初中七年级数学知识点总结.docx
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初中七年级数学知识点总结
初一数学知识点总结
（初一上学期）
一、代数初步知识
1、代数式：
用运算符号“＋－×÷”连接数及表示数的字母的式子称为代数式。
注意：
用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式。
2、列代数式的几个注意事项：
（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“·”乘，或省略不写。
（2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“·”乘，也不能省略乘号。
（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a。
（4）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成
的形式；
（5）a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a。
3、几个重要的代数式：
（1）a与b的平方差是：
a2-b2；a与b差的平方是：
（a-b）2。
（2）若a、b、c是正整数，则两位整数是：
10a+b；则三位整数是：
100a+10b+c。
（3）若m、n是整数，则被5除商m余n的数是：
5m+n；偶数是：
2n，奇数是：
2n+1；三个连续整数是：
n-1、n、n+1。
（4）若b＞0，则正数是:
a2+b，负数是：
-a2-b，非负数是：
b2，非正数是：
-b2。
二、有理数（自然数→整数→分数）
1、有理数：
（1）凡能写成
（a、b都是整数且a≠0）形式的数，都是有理数。
正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。
（注意：
0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理数）
（2）有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性。
（3）自然数是指0和正整数；a＞0，则a是正数；a＜0，则a是负数；a≥0 ，则a是正数或0（即a是非负数）；a≤0，则a是负数或0（即a是非正数）。
2、数轴：
数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.
3、相反数：
（1）只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0。
（2）注意：
a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；
（3）相反数的和为0时，则a+b=0；即a、b互为相反数。
4、绝对值：
（1）正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。
（注意：
绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离）。
（2）绝对值可表示为|a|。
（3）|a|是重要的非负数，即|a|≥0。
（注意：
|a|²|b|=|a²b|）。
5、有理数比大小：
（1）正数的绝对值越大，这个数越大；
（2）正数永远比0大，负数永远比0小；
（3）正数大于一切负数；
（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；
（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；
（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数＜ 0。
6、互为倒数：
乘积为1的两个数互为倒数。
（注意：
0没有倒数；若 a、b≠0，那么
的倒数是
；倒数是本身的数是±1；若ab=1，则a、b互为倒数；若ab=-1，则a、b互为负倒数。
7、有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
（3）一个数与0相加，仍得这个数。
8、有理数加法的运算律：
（1）加法的交换律：
a+b=b+a 。
（2）加法的结合律：
（a+b）+c=a+（b+c）。
9、有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）。
10、有理数乘法法则：
（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。
（2）任何数同零相乘都得零。
（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定。
11、有理数乘法的运算律：
（1）乘法的交换律：
ab=ba。
（2）乘法的结合律：
（ab）c=a（bc）。
（3）乘法的分配律：
a（b+c）=ab+ac。
12、有理数除法法则：
除以一个数等于乘以这个数的倒数。
（注意：
零不能做除数）
13、有理数乘方的法则：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数。
注意：
当n为正奇数时:
（-a）n=-an或（a -b）n=-（b-a）n , 当n为正偶数时:
（-a）n =an 或 （a-b）n=（b-a）n 。
14、乘方的定义：
（1）求相同因式积的运算，叫做乘方。
（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂。
（3）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0 ，则a=0，b=0。
（4）底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位。
15、科学记数法：
把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法。
16、近似数的精确位：
一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位。
3.1415四舍五入变成3.142，那么说3.142这个近似数精确到千分之一位；31415四舍五入变成31420，那么说31420精确到十位。
17、有效数字：
从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字。
3.1415四舍五入变成3.142时，3.14是有效数字。
18、混合运算法则：
先乘方，后乘除，最后加减。
注意：
怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则。
19、特殊值法：
是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明。
三、整式的加减
1、单项式：
在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。
或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式。
2、单项式的系数与次数：
单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。
3、多项式：
几个单项式的和叫多项式。
4、多项式的项数与次数：
多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。
注意：
（若a、b、c、p、q是常数）ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式。
5、整式：
凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式。
6、同类项：
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。
7、合并同类项法则：
系数相加，字母与字母的指数不变。
8、去（添）括号法则：
去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号。
9、整式的加减：
整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并。
10、多项式的升幂和降幂排列：
把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）。
注意：
多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列。
四、一元一次方程
1、等式与等量：
用“=”号连接而成的式子叫等式。
注意：
“等量就能代入”。
2、等式的性质：
等式性质1：
