最新习题62换元积分法和分部积分法.docx
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最新习题62换元积分法和分部积分法
习题62换元积分法和分部积分法
习题6.2换元积分法和分部积分法
1求下列不定积分：
⑴
«SkipRecordIf...»;
⑵
«SkipRecordIf...»;
⑶
«SkipRecordIf...»;
⑷
«SkipRecordIf...»;
⑸
«SkipRecordIf...»;
⑹
«SkipRecordIf...»;
⑺
«SkipRecordIf...»;
⑻
«SkipRecordIf...»;
⑼
«SkipRecordIf...»;
⑽
«SkipRecordIf...»;
⑾
«SkipRecordIf...»;
⑿
«SkipRecordIf...»;
⒀
«SkipRecordIf...»;
⒁
«SkipRecordIf...»;
⒂
«SkipRecordIf...»;
⒃
«SkipRecordIf...»;
⒄
«SkipRecordIf...»;
⒅
«SkipRecordIf...»;
⒆
«SkipRecordIf...»;
⒇
«SkipRecordIf...».
解
（1）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（2）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（3）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（4）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（5）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（6）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（7）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»。
（8）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（9）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（10）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（11）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（12）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（13）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（14）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
（15）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（16）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（17）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（18）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
«SkipRecordIf...»。
（19）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（20）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
⒉求下列不定积分：
⑴
«SkipRecordIf...»;
⑵
«SkipRecordIf...»;
⑶
«SkipRecordIf...»;
⑷
«SkipRecordIf...».
⑸
«SkipRecordIf...»;
⑹
«SkipRecordIf...»;
⑺
«SkipRecordIf...»;
⑻
«SkipRecordIf...»;
⑼
«SkipRecordIf...»;
⑽
«SkipRecordIf...»;
⑾
«SkipRecordIf...»;
⑿
«SkipRecordIf...»;
⒀
«SkipRecordIf...»;
⒁
«SkipRecordIf...»;
⒂
«SkipRecordIf...»;
⒃
«SkipRecordIf...»;
⒄
«SkipRecordIf...»;
⒅
«SkipRecordIf...»;
⒆
«SkipRecordIf...»;
⒇
«SkipRecordIf...»;
解
（1）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»。
（2）当«SkipRecordIf...»时，
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»；
当«SkipRecordIf...»时，也有相同结果。
（3）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»。
（4）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（5）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»。
（6）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»。
（7）当«SkipRecordIf...»时，
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»；
当«SkipRecordIf...»时，也有相同结果。
注：
本题也可令«SkipRecordIf...»化简后解得。
（8）当«SkipRecordIf...»时，
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»；
当«SkipRecordIf...»时，也有相同结果。
注：
本题也可令«SkipRecordIf...»化简后解得。
（9）令«SkipRecordIf...»，则
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（10）令«SkipRecordIf...»，则
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（11）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（12）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»。
注：
本题答案也可写成«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
（13）令«SkipRecordIf...»，于是
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（14）令«SkipRecordIf...»，于是
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»。
（15）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（16）令«SkipRecordIf...»，则
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»。
（17）令«SkipRecordIf...»，则
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»。
（18）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»。
注：
本题也可令«SkipRecordIf...»后，解得
«SkipRecordIf...»。
（19）令«SkipRecordIf...»，则
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»。
（20）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»。
⒊求下列不定积分：
⑴
«SkipRecordIf...»;
⑵
«SkipRecordIf...»;
⑶
«SkipRecordIf...»;
⑷
«SkipRecordIf...»;
⑸
«SkipRecordIf...»;
⑹
«SkipRecordIf...»;
⑺
«SkipRecordIf...»;
⑻
«SkipRecordIf...»;
⑼
«SkipRecordIf...»;
⑽
«SkipRecordIf...»;
⑾
«SkipRecordIf...»;
⑿
«SkipRecordIf...»;
⒀
«SkipRecordIf...»;
⒁
«SkipRecordIf...»;
⒂
«SkipRecordIf...»;
⒃
«SkipRecordIf...»;
⒄
«SkipRecordIf...»;
⒅
«SkipRecordIf...»;
⒆
«SkipRecordIf...»;
⒇
«SkipRecordIf...».
解
（1）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
（2）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（3）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
（4）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（5）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»。
（6）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（7）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
（8）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»。
（9）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»。
（10）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»。
（11）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
（12）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
（13）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»，
所以
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（14）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
«SkipRecordIf...»，
从而
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»，
所以
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
（15）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
（16）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»，
所以
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
注：
若令«SkipRecordIf...»，则可看出本题与第（13）题本质上是同一种类型题。
（17）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»。
（18）令«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»，于是
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»。
（19）令«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»，于是
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
（20）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»。
4．已知«SkipRecordIf...»的一个原函数为«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»。
解由题意
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»，
于是
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
5．设«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»。
解设«SkipRecordIf...»，则
«SkipRecordIf...»，
从而
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
6．设«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»。
解令«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»，于是
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»。
7.求不定积分«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»。
解记«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»，则
«SkipRecordIf...»+«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»，
于是
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
8．求下列不定积分的递推表达式（«SkipRecordIf...»为非负整数）：
⑴
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;
⑵
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;
⑶
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;
⑷
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;
⑸
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;
⑹
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;
⑺
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;
⑻
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
解
（1）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»，
于是
«SkipRecordIf...»，
其中«SkipRecordIf...»。
（2）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»，
其中«SkipRecordIf...»。
（3）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»，
于是
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»，
其中«SkipRecordIf...»。
（4）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»，
其中«SkipRecordIf...»。
（5）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»，
于是
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»，
其中«SkipRecordIf...»。
（6）当«SkipRecordIf...»时，
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»；
当«SkipRecordIf...»时，
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»，
其中«SkipRecordIf...»。
（7）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»，
于是
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»，
其中«SkipRecordIf...»。
（8）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»,
于是
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
其中«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
9．导出求«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»型不定积分的公式。
解«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»10．求下列不定积分:
⑴
«SkipRecordIf...»;
⑵
«SkipRecordIf...»;
⑶
«SkipRecordIf...»;
⑷
«SkipRecordIf...».
解
（1）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»。
（2）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»。
（3）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»。
（4）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»。
11．设«SkipRecordIf...»次多项式«SkipRecordIf...»,系数满足关系«SkipRecordIf...»，证明不定积分«SkipRecordIf...»是初等函数。
证设«SkipRecordIf...»，则
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，
由此得到
«SkipRecordIf...»，
其中«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»的«SkipRecordIf...»次多项式。
当«SkipRecordIf...»时，积分
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
为初等函数。
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