初一数学讲义学生版整理.docx

初一数学讲义学生版整理.docx

《初一数学讲义学生版整理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初一数学讲义学生版整理.docx（78页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

初一数学讲义学生版整理

第一讲和绝对值有关的问题

一、知识结构框图：

二、绝对值的意义：

（1）几何意义：

一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

（2）代数意义：

①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。

a当a为正数

也可以写成：

|a|0当a为0

a当a为负数

说明：

（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

三、典型例题

例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：

则代数式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于（）

A．-3aB．2c－aC．2a－2bD．b

例2．已知：

x0z，xy0，且yzx，那么xzyzxy的值（）

A．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号

例3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，

两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？

例4．（整体思想）方程x

2008

2008

x

的解的个数是（

）

A．1个

B．2个

C．3个

D．无穷多个

例5．（非负性）已知|ab－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值．

1

1

1

1

aba1

b1a2

b

2

a

2007b2007

例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离

4与

2，3与5，

2与

6，

4与3.

并回答下列各题：

（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？

答：

___.

（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离可以表示为________________.

（3）结合数轴求得

x

2

x

3的最小值为

，取得最小值时

x的取值范围为___.

（4）满足x1

x

4

3

的x的取值范围为

______.

第二讲：

代数式的化简求值问题

一、知识链接

1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。

它包括整式、分式、二次根式等内容.

2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。

注：

一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化

3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。

二、典型例题

例1．若多项式2mx2

x2

5x

87x2

3y5x的值与x无关，

求m2

2m2

5m

4

m的值.

例2．x=-2时，代数式ax5bx3cx6的值为8，求当x=2时，代数式ax5bx3cx6的值。

例3．当代数式x23x5的值为7时,求代数式3x29x2的值.

例4．已知a2

a10，求a3

2a2

2007的值.

例5．（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下

差异：

A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。

从收

入的角度考虑，选择哪家公司有利？

例6．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且

a

b

c

ab

ac

bc

x

b

c

ab

ac

，

a

bc

则ax3bx2cx1的值是_______。

例7．如图，平面内有公共端点的六条射线

OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在

射线上写出数字

1，2，3，4，5，6，7，,．

B

A

（1）“17”在射线

____上，

8

7

“2008”在射线___________上．

2

（2）若n为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含

n的

C

9

3

1

F

4O6

代数式表示为__________________________．

12

10

5

11

DE

例8．将正奇数按下表排成5

列:

第一列

第二列

第三列

第四列

第五列

第一行

1

3

5

7

第二行

15

13

11

9

第三行

17

19

21

23

第四行

31

29

27

25

根据上面规律，

2007应在

A．125行,3列

B.125

行,2

列C.251

行,2

列D.251

行,5列

例9．（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n的“F”运算：

①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，

nn

结果为2k（其中k是使2k为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：

F②

F①

44

F②

26

13

11

第一次

第二次

第三次

若n＝449，则第449次“F运算”的结果是__________．

第三讲：

与一元一次方程有关的问题

一、典型例题

例1．若关于x的一元一次方程2xkx3k=1的解是x=-1，则k的值是（）

32

A．2

B

．1

C．-13

D

．0

7

11

例2．若方程

3x-5=4

3a

x

0的解相同，则

a的值为多少？

和方程1

3

例3.（方程与代数式联系）

a、b、c、d为实数，现规定一种新的运算

a

b

c

adbc.

d

（1）则1

2的值为

；

（2）当

2

4

18时，x=

.

1

2

（1

x）

5

例4．（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高

a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面

高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（

）

不考虑瓶子的厚度.

a

b

h

h

A．

B．

C．

D．

ab

ab

ab

ah

例5．小杰到食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多，就站在A窗口队伍的里面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。

此时，若小李迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队，将比继续在A窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队。