等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
等式性质2：
等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式。
3、方程：
含未知数的等式，叫方程。
4、方程的解：
使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：
“方程的解就能代入”。
5、移项：
改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1。
6、一元一次方程：
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。
7、一元一次方程的标准形式：
ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）。
8、一元一次方程的最简形式：
ax=b（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）。
9、一元一次方程解法的一般步骤：
整理方程 — 去分母 — 去括号 — 移项 — 合并同类项 — 系数化为1 —（检验方程的解）。
10．列一元一次方程解应用题：
（1）读题分析法：
多用于“和，差，倍，分问题”。
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：
“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套等”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程。
（2）画图分析法：
多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础。
11、列方程解应用题的常用公式：
（1）行程问题：
距离=速度×时间
（2）工程问题：
工作量=工效×工时
（3）比率问题：
部分=全体×比率
（4）顺逆流问题：
顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；
（5）商品价格问题：
售价=定价×折；利润=售价-成本；
（6）周长、面积、体积问题：
C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2（a+b），
S长方形=ab，C正方形=4a，S正方形=a2，S环形=π（R2-r2），V长方体=abc ，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥=
πR2h。
初一下学期
一、二元一次方程组
1、二元一次方程：
含有两个未知数，并且含未知数项的次数是1，这样的方程是二元一次方程。
（注意：
一般说二元一次方程有无数个解）
2、二元一次方程组：
两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组。
3、二元一次方程组的解：
使二元一次方程组的两个方程，左右两边都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解。
注意：
一般说二元一次方程组只有唯一解（即公共解）。
4、二元一次方程组的解法：
（1）代入消元法
（2）加减消元法
（3）注意：
判断如何解简单是关键。
5、二元一次方程组的应用：
（1）对于一个应用题设出的未知数越多，列方程组可能容易一些，但解方程组可能比较麻烦，反之则“难列易解”。
（2）对于方程组，若方程个数与未知数个数相等时，一般可求出未知数的值。
（3）对于方程组，若方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值，但总可以求出任何两个未知数的关系。
二、一元一次不等式（组）
1、不等式：
用不等号“＞”“＜”“≤”“≥”“≠”，把两个代数式连接起来的式子叫不等式。
2、不等式的基本性质：
基本性质1：
不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
基本性质2：
不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
基本性质3：
不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变。
3、不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解；不等式所有解的集合，叫做这个不等式的解集。
4、一元一次不等式：
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于零的不等式，叫做一元一次不等式；它的标准形式是ax+b＞0或ax+b＜0 ，（a≠0）。
5、一元一次不等式的解法：
一元一次不等式的解法与解一元一次方程的解法类似，但一定要注意不等式性质3的应用。
（注意：
在数轴上表示不等式的解集时，要注意空圈和实点）
6、一元一次不等式组：
含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
注意：
7、一元一次不等式组的解集与解法：
所有这些一元一次不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集；解一元一次不等式时，应分别求出这个不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定这个不等式组的解集。
8、一元一次不等式组的解集的四种类型：
9、几个重要的判断：
三、整式的乘除
1、同底数幂的乘法：
am×an=am+n，底数不变，指数相加。
2、幂的乘方与积的乘方：
（am）n=amn ，底数不变，指数相乘；
（ab）n=anbn，积的乘方等于各因式乘方的积。
3、单项式的乘法：
系数相乘，相同字母相乘，只在一个因式中含有的字母，连同指数写在积里。
4、单项式与多项式的乘法：
m（a+b+c）=ma+mb+mc ，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加（乘法的分配率）。
5、多项式的乘法：
（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd ，先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
6、乘法公式：
（1）平方差公式：
（a+b）（a-b）= a2-b2，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
（2）完全平方公式：
① （a+b）2=a2+2ab+b2, 两个数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍。
② （a-b）2=a2-2ab+b2 , 两个数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍。
③ （a+b-c）2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc
7、配方：
（1）若二次三项式x2+px+q是完全平方式,则有关系式：
。
（2）二次三项式ax2+bx+c经过配方，总可以变为a（x-h）2+k的形式，利用a（x-h）2+k
①可以判断ax2+bx+c值的符号。
②当x=h时，可求出ax2+bx+c的最大（或最小）值k。
（3）注意：
。
[应用配方的方法，将x2看成a2，将
或写成（
）2看成b2，再配方。
]
8、同底数幂的除法：
am÷an=am-n ，底数不变，指数相减。
9、零指数与负指数公式:
（1）a0=1 （a≠0）； a-n=
，（a≠0）。
注意：
00，0-2无意义。
（2）有了负指数，可用科学记数法记录小于1的数，例如：
0.0000201=2.01×10-5 。
10、单项式除以单项式：
系数相除，相同字母相除，只在被除式中含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。
11、多项式除以单项式：
先用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。
12、多项式除以多项式：
先因式分解后约分或竖式相除；注意：
被除式-余式=除式×商式。
13、整式混合运算：
先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内。
四、线段、角、相交线与平行线
（一）几何A级概念：
（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）
B
1、角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的部分，这条射线叫角的平分线.
