新初一上整体知识点汇总.docx

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新初一上整体知识点汇总

有理数的意义

【要点梳理】

要点一、正数与负数

像+3、+1.5、

、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、

、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．

要点诠释：

（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略.

（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．

（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．

要点二、有理数的分类

（1）按整数、分数的关系分类：

（2）按正数、负数与0的关系分类：

要点诠释：

（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.

（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如

．

（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．

数轴与相反数（基础）

【要点梳理】

要点一、数轴

1.定义：

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

要点诠释：

（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.

（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．

（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．

2.数轴与有理数的关系：

任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如

.

要点诠释：

（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.

（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.

要点二、相反数

1.定义：

只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.

要点诠释：

（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.

（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.

（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.

（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.

2.性质：

（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.

（2）互为相反数的两数和为0.

要点三、多重符号的化简

多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-（-4）]}=4；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-（-4）]}=-4.

要点诠释：

（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5.

（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.

绝对值（基础）

【要点梳理】

要点一、绝对值

1.定义：

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.

要点诠释：

（1）绝对值的代数意义：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：

（2）绝对值的几何意义：

一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．

（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．

2.性质：

绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．

要点二、有理数的大小比较

1.数轴法：

在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小.如：

a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．

2.法则比较法：

两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：

两数同号

同为正号：

绝对值大的数大

同为负号：

绝对值大的反而小

两数异号

正数大于负数

－数为0

正数与0：

正数大于0

负数与0：

负数小于0

要点诠释：

利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：

（1）分别计算两数的绝对值；

（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．

3.作差法：

设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．

4.求商法：

设a、b为任意正数，若

，则

；若

，则

；若

，则

；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．

5.倒数比较法：

如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.

有理数的加减法（基础）

【要点梳理】

要点一、有理数的加法

1.定义：

把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．

2.法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；

（3）一个数同0相加，仍得这个数．

要点诠释：

利用法则进行加法运算的步骤：

（1）判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．

（2）确定和的符号（是“+”还是“－”）．

（3）求各加数的绝对值，并确定和的绝对值（加数的绝对值是相加还是相减）．

3.运算律：

有理数加法运算律

加法交换律

文字语言

两个数相加，交换加数的位置，和不变

符号语言

a+b＝b+a

加法结合律

文字语言

三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变

符号语言

（a+b）+c＝a+（b+c）

要点诠释：

交换加数的位置时，不要忘记符号．

要点二、有理数的减法

1.定义：

已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：

（-5）+?

＝7，求？

，减法是加法的逆运算．

要点诠释：

（1）任意两个数都可以进行减法运算．

（2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：

①性质符号；②数字即数的绝对值．

2.法则：

减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：

．

要点诠释：

将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：

要点三、有理数加减混合运算

将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.

有理数的乘除（基础）

【要点梳理】

要点一、有理数的乘法

1.有理数的乘法法则：

（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

（2）任何数同0相乘，都得0．

要点诠释：

（1）不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．

（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为（-2）×（-3），不应该写成-2×-3．

2.有理数的乘法法则的推广：

（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；

（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．

要点诠释：

（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．

（2）几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．

（3）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．

3.有理数的乘法运算律：

（1）乘法交换律：

两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：

ab＝ba．

（2）乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：

abc＝（ab）c＝a（bc）．

（3）乘法分配律：

一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：

a（b+c）＝ab+ac．

要点诠释：

（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．

（2）乘法运算律可推广为：

三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d（ac）b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a（b+c+d）＝ab+ac+ad．

（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．

要点二、有理数的除法

1.倒数的意义：

乘积是1的两个数互为倒数．

要点诠释：

（1）“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是

，-2和

是互相依存的；

（2）0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；

（3）倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；

（4）互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）．

2.有理数除法法则：

法则一：

除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即

.

法则二：

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.

要点诠释：

（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．

（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．

（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．

要点三、有理数的乘除混合运算

由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．

要点四、有理数的加减乘除混合运算

有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．

有理数的乘方及混合运算（基础）

要点一、有理数的乘方

定义：

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）．

即有：

.在

中，

叫做底数，n叫做指数.

要点诠释：

（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．

（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．

（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．

要点二、乘方运算的符号法则

（1）正数的任何次幂都是正数；

（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即

．

要点诠释：

（1）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．

（2）任何数的偶次幂都是非负数．

要点三、有理数的混合运算

有理数混合运算的顺序：

（1）先乘方，再乘除，最后加减；

（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．

要点诠释：

（1）有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方（以后学习）是第三级运算；

（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．

（3）在运算过程中注意运算律的运用．

科学记数法与近似数知识讲解

【要点梳理】

要点一、科学记数法

把一个大于10的数表示成

的形式（其中

是整数数位只有一位的数，l≤|

|＜10，

是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如

＝

.

要点诠释：

（1）负数也可以用科学记数法表示，“

”照写，其它与正数一样，如

=

；

（2）把一个数写成

形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.

要点二、近似数及精确度

1.近似数：

接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.

要点诠释：

一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.

2.精确度：

一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.

要点诠释：

（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.

（2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小，例如精确到

米，说明结果与实际数相差不超过

米.