1

（提示）题中的等量关系为：

小李在A窗口排队所需时间=转移到B窗口排队所需时间+

2

课外知识拓展：

一、含字母系数方程的解法：

思考：

axb是什么方程？

在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求

我们把它称为含字母系数的方程。

a≠0，所以

ax

b不是一元一次方程

例6．解方程

ax

b

例7．问当a、b满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx：

（1）有唯一解；

（2）有无数解；（3）无解。

例8．解方程x1

1x

ab

a

b

ab

二、含绝对值的方程解法

例9．解下列方程

5x

2

3

例10．解方程

2x

1

5

3

1

例11．解方程

x1

2x1

第四讲：

图形的初步认识

基本要求：

1．如图四个图形都是由6个大小相同的正方形组成，其中是正方体展开图的是（

A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④

较高要求：

2．下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体，每三个带数字的面交于正方体的

一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是

（）

A．7

B．8C．9

D．10

3．一个正方体的展开图如右图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对

两个面所写的两个数之和相等，那么a+b-2c=（）

A．40B.38C.36D.34

4．下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（）

ABCD

．．．．

9．下面是四个立体图形的展开图，则相应的立体图形依次是（）

）

1

6245

3

c

84

b25a

A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥B.正方体、圆锥、三棱柱、圆柱

C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥D.正方体、圆柱、四棱柱、圆锥

13．对右面物体的视图描绘错误的是（）

（四）新颖题型

16.正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字，将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体，那么长

方体的下底面数字和为.

第五讲：

线段和角

一、知识结构图

线段的比较和画法

线段的中点

线段

线段性质

两点间的距离

直线

直线性质

平角

直角

锐角

钝角

角的分类

周角

射线

角

角的比较、度量和画法

角平分线

定义

同角（或等角）

相关角

余角和补角

的补角相等

性质

同角（或等角）

的余角相等

二、典型问题：

（一）数线段——数角——数三角形

问题1、直线上有n个点，可以得到多少条线段？

问题

2．如图，在∠

AOB

内部从

O点引出两条射线

OC、OD，则图中小于平角的角共有（

）个

（A）3

（B）4

（C）5

（D）6

拓展：

在∠AOB内部从

O点引出

n条射线图中小于平角的角共有多少个？

（二）与线段中点有关的问题

线段的中点定义：

文字语言：

若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点

AMB

图形语言：

几何语言：

∵M是线段AB的中点

∴AM

BM

1AB，2AM

2BMAB

2

典型例题：

1．由下列条件一定能得到“

P是线段AB的中点”的是（

）

（A）AP=1

AB

（B）AB＝2PB

（C）AP＝PB

1

（D）AP＝PB=AB

2

2

2．若点B在直线AC上，下列表达式：

①

AB

1AC；②AB=BC；③AC=2AB；④AB+BC=AC．

2

其中能表示B是线段AC的中点的有（

）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

3．已知线段MN，P是MN的中点，Q是PN的中点，R是MQ的中点，那么MR=______MN．

4．如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点，若MN=a，BC=b，则线段AD

的长是（

）

A

M

B

C

ND

A2（a-b）

B2a-b

Ca+b

Da-b

（三）与角有关的问题

1．已知：

一条射线

OA，若从点O再引两条射线

OB、OC，使∠AOB=60

0，∠BOC=200，

则∠OC=____________度（分类讨论）

A

2．A、O、B共线，OM、ON分别为∠AOC、∠BOC的平分线，猜想∠

MON的度数，试证明你的结论．

M

C

N

A

O

B

3．如图，已知直线

AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF

34，

求∠BOD的度数．

4．如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，

（1）若∠A=60°，求∠O；

（2）若∠A=100°，∠O是多少？

若∠A=120°，∠O又是多少？

（3）由

（1）、

（2）你又发现了什么规律？

当∠A的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？

（提示：

三角形的内角和等于180°）

5．如图，

O是直线

AB

上一点

OC、OD、OE

是三条射线

则图中互补的角共有（

B）对

（A）2

（B）3

（C）4

（D）5

6．互为余角的两个角（）

（A）只和位置有关（B）只和数量有关

（C）和位置、数量都有关（D）和位置、数量都无关

7．已知∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（）

A.1（∠1＋∠2）B.1∠1C.1（∠1－∠2）D.1∠2

2222

第六讲：

相交线与平行线

一、知识框架

邻补角、对顶角

对顶角相等

两

条

直

线

相交

垂线及性质

点到直线的距离

相

交

两

条

线

直

线

被

第

三

条

同位角、内错角、同旁内角

直

线

所截

判定

平行公理

平

行性质

线

平移

二、典型例题

1.下列说法正确的有（）

①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;

④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图所示,下列说法不正确的是（）

A.点B到AC的垂线段是线段AB;B.点C到AB的垂线段是线段ACC.线段AD是点D到BC的垂线段;D.线段BD是点B到AD的垂线段

A

D

3.下列说法正确的有（）

BC

①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;

②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;

③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;

④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.

