第十九章一次函数集体备课教案.docx
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第十九章一次函数集体备课教案
第十四章一次函数集体备课
§19．1变量与函数
备课人：
杨云海，杨映铭，姚惠，吴峰
课题§19．1．1变量（1课时）
教学目标
（一）教学知识点
１．认识变量、常量．
２．学会用含一个变量的代数式表示另一个变量．
（二）能力训练要求
１．经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清晰地阐述自己观点．
２．逐步感知变量间的关系．
（三）情感与价值观要求
１．积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲．
２．形成实事求是的态度以及独立思考的习惯．
教学重点
１．认识变量、常量．
２．用式子表示变量间关系．
教学难点
用含有一个变量的式子表示另一个变量．
教学方法
引导、探索法．
教具准备
多媒体演示．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
情景问题：
一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米．行驶时间为t小时．
１．请同学们根据题意填写下表：
t/时
1
2
3
4
5
s/千米
２．在以上这个过程中，变化的量是________．变变化的量是__________．
３．试用含t的式子表示s．
通过本节课的学习，相信大家一定能够解决这些问题．
Ⅱ．导入新课
[师]我们首先来思考上面的几个问题，可以互相讨论一下，然后回答．
[生回答，][师]很好！
谢谢你正确的阐述．
这种问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化过程．其实现实生活中有好多类似的问题，都是反映不同事物的变化过程，其中有些量的值是按照某种规律变化，其中有些量的是按照某种规律变化的，如上例中的时间t、里程s，有些量的数值是始终不变的，如上例中的速度60千米／小时．
[活动一]
活动内容设计：
１．每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张．三场电影的票房收入各多少元．设一场电影售票x张，票房收入y元．怎样用含x的式子表示y?
２．在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0．5cm，怎样用含有重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度？
教师活动：
引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律．
学生活动：
在教师的启发引导下，经历尝试运算、猜想探究、归纳总结及验证等过程得到正确的结论．
活动结论：
1、关系式：
y=10x
2、关系式：
L=0．5m+10
[师]通过上述活动，我们清楚地认识到，要想寻求事物变化过程的规律，首先需确定在这个过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的．在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable），那么数值始终不变的量称之为常量（constant）．如上述两个过程中，售出票数x、票房收入y；重物质量m，弹簧长度L都是变量．而票价10元，弹簧原长10cm……都是常量．
Ⅲ．随堂练习
１．购买一些铅笔，单价0．2元／支，总价y元随铅笔支数x变化，指出其中的常量与变量，并写出关系式．
２．一个三角形的底边长5cm，高h可以任意伸缩．写出面积Ｓ随h变化关系式，并指出其中常量与变量．
Ⅳ．课时小结
本节课从现实问题出发，找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤．它对以后学习函数及建立函数关系式有很重要意义．
１．确定事物变化中的变量与常量．
２．尝试运算寻求变量间存在的规律．
３．利用学过的有关知识公式确定关系区．
Ⅴ．课后作业
课后思考题、练习题．
§19．1．2函数（2课时）
教学目标
（一）教学知识点：
１．经过回顾思考认识变量中的自变量与函数．
２．进一步理解掌握确定函数关系式．３．会确定自变量取值范围．
（二）能力训练要求：
１．经历回顾思考过程、提高归纳总结概括能力．
２．通过从图或表格中寻找两个变量间的关系，提高识图及读表能力，体会函数的不同表达方式．
（三）情感与价值观要求：
１．积极参与活动、提高学习兴趣．２．形成合作交流意识及独立思考的习惯．
教学重点：
进一步掌握确定函数关系的方法．确定自变量的取值范围．
教学难点：
认识函数、领会函数的意义．
教学方法：
回顾思考─探索交流─归纳总结．
教具准备：
多媒体演示．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化？
同一问题中的变量之间有什么联系？
也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢？
这将是我们这节研究的内容．
Ⅱ．导入新课
[师]我们首先回顾一下上节活动一中的两个问题．思考它们每个问题中是否有两个变量，变量间存在什么联系．
由以上回顾我们可以归纳这样的结论：
上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应．
其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系．我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：
（1）下图是体检时的心电图．其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？
（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，对于表中每个确定的年份（x），都对应着个确定的人口数（y）吗？