C
几何表达式举例：
A
O
（1） ∵OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠BOC
（2） ∵∠AOC=∠BOC
∴OC是∠AOB的平分线
2、线段中点的定义：
点C把线段AB分成两条相等的线段，点C叫线段中点.
C
B
A
几何表达式举例：
（1） ∵C是AB中点
∴ AC = BC
（2） ∵AC = BC
∴C是AB中点
3、等量公理：
（1）等量加等量和相等；
（2）等量减等量差相等； （3）等量的等倍量相等；（4）等量的等分量相等.
4、等量代换：
几何表达式举例：
∵a=c b=c ∴a=b
几何表达式举例：
∵a=c b=d 又∵c=d ∴a=b
几何表达式举例：
∵a=c+d b=c+d ∴a=b
5、补角重要性质：
同角或等角的补角相等.（如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角）
6、余角重要性质：
同角或等角的余角相等.（如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。
）
7、对顶角性质定理：
对顶角相等.（我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角）
8、两条直线垂直的定义：
两条直线相交成四个角，有一个角是直角，这两条直线互相垂直.
9、三直线平行定理：
两条直线都和第三条直线平行，那么，这两条直线也平行.
10、平行线判定定理：
两条直线被第三条直线所截：
（1）若同位角相等，两条直线平行；
（2）若内错角相等，两条直线平行；
（3）若同旁内角互补，两条直线平行.
11、平行线性质定理：
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
（二）几何B级概念：
（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）
基本概念：
直线、射线、线段、角、直角、平角、周角、锐角、钝角、互为补角、互为余角、邻补角、两点间的距离、相交线、平行线、垂线段、垂足、对顶角、延长线与反向延长线、同位角、内错角、同旁内角、点到直线的距离、平行线间的距离、命题、真命题、假命题、定义、公理、定理、推论、证明。
定理：
1、直线公理：
过两点有且只有一条直线。
2、线段公理：
两点之间线段最短。
3、有关垂线的定理:
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。
4、平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
公式：
直角=90°，平角=180°，周角=360°，1°=60′，1′=60″。
常识：
1、定义有双向性，定理没有。
2、直线不能延长；射线不能正向延长，但能反向延长；线段能双向延长。
3、命题可以写为“如果„„„那么„„„”的形式，“如果„„„”是命题的条件，“那么„„„” 是命题的结论。
4、几何画图要画一般图形，以免给题目附加没有的条件，造成误解。
5、数射线、线段、角的个数时，应该按顺序数，或分类数。
6、几何论证题可以运用“分析综合法”、“方程分析法”、“代入分析法”、“图形观察法”四种方法分析。
7、方向角：
东、西、南、北、东南、东北、西南、西北；北偏东、北偏西、南偏东、南偏西。
8、比例尺：
比例尺1:
m中，1表示图上距离，m表示实际距离，若图上1厘米，表示实际距离m厘米。
9、几何题的证明要用“论证法”，论证要求规范、严密、有依据；证明的依据是学过的定义、公理、定理和推论。
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