A.1个

B.2

个

C.3

个D.4

个

F

4．一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，

C

D

这两次拐弯的角度可能是（

）

A

B

E

A.

第一次向左拐30°第二次向右拐

30°

B.

第一次向右拐50°第二次向左拐

130°

C.

第一次向右拐50°第二次向右拐

130°

D.

第一次向左拐50°第二次向左拐

130°

C

5．如图，若AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，则下列结论必定成立

的是（

）

．．．．

A.CD>AD

B.AC

C.BC>BD

D.CD

A

D

B

6．如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG?

平分∠BEF,若∠1=72°,

则∠2=______.

7．如图,AB∥EF∥CD,EG∥BD,则图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（）

?

A.6个B.5个C.4个D.3个

8．如图，直线l1、l2、l3交于O点，图中出现了几对对顶角，若n条直线相交呢？

9.如图，在44的正方形网格中，1，2，3的大小关系是_________．

l1

l2

l1

3

O

l3

12

2

31

4

l

l

2

3

10.如图所示,L1,L2,L3交于点O,∠1=∠2,∠3:

∠1=8:

1,求∠4的度数.（方程思想）

12．如图，若AB//EF，∠C=90°，求x+y-z度数。

13．已知：

如图，

BAPAPD180，12

求证：

E

A

B

F

1

E

F

2

CPD

第七讲：

平面直角坐标系

一、知识要点：

1、特殊位置的点的特征

（1）各个象限的点的横、纵坐标符号

（2）坐标轴上的点的坐标：

x轴上的点的坐标为（x,0）,即纵坐标为0;

y轴上的点的坐标为（0,y），即横坐标为0;

2、具有特殊位置的点的坐标特征

设P1（x1,y1）、P2（x2,y2）

P1

、P2

两点关于x轴对称

x1

x2，且y1

y2;

P1

、P2

两点关于y轴对称

x1

x2，且y1

y2;

P1

、P2

两点关于原点轴对称

x1

x2，且y1

y2。

3、距离

（1）点A（x,y）到轴的距离：

点A到x轴的距离为|y|；点A到y轴的距离为|x|；

（2）同一坐标轴上两点之间的距离：

A（xA,0）、B（xB,0），则AB|xAxB|；A（0,yA）、B（0,yB），则AB|yAyB|；

二、典型例题

1、已知点

M的坐标为（

x，y），如果

xy<0,

则点

M

的位置（

）

（A）第二、第三象限（B）第三、第四象限

（C）第二、第四象限（D）第一、第四象限

2．点P（m，1）在第二象限内，则点Q（-m，0）在（）

A．x轴正半轴上B．x轴负半轴上C．y轴正半轴上D．y

3．已知点A（a，b）在第四象限，那么点B（b，a）在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

4．点P（1，-2）关于y轴的对称点的坐标是（）

A．（-1，-2）B．（1，2）C．（-1，2）D．（-2，1）

5．如果点M（1-x，1-y）在第二象限，那么点N（1-x，y-1）在第

点Q（x-1，1-y）在第象限。

轴负半轴上

象限，

7．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，0），

（5，0），（2，3）则顶点C的坐标为（）

A．（3，7）B．（5，3）C．（7，3）D．（8，2）

8．已知点P（x,x），则点P一定（）

A．在第一象限B．在第一或第四象限C．在x轴上方D．不在x轴下方

9．已知长方形ABCD中，AB=5，BC=8，并且AB∥x轴，若点A的坐标为（－2，4），则点C的坐标为

____________________________________________________________________。

10．三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（-4，-1），B（