中国人口数统计表
年份
人口数／亿
1984
10．34
1989
11．06
1994
11．76
1999
12．52
[师]一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量（independentvariable），y是x的函数（function）．如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．
据此我们可以认为：
上节情景问题中时间t是自变量，里程s是t的函数．t=1时的函数值s=60，t=2时的函数值s=120，t=2．5时的函数值s=150，…，同样地，在以上心电图问题中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数；人口数统计表中，年份x是自变量，人口数y是x的函数．当x=1999时，函数值y=12．52亿．
从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系．
[活动一]
活动内容设计：
一辆汽车油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶里程x（km）的增加而减少，平均耗油量为0．1L/km．
１．写出表示y与x的函数关系式．
２．指出自变量x的取值范围．
３．汽车行驶200km时，油桶中还有多少汽油？
设计意图：
通过这一活动，加深函数意义理解，熟练掌握函数关系式确立的办法．学会确定自变量的取值范围，并能通过关系式解决一些简单问题．
教师活动：
注意学生在活动中对函数意义的认识水平，引导其总结归纳自变量取值范围的方法．
[师]通过这个活动，我们在巩固函数意义理解认识及确立函数关系式基础上，又学会如何确定自变量取值范围和求函数值的方法．知道了自变量取值范围的确定，不仅要考虑函数关系式的意义，而且还要注意问题的实际意义．
Ⅲ．随堂练习
P99
Ⅳ．课时小结
本节课我们通过回顾思考、观察讨论，认识了自变量、函数及函数值的概念，并通过两个活动加深了对函数意义的理解，学会了确立函数关系式、自变量取值范围的方法，会求函数值，提高了用函数解决实际问题的能力．
Ⅴ．课后作业
板书设计
§11．1．2函数
一、自变量、函数及函数值
二、自变量取值范围
三、课堂练习
§19．1．3函数图象（2课时）
教学目标
（一）教学知识点：
１．学会用列表、描点、连线画函数图象．２．学会观察、分析函数图象信息．
（二）能力训练要求：
１．提高识图能力、分析函数图象信息能力．２．体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题能力．
（三）情感与价值观要求：
１．体会数学方法的多样性，提高学习兴趣．
２．认识数学在解决问题中的重要作用从而加深对数学的认识．
教学重点：
１．函数图象的画法．２．观察分析图象信息．
教学难点：
分析概括图象中的信息．
教学方法：
自主─探究、归纳─总结．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
我们在前面学习了函数意义，并掌握了函数关系式的确立．但有些函数问题很难用函数关系式表示出来，然而可以通过图来直观反映．例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系．
即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示则会使函数关系更清晰．
我们这节课就来解决如何画函数图象的问题及解读函数图象信息．
Ⅱ．导入新课
我们先来看这样一个问题：
正方形的边长x与面积Ｓ的函数关系是什么？
其中自变量x的取值范围是什么？
计算并填写下表：
x
0．5
1
1．5
2
2．5
3
3．5
S
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）．上图中的曲线即为函数Ｓ＝x2（x>0）的图象．
函数图象可以数形结合地研究函数，给我们带来便利．
[活动一]
活动内容设计：
下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温Ｔ如何随时间t的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息？
如有条件，你可以用带有温度探头的计算机（器），测试、记录温度和绘制表示温度变化的图象．
教师活动：
引导学生从两个变量的对应关系上认识函数，体会函数意义；可以指导学生找出一天内最高、最低气温及时间；在某些时间段的变化趋势；认识图象的直观性及优缺点；总结变化规律……．
学生活动：
在教师引导下，积极探寻，合作探究，归纳总结．
[活动二]
活动内容设计：
下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．
根据图象回答下列问题：
１．菜地离小明家多远？
小明走到菜地用了多少时间？
２．小明给菜地浇水用了多少时间？
３．菜地离玉米地多远？
小明从菜地到玉米地用了多少时间？
４．小明给玉米地锄草用了多长时间？
５．玉米地离小明家多远？
小明从玉米地走回家平均速度是多少？
设计意图：
１．进一步提高识图能力．
２．按要求从图象中挖掘所需信息，并自理信息．
教师活动：
引导学生分析图象、寻找图象信息，特别是图象中有两段平行于x轴的线段的意义．
学生活动：
在教师引导下，积极思考、大胆参与、探求答案．
[师]我们通过两个活动已学会了如何观察分析图象信息，那么已知函数关系式，怎样画出函数图象呢？
例：
在下列式子中，对于x的每个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数．请画出这些函数的图象．
１．y=x+0．5２．y=
（x>0）
解：
１．y=x+0．5
从上式可看出，x取任意实数式子都有意义，所以x的取值范围是全体实数．
从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值．列表如下：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
