频繁出现．解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，运用等差、等比数列的概念、通项公式和前n项和公式求解．
[创新预测]
中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：
“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：
有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）
A．192里B．96里
C．48里D．24里
解析：
选B 依题意，每天走的路程成公比为等比数列，设等比数列{an}的首项为a1，公比为q＝，依题意有＝378，解得a1＝192，则a2＝192×＝96，即第二天走了96里．
3．立体几何中的数学文化
[典例]
（1）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图所示，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别是（ ）
A．a，bB．a，c
C．c，bD．b，d
[思路分析] 观察题目所给直观图，理解题干中有关“牟合方盖”的特征叙述，结合“当其正视图和侧视图完全相同时”这个关键条件作答．
[解析] 当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.
[答案] A
[相关链接] “牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一．本题取材于“牟合方盖”，通过加工改造，添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度．解题从识“图”到想“图”再到构“图”，考生要经历分析、判断的逻辑过程．
（2）我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）
A．4－B．8－
C．8－πD．8－2π
[思路分析] 根据题设所给的三视图，可知其所对应几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，再根据祖暅原理和有关数据计算即可．
[解析] 由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等．根据题设所给的三视图，可知图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为23＝8，半圆柱的体积为×（π×12）×2＝π，因此该不规则几何体的体积为8－π.
[答案] C
[相关链接] 祖暅原理是我国古代数学家祖暅提出的一个有关几何求积的著名定理，祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年．人民教育出版社《数学必修2》（A版）第30页“探究与发现”中专门介绍了祖暅原理．本题取材于祖暅原理，考查几何体的三视图和体积计算，既检测了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华民族的优秀传统文化．
[创新预测]
（2017·武汉模拟）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：
寸），若π取3，其体积为12.6（单位：
立方寸），则图中的x为（ ）
A．1.2B．1.6
C．1.8D．2.4
解析：
选B 该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x,3，1的长方体，∴组合体的体积V＝V圆柱＋V长方体＝π·2×x＋（5.4－x）×3×1＝12.6（其中π＝3），解得x＝1.6.
4．算法中的数学文化
[典例]
（1）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为（ ）
A．9B．18
C．20D．35
[思路分析] 读懂程序框图，按程序框图依次执行即可．
[解析] 由程序框图知，
初始值：
n＝3，x＝2，v＝1，i＝2，
第一次循环：
v＝4，i＝1；
第二次循环：
v＝9，i＝0；
第三次循环：
v＝18，i＝－1.
结束循环，输出当前v的值18.故选B.
[答案] B
[相关链接] 《九章算术》系统总结了我国古代人民的优秀数学思想，开创了构造算法以解决各类问题的东方数学发展的光辉道路，这与当今计算机科学的飞速发展对数学提出的要求不谋而合．
（2）
（2017·安徽二校联考）如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“mMODn”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495,135，则输出的m＝（ ）
A．0B．5
C．45D．90
[解析] 该程序框图是求495与135的最大公约数，由495＝135×3＋90,135＝90×1＋45,90＝45×2，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的m＝45.
[答案] C
[创新预测]
公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程
序框图，则输出n的值为________．（参考数据：
sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）
解析：
n＝6，S＝×6×sin60°＝≈2.5981＜3.1，不满足条件，进入循环；n＝12，S＝×12×sin30°＝3＜3.1，不满足条件，继续循环；n＝24，S＝×24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056＞3.1，满足条件，退出循环，输出n的值为24.
答案：
24
1．（2017·大连二模）定义运算：
xy＝例如：
34＝3，（－2）4＝4，则函数f（x）＝x2（2x－x2）的最大值为（ ）
A．0 B．1
C．2D．4
解析：
选D 由题意可得f（x）＝x2（2x－x2）＝当0≤x≤2时，f（x）∈[0,4]；当x＞2或x＜0时，f（x）∈（－∞，0）．综上可得函数f（x）的最大值为4.
2．朱载堉（1536—1611），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为f1，第七个音的频率为f2.则＝（ ）
A.B.
C．4D.
解析：
选A 设13个音的频率所成的等比数列{an}的公比为q，则依题意，有a13＝a1·q12＝2a1，所以q＝2，所以＝＝q4＝2＝.