整式的概念

【要点梳理】

要点一、单项式

1.单项式的概念：

如

，

，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．

要点诠释：

（1）单项式包括三种类型：

①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．

（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：

可以写成

。

但若分母中含有字母，如

就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．

2.单项式的系数：

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．

要点诠释：

（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；

（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；

（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：

写成

．

3.单项式的次数：

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．

要点诠释：

单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：

（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；

（2）不能将数字的指数一同计算．

要点二、多项式

1.多项式的概念：

几个单项式的和叫做多项式．

要点诠释：

“几个”是指两个或两个以上．

2.多项式的项：

每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．

要点诠释：

（1）多项式的每一项包括它前面的符号．

（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：

是一个三项式．

3.多项式的次数：

多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．

要点诠释：

（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．

（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．

要点三、整式

单项式与多项式统称为整式．

要点诠释：

（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．

即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．

（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．

整式的加减

（一）——合并同类项（基础）

【要点梳理】

要点一、同类项

定义：

所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．

要点诠释：

（1）判断是否同类项的两个条件：

①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．

（2）同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．

（3）一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．

要点二、合并同类项

1.概念：

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．

2．法则：

合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．

要点诠释：

合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意：

（1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有．

（2）合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算.

整式的加减

（二）—去括号与添括号（基础）

【要点梳理】

要点一、去括号法则

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；

如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．

要点诠释：

（1）去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：

当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．

（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．

（3）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．

（4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．

要点二、添括号法则

添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；

添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．

要点诠释：

（1）添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．

（2）去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：

如：

，

要点三、整式的加减运算法则

一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．

要点诠释：

（1）整式加减的一般步骤是：

①先去括号；②再合并同类项．

（2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来．

（3）整式加减的最后结果中：

①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．

方程的意义（基础）知识讲解

【要点梳理】

要点一、方程的有关概念

1．定义：

含有未知数的等式叫做方程.

要点诠释：

判断一个式子是不是方程，只需看两点：

一.是等式；二.是含有未知数．

2．方程的解：

使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.

要点诠释：

判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：

①.它（或它们）是方程中未知数的值；

②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．

3．解方程：

求方程的解的过程叫做解方程.

4．方程的两个特征：

（1）.方程是等式；

（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.

要点二、一元一次方程的有关概念

定义：

只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.

要点诠释：

“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：

①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．

要点三、等式的性质

1．等式的概念：

用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.

2．等式的性质：

　　等式的性质1：

等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：

　　如果

，那么

（c为一个数或一个式子）.

　　等式的性质2：

等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：

如果

，那么

；如果

，那么

.

要点诠释：

（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；

（2）等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，

如x＝0中，两边加上

得x＋

，这个等式不成立;

（3）等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．

一元一次方程的解法（基础）知识讲解

【要点梳理】

要点一、解一元一次方程的一般步骤

变形名称

具体做法

注意事项

去分母

在方程两边都乘以各分母的最小公倍数

（1）不要漏乘不含分母的项

（2）分子是一个整体的，去分母后应加上括号

去括号

先去小括号，再去中括号，最后去大括号

（1）不要漏乘括号里的项

（2）不要弄错符号

移项

把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项要变号）

（1）移项要变号

（2）不要丢项

合并同类项

把方程化成ax＝b（a≠0）的形式

字母及其指数不变

系数化成1

在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解

．

不要把分子、分母写颠倒

要点诠释：

（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．

（2）去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.

（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．

要点二、解特殊的一元一次方程

1.含绝对值的一元一次方程

解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．

要点诠释：

此类问题一般先把方程化为

的形式，再分类讨论：

（1）当

时，无解；

（2）当

时，原方程化为：

；（3）当

时，原方程可化为：

或

.

2.含字母的一元一次方程

此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：

（1）当a≠0时，

；

（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．

实际问题与一元一次方程

（一）（基础）知识讲解

．

【要点梳理】

知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：

问题

方程

解答．由此可得解决此类

题的一般步骤为：

审、设、列、解、检验、答．

要点诠释：

（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；

（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；

（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；

（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；

（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；

（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．

知识点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）

1．和、差、倍、分问题

（1）基本量及关系：

增长量＝原有量×增长率，

现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．

（2）寻找相等关系：

抓住关键词列方程，常见的关键词有：

多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．

2．行程问题

（1）三个基本量间的关系：

路程=速度×时间

（2）基本类型有：

　①相遇问题（或相向问题）：

Ⅰ．基本量及关系：

相遇路程=速度和×相遇时间

Ⅱ．寻找相等关系：

甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．

②追及问题：

Ⅰ．基本量及关系：

追及路程=速度差×追及时间

Ⅱ．寻找相等关系：

第一，同地不同时出发：

前者走的路程＝追者走的路程；

第二，第二，同时不同地出发：

前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．

③航行问题：

Ⅰ．基本量及关系：

顺流速度=静水速度+水流速度，

逆流速度=静水速度－水流速度，

顺水速度－逆水速度＝2×水速；

Ⅱ．寻找相等关系：

抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．

（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．

3．工程问题

如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：

（1）总工作量=工作效率×工作时间；

（2）总工作量=各单位工作量之和．

4．调配问题

寻找相等关系的方法：

抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．

实际问题与一元一次方程

（二）（基础）知识讲解

【要点梳理】

要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：

问题

方程

解答．由此可得解决此类问题的一般步骤为：

审、设、列、解、检验、答．

要点诠释：

（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．

（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．

（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．

（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．

（5）