-2.5
-1.5
-0.5
0.5
1.5
2.5
3.5
…
根据表中数值描点（x，y），并用光滑曲线连结这些点．
从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y=x+0．5随之增大．
２．y=
（x>0）
自变量的取值为x>0的实数，即正实数．
按条件选取自变量值，并计算y值列表：
x
…
0．5
1
1．5
2
2．5
3
3．5
4
…
y
…
12
6
4
3
2.4
2
1.7
1．5
…
据表中数值描点（x，y）并用光滑曲线连结这些点，就得到图象．
从函数图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，y＝
随之减小．
[师]我们来总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤，好吗？
第一步：
列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．
第二步：
描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．
第三步：
连线．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．
尝试练习：
（1）下图是一种古代计时器──“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示时间，y表示壶底到水面的高度．下面的哪个图象适合表示y与x的函数关系？
（2）a是自变量x取值范围内的任意一个值，过点（a，0）画y轴的平行线，与图中曲线相交．下列哪个图中的曲线表示y是x的函数？
为什么？
（提示：
当x=a时，x的函数y只能有一个函数值）
Ⅲ．随堂练习
1.A（-2．5，-4），B（1，3）不在函数y=2x-1的图象上，C（2．5，4）在函数y=2x-1的图象上．
２．
（1）这一天内，12时上海北京气温相同．
（2）略
３．
（1）
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
4
1
0
1
4
…
（2）从图象中观察，当x>0时，y随x的增大而增大．当x<0时，y随x的增大而减小．
Ⅳ．课时小结
本节通过两个活动，学会了分析图象信息，解答有关问题．通过例题学会了用描点法画出函数图象，这样我们又一次利用了数形结合的思想．
Ⅴ．课后作业P104
板书设计
§11．1．3函数图象
一、数形结合
二、图象信息
三、描点法画图
四、课堂练习
§14．1．4函数的表示方法
1课时
教学目标
（一）教学知识点
１．总结函数三种表示方法．毛
２．了解三种表示方法的优缺点．
３．会根据具体情况选择适当方法．
（二）能力训练要求
１．经历回顾思考，训练提高归纳总结能力．
２．利用数形结合思想，据具体情况选用适当方法解决问题的能力．
（三）情感与价值观要求
１．积极参与活动，提高学习兴趣．
２．形成合作交流意识及独立思考习惯．
教学重点
１．认清函数的不同表示方法，知道各自优缺点．
２．能按具体情况选用适当方法．
教学难点
函数表示方法的应用．
教学方法
归纳─总结，自主─探究，实践─应用．
教具准备
多媒体演示．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]我们在上节课里已经看到或亲自动手用列表格．写式子和画图象的方法表示了一些函数．这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法．
那么，请同学们思考一下，从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优缺点？
在遇到具体问题时，该如何选择适当的表示方法呢？
这就是我们这节课要研究的内容．
Ⅱ．导入新课
[师]我们首先思考刚才提出的第一个问题．
表示方法
全面性
准确性
直观性
形象性
列表法
×
∨
∨
×
解析式法
∨
∨
×
×
图象法
×
×
∨
∨
[师]从所填表中可清楚看到三种表示方法各有优缺点．在遇到实际问题时，就要根据具体情况、具体要求选择适当的表示方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．
我们来共同看一个例子．
例：
一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度．
t/时
0
1
2
3
4
5
…
y/米
10
10．05
10．10
10．15
10．20
10．25
…
１．由记录表推出这5小时中水位高度y（米）随时间t（时）变化的函数解析式，并画出函数图象．
２．据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？
分析：
记录表中已经通过6组数值反映了时间t与水位y之间的对应关系．我们现在需要从这些数值找出这两个表量之间的一般联系规律，由它写出函数解析式来，再画出函数图象，进而预测水位．
解：
１．由表中观察到开始水位高10米，以后每隔1小时，水位升高0．05米，这样的规律可以表示为：
y=0．05t+10（0≤t≤7）
这个函数的图象如下图所示：
２．再过2小时的水位高度，就是t=5+2=7时，y=0．05t+10的函数值，从解析式容易算出：
y=0．05×7+10=10．35
从函数图象也能得出这个值数．
2小时后，预计水位高10．35米．
[师]就上面的例子中我提几个问题大家思考：
１．函数自变量t的取值范围：
0≤t≤7是如何确定的？
２．2小时后的水位高是通过解析式求出的呢，还是从函数图象估算出的好？
３．函数的三种表示方法之间是否可以转化？
尝试练习：
１．用列表法与解析式法表示n边形的内角和m是边数n的函数．
２．用解析式与图象法表示等边三角形周长L是边长a的函数．
解析：
１．因为n表示的是多边形的边数，所以，n是大于等于3的自然数．
n
3
4
5
6
…
m
180
360
540
720
…
由表可看出，三角形内角和为180°，边数每增加1条，内角和度数就增加180°．故此m、n函数关系可表示为：
m=（n-2）·180°（n≥3的自然数）．