3．（2017·宜昌三模）已知甲、乙两车间的月产值在2017年1月份相同，甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙车间以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2017年7月份发现两车间的月产值又相同，比较甲、乙两个车间2017年4月份月产值的大小，则（ ）
A．甲车间大于乙车间B．甲车间等于乙车间
C．甲车间小于乙车间D．不确定
解析：
选A 设甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值a，乙车间每个月比前一个月增加产值的百分比为x，甲、乙两车间的月产值在2017年1月份均为m，则由题意得m＋6a＝m×（1＋x）6.①
4月份甲车间的月产值为m＋3a,4月份乙车间的月产值为m×（1＋x）3，
由①知，（1＋x）6＝1＋，即4月份乙车间的月产值为m＝，∵（m＋3a）2－（m2＋6ma）＝9a2＞0，∴m＋3a＞，即4月份甲车间的月产值大于乙车间的月产值．
4.
如图，某广场要规划一矩形区域ABCD，并在该区域内设计出三块形状、大小完全相同的小矩形绿化区，这三块绿化区四周均设置有1m宽的走道，已知三块绿化区的总面积为200m2，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（ ）
A．248m2B．288m2
C．328m2D．368m2
解析：
选B 设绿化区域小矩形的宽为x，长为y，
则3xy＝200，∴y＝，
故矩形区域ABCD的面积
S＝（3x＋4）（y＋2）＝（3x＋4）
＝208＋6x＋≥208＋2＝288，
当且仅当6x＝，即x＝时取“＝”，
∴矩形区域ABCD的面积的最小值为288m2.
5．已知函数y＝f（x）（x∈R），对函数y＝g（x）（x∈R），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y＝h（x）（x∈R），y＝h（x）满足：
对任意的x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）＝关于f（x）＝3x＋b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是________．
解析：
根据“对称函数”的定义可知，＝3x＋b，即h（x）＝6x＋2b－，h（x）＞g（x）恒成立，等价于6x＋2b－＞，即3x＋b＞恒成立，设F（x）＝3x＋b，m（x）＝，作出两个函数对应的图象如图所示，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d＝＝＝2，即|b|＝2，∴b＝2或b＝－2（舍去），即要使h（x）＞g（x）恒成立，则b＞2，即实数b的取值范围是（2，＋∞）．
答案：
（2，＋∞）
6．三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：
今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？
译文如下：
要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高均为3丈的标杆BC和DE，前后标杆相距1000步，使后标杆杆脚D与前标杆杆脚B与山峰脚H在同一直线上，从前标杆杆脚B退行123步到F，人眼著地观测到岛峰，A，C，F三点共线，从后标杆杆脚D退行127步到G，人眼著地观测到岛峰，A，E，G三点也共线，问岛峰的高度AH＝________步．（古制：
1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步）
解析：
如图所示，由题意知BC＝DE＝5步，BF＝123步，DG＝127步，设AH＝h步，因为BC∥AH，所以△BCF∽△HAF，所以＝，所以＝，即HF＝.因为DE∥AH，所以△GDE∽△GHA，所以＝，所以＝，即HG＝，由题意（HG－127）－（HF－123）＝1000，即－－4＝1000，h＝1255，即AH＝1255步．
答案：
1255
7．对于定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）＝c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列结论：
①“平顶型”函数在定义域内有最大值；
②函数f（x）＝x－|x－2|为R上的“平顶型”函数；
③函数f（x）＝sinx－|sinx|为R上的“平顶型”函数；
④当t≤时，函数f（x）＝是区间[0，＋∞）上的“平顶型”函数．
其中正确的结论是________．（填序号）
解析：
由于“平顶型”函数在区间D上对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）＝c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，所以“平顶型”函数在定义域内有最大值c，①正确；对于函数f（x）＝x－|x－2|，当x≥2时，f（x）＝2，当x＜2时，f（x）＝2x－2＜2，所以②正确；函数f（x）＝sinx－|sinx|是周期为2π的函数，所以③不正确；对于函数f（x）＝，当x≤1时，f（x）＝2，当x＞1时，f（x）＜2，所以④正确．
答案：
①②④
8．（2018届高三·兰州八校联考）某公司为了变废为宝，节约资源，新研发了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y（单位：
元）与月处理量x（单位：
吨）之间近似满足函数关系y＝且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油的价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
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