２．因为等边三角形的周长L是边长a的3倍．所以周长L与边长a的函数关系可表示为：
L=3a（a>0）
我们可以用描点法来画出函数L=3a的图象．
列表：
a
…
1
2
3
4
…
L
…
3
6
9
12
…
描点、连线：
Ⅲ．随堂练习
甲车速度为20米／秒，乙车速度为25米／秒．现甲车在乙车前面500米，设x秒后两车之间的距离为y米．求y随x（0≤x≤100）变化的函数解析式，并画出函数图象．
解：
由题意可知：
x秒后两车行驶路程分别是：
甲车为：
20x乙车为：
25x
两车行驶路程差为：
25x-20x=5x
两车之间距离为：
500-5x
所以：
y随x变化的函数关系式为：
y=500-5x0≤x≤100
用描点法画图：
x
…
10
20
30
40
y
…
450
400
350
300
x
50
60
70
80
…
y
250
200
150
100
…
Ⅳ．课时小结
通过本节课学习，我们认识了函数的三种不同的表示方法，并归纳总结出三种表示方法的优缺点，学会根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决相关问题，进一步知道了函数三种不同表示方法之间可以转化，为下面学习数形结合的函数做好了准备．
Ⅴ．课后作业
板书设计
§11．1．4函数表示方法
一、函数的三种表示方法
二、不同表示方法的优缺点
三、不同表示方法的具体选择
四、随堂练习
教后反思：
§14．2一次函数
课时安排：
4课时
从容说课
一次函数是函数学习的基础．掌握一次函数的意义、特点、应用对以后进一步学习函数有着非常重要的意义．毛
本节课首先从最简单的正比例函数入手．从正比例函数的定义、函数关系式、图象及其特点、性质引入一次函数的特点及性质，逐步掌握一次函数的线性性质特点，并会利用特点使一次函数的不同表达方法相互转化．根据实际问题、具体要求选用适当的表示方法来解决相关问题．
本节的重点是理解掌握正比例函数、一次函数的解析式、图象特点及性质，进一步学会不同表达方法间的转化，提高解决实际问题的能力，使学生感到数学与现实世界的联系，鼓励他们有条理地表达和思考，培养其学习的兴趣．
§14．2．1正比例函数
2课时
教学目标
（一）教学知识点
１．认识正比例函数的意义．
２．掌握正比例函数解析式特点．
３．理解正比例函数图象性质及特点．
４．能利用所学知识解决相关实际问题．
（二）能力训练要求
１．经历思考、探究过程、发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
２．体验数形之间联系，逐步学会利用数形结合思想分析解决有关问题．
３．体会解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新意识．
（三）情感与价值观要求
１．积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲．
２．形成合作交流、独立思考的学习习惯．
教学重点
１．理解正比例函数意义及解析式特点．
２．掌握正比例函数图象的性质特点．
３．能根据要求完成转化，解决问题．
教学难点
正比例函数图象性质特点的掌握．
教学方法
探究─交流，归纳─总结．
教具准确
多媒体演示．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环．４个月零１周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．
１．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？
２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？
３．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？
我们来共同分析：
一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：
25600÷（30×4+7）≈200（km）
若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：
y=200x（0≤x≤127）
这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即
y=200×45=9000（km）
以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．
类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？
我们这节课就来学习．
Ⅱ．导入新课
首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？
这些函数有什么共同特点？
１．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．
２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．
３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．
４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．
我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x的形式一样．
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数（proportionalfunc-tion），其中k叫做比例系数．
我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？
[活动一]
活动内容设计：
画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的
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